二次型与对称矩阵一一对应

摘 要：一一对应是小学低年级数学教学中的教学任务，其通俗意义为“一个萝卜一个坑”。这种简单的数学逻辑思维是小学生分析归纳思想的雏形。在强调素质教育的今天，教师在讲授一一对应这个概念时不能照本宣科，而是要以案例教学的形式对其进行传授。

关键词：一一对应；归纳思维；游戏 一、一一对应思想的含义

一一对应，是指一个集合里的某种元素一一对应于另外一个集合里某元素的简称，两个“一”可以表示一对多、多对一或者多对多。如一只羊对应两只眼睛、四条腿，五个人对应一家人，三口之家对应五口之家。在日常生活中，一一对应思想一般是用来简化认识任务的。如当小学生面临很混乱的玩具时，为了快速查找所需的玩具，他们会有意无意地运用一一对应策略来对玩具进行分类。

二、一一对应规律对培养小学生能力的重要性

一一对应是一种简单的数学逻辑，它对培养小学生的加减乘除运算能力和分析归纳能力都有很重要的作用。

1.利于培养学生的分类归纳能力 对于小学生来说，分类归纳能力是一项很重要的能力。为了使小学生养成分类归纳习惯，在日常的教学中，教师得按照提出问题、分析问题、解决问题这个顺序培养小学生的动手能力。如为了培养小学生的分类归纳能力，可以采用如

线性代数课件

第五章 习题课典 型 例 题一、二次型及其矩阵表示 二、化二次型为标准

三、正定二次型的判定

线性代数课件

一、二次型及其矩阵表示例1. 求实二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) (ai1 x1 ai 2 x2 ain xn )i 1 n 2

的矩阵及秩.

解 a11 a21 令A an1 a12 a22 an 2 a1n A1 a2 n A2 ann An

线性代数课件

A1 n A2 则A ' A ( A '1 , A '2 , , A 'n ) A 'i Ai i 1 An 于是f ( x1 , x2 , , xn ) (( x1 , x2 , xn ) A 'i ) 2i 1 n

x1 n x2 ( x1 , x2 , , xn ) A 'i Ai i 1 xn

线性代数课件

x1 x1 n x

第六章 二 次 型

I 重要知识点

一、二次型及其矩阵表示

1、二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1，x2，…，xn的二次齐次多项式f(x1，x2，…，xn)=a11x12+2a12x1x2+ … +2a1nx1xn

+a22x22+ … +a2nx2xn + … (3) +annxn2

称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。

2、二次型的矩阵表示 设n阶对称矩阵

?a11?a12A=?????a?1na12a22?a2n?a1n???a2n? ?????ann??则n元二次型可表示为下列矩阵形式：

?a11?a12f(x1，x2，…，xn)=( x1，x2，…，xn) ?????a?1na12a22?a2n?a1n??x1?????a2n??x2?T

=XAX

????????????ann???xn?其中 X=( x1，x2，…，xn)T。对称矩阵A称为二次型的系数矩阵，简

二次型理论与代数学在中国的传播

论文题目作者姓名班级学号学科专业所在学院任课教师提交日期《高等代数学》

二次型理论与代数学在中国的传播

2014年11月20日

二次型理论与代数学在中国的传播

摘 要：高等代数是历史悠久、内容丰富的一门基础学科。二次型作为高等代数的重要内容, 已被广泛应用到很多实际问题中。二次型在中国的传播为代数学得发展奠定了基础。

关键词：二次型；代数学；传播

1 二次型的研究背景及近况

二次型的研究是从18世纪开始的，它是对二次曲线和二次曲面的分类问题进行讨论研究，将二次曲线和二次曲面的方程进行变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。更进一步来看，随着科学技术的迅速发展以及电子计算机的普及使用，线性代数

二次型理论与代数学在中国的传播

论文题目作者姓名班级学号学科专业所在学院任课教师提交日期《高等代数学》

二次型理论与代数学在中国的传播

2014年11月20日

二次型理论与代数学在中国的传播

摘 要：高等代数是历史悠久、内容丰富的一门基础学科。二次型作为高等代数的重要内容, 已被广泛应用到很多实际问题中。二次型在中国的传播为代数学得发展奠定了基础。

关键词：二次型；代数学；传播

1 二次型的研究背景及近况

二次型的研究是从18世纪开始的，它是对二次曲线和二次曲面的分类问题进行讨论研究，将二次曲线和二次曲面的方程进行变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。更进一步来看，随着科学技术的迅速发展以及电子计算机的普及使用，线性代数

轴对称变换

知识梳理 轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．?

