数学二次根式知识点

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二次根式的知识点汇总

知识点一：二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0

时，有意义，是二次根式，所以

要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0

时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a 的算术平方根，也就是说，（

）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，

所以非负数（

）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方

根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，

一. 利用二次根式的双重非负性来解题（a 0（a≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）

题型一：判断二次根式

（1

11

x>0）

、

、、

x

yx

． x≥0，y ≥0）

（2

x 0

y 2

x 0 x y中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 （3）下列各式一定是二次根式的是（ ）

A. 题型二：判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: （1）x 4 （2）

B.

C.

D.

11

8a （3）m2 4 （4）

x3

2

x 2

；3、若

3 xx 2 x

成立，则x满足_____________。

练习：1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A、 3； B、2.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

x； C、x2 1； D、x 1

（1）

（5）若x(x 1)

（2）

1

（3）

2x 1

x 1

.

则x的取值范围是 （6）若x 3 x 3，则x的取值范围是 。 xx 1，

x 1

3.若m 1有意义，则m能取的最小整数值是 ；

则正整数m的最小值是_____

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一、二次函数概念：

b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。 1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，c可以为零．二次函数的定义域是全体 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，实数．

2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：y?ax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随0? ?0，0? ?0，y轴 x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随a?0 向下 y轴 x的增大而增大；x?0时，y有最大值0．

2. y?ax2?c的性质： 上加下减。

a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随c? ?0，c? ?0，y轴 x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． x?0时，y随x

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一、二次函数概念：

b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。 1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，c可以为零．二次函数的定义域是全体 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，实数．

2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：y?ax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随0? ?0，0? ?0，y轴 x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随a?0 向下 y轴 x的增大而增大；x?0时，y有最大值0．

2. y?ax2?c的性质： 上加下减。

a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随c? ?0，c? ?0，y轴 x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． x?0时，y随x

二次函数知识点

一、二次函数概念：

b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax?bx?c（a，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，2. 二次函数y?ax?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

22b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：y?ax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2a的符号 a?0 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 性质

0? ?0，0? ?0，y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． a?0 向下 y轴 x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． 2. y?ax?c的性质： 上加下减。

2a的符号 a?0 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 性质

c? ?0，c? ?0，y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最

二次函数知识点

一、二次函数概念：

b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax?bx?c（a，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，2. 二次函数y?ax?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

22b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：y?ax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2a的符号 a?0 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 性质

0? ?0，0? ?0，y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． a?0 向下 y轴 x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． 2. y?ax?c的性质： 上加下减。

2a的符号 a?0 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 性质

c? ?0，c? ?0，y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最

二次函数知识点

一、二次函数概念：

b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax?bx?c（a，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，2. 二次函数y?ax?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

22b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：y?ax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2a的符号 a?0 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 性质

0? ?0，0? ?0，y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． a?0 向下 y轴 x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． 2. y?ax?c的性质： 上加下减。

2a的符号 a?0 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 性质

c? ?0，c? ?0，y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最

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第十讲 二次根式

一、二次根式考点

考点： 1、二次根式的相关概念； 2、最简二次根式； 3、化简二次根式； 4、利用二次的性质进行运算； 5、求代数式的值； 6、比较二次根式的大小； 7、二次根式的开放性问题； 8、二次根式的应用。 二、知识梳理/提炼

1.二次根式的定义：式子 叫做二次根式. 2.二次根式的性质 （1）

、?a?＝a（a≥0）

2a2＝a，

（2）ab＝a·b（a≥0，b≥0），aa＝（a≥0，b＞0）. bb3.最简二次根式：符合条件（1）被开方式中不含有开得尽方的数或因式，（?2）被开方式中不含有分母，符合以上两个条件的二次根式叫最简二次根式.

4.分母有理化

（1）互为有理化因式：?两个带有二次根式的代数式相乘不再含有二次根式，则这两个代数式叫做互为有理化因式，常见的有理化因式有：a与±a，a+b与a－b，a+b与a－b，ma+nb与ma－nb；

（2）分母有理化：把分母中的根号化去过程，叫做分母有理化，?方法是在分子分母上同乘以分母的有理化因式.

5.二次根式的运算：（1）加减运算：化成同类

二次根式

课题 二次根式 上课时间 课时 第 课时 知识与能力 教学 目标 1、了解二次根式的概念 2、能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围 过程与方法 经历知识产生的过程，探索新知识.讨论法 情感态度与价值观 培养学生分析问题、解决问题的能力。培养学生勇于创新的精神。 教学重点 教学难点 二次根式的概念以及求二次根式的值 二次根式的双重非负性 教学方法 合作讨论法、自主练习法 教 具 多媒体,三角板 教学内容及教学过程 一、温过而知新 （1）3的平方根是______ （2）3的算术平方根是_______ （3）?5有意义吗？为什么？ （4）一个非负数a的算术平方根应表示为__________ 平方根的性质与算术平方根的性质 二、创设情境 走进生活 1．东方明珠相关计算 2. 观察代数式，这些代数式有什么共同的特点？ 根指数都是2,被开方数都是非负数 像a?2500,2S?,2S这样表示的算术平方根，且二次根号内含有字母的代数式叫做二次根式。a能用什么式子表示? 表示 a (a≥0) 3. 注意：因为负数没有平方根，所以在式子

第 1 页 共 10 页 二次函数 知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，

叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数

0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数自变量x 的取值范围是全体实数．

2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

二、二次函数的基本形式

1.顶点式 ()2y a x h k =-+的性质：

2.一般式

2y ax bx c =++的性质 三、二次函数图象的平移

第 2 页 共 10 页 1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．