离散数学二元关系和函数思维导图

离散数学二元关系习题及答案

【篇一：离散数学关系部分经典练习及答案】

t>一、单项选择题

1．设集合a = {1, a }，则a的幂集p(a) = ( )． a．{{1}, {a}}b．{?,{1}, {a}}

c．{?,{1}, {a}, {1, a }}d．{{1}, {a}, {1, a }}

2．若集合a的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ ）．

a．1024 b．10c．100d．1 7．集合a={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系r={x，y|x+y=10且x, y?a}，则r的性质为（ ）． a．自反的b．对称的

c．传递且对称的d．反自反且传递的

8．设集合a = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系r ={?a , b??a , b?a , 且a +b = 8}，则r具有的性质为（ ）． a．自反的 b．对称的

c．对称和传递的d．反自反和传递的

9．如果r1和r2是a上的自反关系，则r1∪r2，r1∩r2，r1-r2中自反关系有（ ）个． a．0 b．2c．1d．3

10．设集合a={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系 r = {?1 , 1?，?2 , 2?

第四章 二元关系和函数

第一节、集合的笛卡儿积与二元关系

有序对ordered pair定义:有两个元素x,y(允许x=y)按给定顺序排列组成

的二元组合称为一个有序对 ,记作<x,y>其中x是它的第一元素,y是它的第二元素。例、平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序 实数对,我们可用<x,y>表示。 注:有序对是讲究次序的,例<1,3>和<3,1>是表示平面 上两个不同的点,这与集合不同,{1,3}和{3,1}是两个相等的 集合。 性质1:如x y即<x,y> <y ,x>。 性质2:<x,y>=<a,b>的充要条件是x=a,y=b.

n元有序对有序对可推广到n个元素，设A1, A2, …, An是 集合，a1 A1, a2 A2, …, an An是元素，定义有 序n元组(ordered n-tuple)为<, an>,注意这是一个归纳(inductive) 定义，将有序 n元组的定义归结为有序 n-1 元组 的定义。 显然有 =

集合论部分

第四章、二元关系和函数

集合的笛卡儿积与二元关系有序对

定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的

二元组称为有序对，记作

实例：点的直角坐标(3,4)

有序对性质

有序性 （当x y时）

与 相等的充分必要条件是= x=u y=v

例1 <2, x+5> = <3y4, y>，求x, y.

解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3

定义一个有序n (n3) 元组 是一个

有序对，其中第一个元素是一个有序n-1元组，即

= < , x n>

当n=1时, 形式上可以看成有序 1 元组.

实例 n 维向量是有序 n元组.

笛卡儿积及其性质

定义设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作A B，即A B ={ | x A y B }

例2 A={1,2,3}, B={a,b,c}

A B ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,

<3,a>,<3,b>,<3,c>}

B A ={,,,,,,

, ,}

A={}, P(A)A={<,>, <{},>}

性质：

不适合交换律A B B A (A B, A, B)

不适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)对于并或交运算满足分配律

A(B C)=(A B)(A C)

(B C)A=(B A)(C A)

A(B C

第四章 二元关系 和函数1 2 3 4 5 6 7笛卡尔积与二元关系 关系的运算

关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义和性质 函数的复合和反函数

二元关系和函数1DEFINITION 1.

笛卡尔积与二元关系

设n为一正整数，由n个元素x1,x2,…,xn按 一定顺序排列成的一个序列<x1,x2,…,xn>称 为有序n元组。(The ordered n-tuple <x1,x2,…,xn> is the ordered collection that has x1 as its first element, x2 as its second element, … , and xn as its nth element.)2

笛卡尔积与二元关系DEFINITION 2.

设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B 中元素为第二元素，构成有序对，所有这样 的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡尔积， 记做A×B. (Let A and B be sets. The Cartesian product of A and B, denoted by A×B, is the set of all ordere

第四章 二元关系 和函数1 2 3 4 5 6 7笛卡尔积与二元关系 关系的运算

关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义和性质 函数的复合和反函数

二元关系和函数1DEFINITION 1.

笛卡尔积与二元关系

设n为一正整数，由n个元素x1,x2,…,xn按 一定顺序排列成的一个序列<x1,x2,…,xn>称 为有序n元组。(The ordered n-tuple <x1,x2,…,xn> is the ordered collection that has x1 as its first element, x2 as its second element, … , and xn as its nth element.)2

笛卡尔积与二元关系DEFINITION 2.

设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B 中元素为第二元素，构成有序对，所有这样 的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡尔积， 记做A×B. (Let A and B be sets. The Cartesian product of A and B, denoted by A×B, is the set of all ordere

平顶山学院毕业论文(设计)

引言

在日常生活中，关系一词是大家在生活学习和工作中经常遇到和处理的概念，我们都熟知关系一词的含义，例如兄弟关系、上下级关系、位置关系等.在数学中关系可抽象为表达集合中元素之间的关系，如“4大于2”，“P在点a，b之间”.

在离散数学中关系是刻画元素之间相互联系的一个重要的概念，广泛应用于计算机科学技术如计算机程序的输入、输出关系，数据库的数据特性关系，其中关系数据库就是以关系及其运算作为理论基础的.近世代数利用等价关系将代数系统进行分类，进而加以研究.关系也是点集拓扑中一个重要概念，通过关系分类来研究集合元素之间的某种联系.熟练掌握关系的定义和性质,也是学好近世代数和点集拓扑的基础.