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到． 轴对称变换的性质

（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样

（2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 作一个图形关于某条直线的轴对称图形 （1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．

例题分析

一、选择题

1．下列说法正确的是（ ） A．任何一个图形都有对称轴; B．两个全等三角形一定关于某直线对称;

C．若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′;

D．点A，点B在直线1两旁，且AB与直线1交于点O，若AO=BO，则点A与点B?关于直线l对称.

2．已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线1对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线1上；③若A、A′是对应点，?则直线1垂

直平分线段AA′；④若B、B′是对应点，则PB=PB′，其中正确

第五章

二次型

一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、惯性定理 六、正(负)定二次型的概念 七、正(负)定二次型的判别1

一、二次型及其标准形的概念定义1 含有n个变量 x1 , x 2 , , x n的二次齐次函数2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn

2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1, n xn 1 xn

称为二次型.当aij是复数时 , f称为复二次型 ; 当aij是实数时 , f称为 实二次型 .

只含有平方项的二次型 2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn 称为二次型的标准形(或法式). 例如2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3

为二次型的标准形. 只含有平方项的且形如以下二次型 2 2 2 2 f y1 y p y p 1 yr 称为二次型的规范形3

二、二次型的表示方法1.用和号表示 对二次型 2 2 2 f x1

第五讲二次型

一、二次型的概念及标准形 1、 二次型的概念及几种表述

数域F上的n元二次齐次函数称为数域F上的n元二次型。有以下几种表述方式： （1）f(x1,x2,?,xn)???axxijii?1j?1nnj；

222（2）f(x1,x2,?,xn)?a11x1?a22x2???annxn?2?axxijii?jj；

T（3）f(x1,x2,?,xn)?XTAX，其中XT?(x1,x2,?,xn)，A?(aij)n?n，且A?A，并称A为二次型的矩阵。 2、矩阵合同

（1） 设A,B?Fn?n,若存在可逆矩阵T?Fn?n，使B?TAT，则称A与B是合同的。

T（2） 合同是矩阵间的一种等价关系。

（3） 二次型经过非退化的线性替换仍变为二次型，且新老二次型的矩阵是合同的。

3、 标准形

222（1） 二次型f(x1,x2,?,xn)?d1x1称为标准形。 ?d2x2???dnxn（2） 任何二次型都可以通过非退化线性替换化成标准形。 （3） 任何对称矩阵都合同于一个对角阵。

4、 复数域上二次型的规范形

222（1） 复二次型f(x1,x2,?,xn)?d1x1，其中di?1或0，称为复?d2x2???dnxn数域上的规范形。

（2） 任

数学一：包含线代，高数，概率。适用的学科为：

1

．工学门类的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、冶金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等一级学科中所有的二级学科、专业．

2

．工学门类的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较高的二级学科、专业．

3

．管理学门类中的管理科学与工程一级学科

按此划分，

绝大多数院校的计算机专业都会选择考数学一，

这也是从事计算机所必须的最低

数学功底。

数学二：包含线代，高数。适用的学科为：

1

．工学门类的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等一级学科中所有的二级学科、专业．

2

．工学门类的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较低的二级学科、专业．

数学三：常被称为经济数学，包含线代，概率，高数。适用学科为：

1

．经济学门类的应用经济学一级学科中统计学

《二次函数的图象》教案

一、教学目标

(一)知识目标

2y ax bx c的图象； 1．使学生会用描点法画出二次函数

2．使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴(对于不升学的学生，只要求会用公式确定抛物线的顶点和对称轴)；

3．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念；

4．使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式．

(二)能力目标

1．培养学生分析问题、解决问题的能力；

2．向学生进行配方法和待定系数法的渗透，使学生能初步掌握；

(三)情感目标

1．向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育．

2．通过二次函数的进一步研究，让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美．

二、教学方法

教师采用比较法、观察法、归纳总结法

本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方，确定抛物线的顶点、对称轴等特征，进而画出这条抛物线，在学习中，学生不要死记硬背，要运用数形结合思想，熟练画出抛物线草图，结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系．

三、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上2y