最基本的关系就是二元关系，就是集合中两个元素之间的某种相关性.例如

B可以从事?，有三个人A,B,C和四项工作?，?，?，?.已知A可以从事?和?，

C可以从事?和?，那么人和工作之间的对应关系可以记作:

R???A,??,?A,??,?B,??,?C,??,?C,???.

这是人的集合?A,B,C?到工作的集合??，?，?，??之间的二元关系.

一 基础知识

定义1?? 设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素，

离散数学

第三章 --- 二元关系(2)S 与 R 的合成 )

Functions 函数

为 X 到 Z 的关系

合成运算是对关系的二元运算， 合成运算是对关系的二元运算，它能够由两个关 系生成一个新的关系，并可以以此类推。 系生成一个新的关系，并可以以此类推。首先看一个 合成运算的例子， 合成运算的例子，如果 是关系“ 的兄弟” 是关系“是…的兄弟”, 的兄弟 是关系"是 的叔 是关系 是…的叔

是关系“ 的父亲” 是关系“是…的父亲”,那么 的父亲 伯"。 。2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系如果在关系R和 中各有一个有序对 中各有一个有序对， 如果在关系 和S中各有一个有序对，使 且 而且 ，则 是关系

Functions 函数

的元素。 的元素。

包含全部这样的有序对。 包含全部这样的有序对。

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系

Functions 函数

因为 但不存在y使 但不存在 使

且

,故 ，故没有y使 故没有 使

。虽有 。也没有x使 也没有 使

,

2011-2-27

Hongzhi Qiao, Xi

离散数学

第三章 --- 二元关系(2)S 与 R 的合成 )

Functions 函数

为 X 到 Z 的关系

合成运算是对关系的二元运算， 合成运算是对关系的二元运算，它能够由两个关 系生成一个新的关系，并可以以此类推。 系生成一个新的关系，并可以以此类推。首先看一个 合成运算的例子， 合成运算的例子，如果 是关系“ 的兄弟” 是关系“是…的兄弟”, 的兄弟 是关系"是 的叔 是关系 是…的叔

是关系“ 的父亲” 是关系“是…的父亲”,那么 的父亲 伯"。 。2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系如果在关系R和 中各有一个有序对 中各有一个有序对， 如果在关系 和S中各有一个有序对，使 且 而且 ，则 是关系

Functions 函数

的元素。 的元素。

包含全部这样的有序对。 包含全部这样的有序对。

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系

Functions 函数

因为 但不存在y使 但不存在 使

且

,故 ，故没有y使 故没有 使

。虽有 。也没有x使 也没有 使

,

2011-2-27

Hongzhi Qiao, Xi

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第三章 --- 二元关系

Functions 函数

在实际问题中， 在实际问题中，我们感兴趣的往往不是一般的关 系，而是具有某些特殊性质的关系。为了更好的处理 而是具有某些特殊性质的关系。 这些关系，有必要深入研究关系的性质。 这些关系，有必要深入研究关系的性质。对A上的关系 上的关系 来说，主要的性质有：自反性、非自反性、对称性、 来说，主要的性质有：自反性、非自反性、对称性、 反对称性、传递性。 反对称性、传递性。

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

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第三章 --- 二元关系上的关系R, 对A上的关系 ，若对任意的 上的关系 上自反的关系； 称R为A上自反的关系；若对任意的 为 上自反的关系 则称R为 上非自反的关系 则称 为A上非自反的关系 这个定义也可以写成： 这个定义也可以写成： 在A上是自反的 上是自反的 在A上是非自反的 上是非自反的2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

Functions 函数

都有 都有

,则 ，

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第三章 --- 二元关系如果R是 上自反的 上自反的， 如果 是A上自反的，

Functions 函数

则关系矩阵M(R)的主对角线元素都

第2章 基础：集合、函数、序列、求和

2.3 函数

2.3.1 引言

定义1:从集合 到集合 B 的函数 f– a∈A, f 在 B 中指派唯一元素 b 给 a 记号：f (a)=b

– 从 A 到 B 的函数的记号 f : A→Bb

B2

2.3.1 引言

b

B

函数的特点– 有且只有一条弧从 A 中每个元素发出 A 中所有元素 a,恰对应 B 中一个元素 b

A 中每个元素 a,在关系 f 中只出现一次

– 反之未必 B 中元素可以没有 A 中元素对应 允许 A 中多个元素与 B 中一个元素对应3

2.3.1 引言

定义 2: 若 f 是一个从 A 到 B 的函数，即 f:A→B– A 是定义域(domain)、B 是伴域(co-domain)

若 f (a) = b,其中 a∈A 且 b∈B– b 是 a 的像(image)、a 是 b 的原像(pre-image) a 自变量、b 函数值

– 值域(range):由 A 中所有元素的像组成的集合4

2.3.1 引言

f: A Bf (a)

原像

b 像值域

B定义域

映射

陪域5

2.3.2 一对一函数和映上函数

定义5. 函数 f 是单射(injection)(一对一)– iff. 对 f 定义域中