数学归纳法格式

数学归纳法的应用

姓名 甘国优 指导教师 赵慧炜

中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力． 关键词：数学归纳法；步骤;证明方法．

Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,

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数学归纳法上课人：张文根 时间：2014年11月19日

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学习目标1、明白数学归纳法的递推原理 2、合理选择数学归纳法证明问题时的第一个取值 3、明白由n=k成立推导n=k+1成立时，代数式是如何变化的 4、证明不等式时，注意数学归纳法和其它方法的综合应用。

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课前热身n n +1 2 n + 1 1、 求证： 12+22+…+n 2= . 6 证明 (1)当 n=1 时，左边=1, 1· 1+1 2+1 右边= =1,左边=右边，等式成立； 6(2)假设 n=k (k∈N*)时，等式成立， k k+1 2k+1 2 2 2 即 1 +2 +…+k = , 6 则当 n=k+1 时， k k+1 2k+1 2 2 2 2 1 +2 +…+k +(k+1) = +(k+1)2 6 k+1 [ k+1 +1][2 k+1 +1] = 6所以当 n=k+1 时，等式仍然成立.

由(1)、(2)可知，对于 n∈N*等式恒成立.

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2.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为

1 n(n-3)条时,第一步检验 n 等于( C 2(A)1 (B)2 (C)3 (D)0

)

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3.用数学归纳法证明 1+2+3+…4 2 n n

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学汇教育辅导讲义 学员编号： 年 级：高二 课时数：2 学员姓名： 辅导科目：数学 教师：张福到 课 数列与数学归纳法 题 授课时间：2小时 教学目标 备课时间： 2013.07 1、掌握如何证明数列的有关性质 2、学会如何用数学归纳法 教学内容 一、知识点回顾 1、等差数列，等差数列的通项公式，前n项和公式 练习题： 1、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为 A、 4 B、 5 C、 6 D、不存在 2、等差数列{an}中，a1+a7=42， a10-a3=21， 则前10项的S10等于（ ） A、 720 B、257 C、255 D、不确定 3、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么 a ：b 等于 （ ） A、 B、 C、或 1 D、

数学归纳法的拓广

摘要：本文首先列出了自然数集上的数学归纳法的几中常见形式，写出了数学归纳法的逆否命题，接着将数学归纳法从自然数集逐步推广至复数集及其某些子集，然后指明数学归纳法的实质在于递推，在此基础上又将数学归纳法从等差数集推广至等比数集等良序集，最后又将数学归纳法从普通加法运算推广至一般抽象运算，这样便为数学命题的证明开辟了一条新的道路。另外，文章中还穿插举例说明了某些应用。

关键词：数学归纳法、拓广、递推、良序集、抽象运算

数学归纳法是证明自然数集上的命题的一种重要论证方法，许多数学命题利用其他数学方法很难证明或根本无法证明，但利用数学归纳法会很容易地得到解决。数学归纳法的理论根据是自然数的序数理论，而且为了证明命题的需要演变成了多种形式，下面列出几种常见形式：

（1） 第一数学归纳法原理

定理1：如果关于自然数n的命题p（n）满足：

1) （奠基）p(n)在n=1时成立；

2) （归纳）在p(k)成立的假定下，可以推出p(k+1)成立。 则p(n)对于所有自然数n都成立。

推论1：设p(n)是关于自然数n(n≥n1,n∈N)的命题，若

1) p(n)在n=n1时成立。

2) 在p(k)(k≥n1)

数学归纳法的拓广

摘要：本文首先列出了自然数集上的数学归纳法的几中常见形式，写出了数学归纳法的逆否命题，接着将数学归纳法从自然数集逐步推广至复数集及其某些子集，然后指明数学归纳法的实质在于递推，在此基础上又将数学归纳法从等差数集推广至等比数集等良序集，最后又将数学归纳法从普通加法运算推广至一般抽象运算，这样便为数学命题的证明开辟了一条新的道路。另外，文章中还穿插举例说明了某些应用。

关键词：数学归纳法、拓广、递推、良序集、抽象运算

数学归纳法是证明自然数集上的命题的一种重要论证方法，许多数学命题利用其他数学方法很难证明或根本无法证明，但利用数学归纳法会很容易地得到解决。数学归纳法的理论根据是自然数的序数理论，而且为了证明命题的需要演变成了多种形式，下面列出几种常见形式：

（1） 第一数学归纳法原理

定理1：如果关于自然数n的命题p（n）满足：

1) （奠基）p(n)在n=1时成立；

2) （归纳）在p(k)成立的假定下，可以推出p(k+1)成立。 则p(n)对于所有自然数n都成立。

推论1：设p(n)是关于自然数n(n≥n1,n∈N)的命题，若

1) p(n)在n=n1时成立。

2) 在p(k)(k≥n1)

晋中学院XX学院20XX届本科生毕业论文

浅谈数学归纳法及其应用

学生姓名:XXX（XXX班） 指导老师:XXX

摘 要:数学归纳法是数学中最基本也是最重要的证明方法之一,在数学各个分支里都有广泛应用,利用数学归纳法可以解决比较复杂的问题.本文从数学归纳法的整体结构出发,对数学归纳法的思想渊源、基本原理及常见形式进行了分析总结,介绍了数学归纳法在初等数学、高等数学、离散数学、概率论、图论等学科中的应用. 关键词:数学归纳法;渊源;原理;表现形式;理论基础及其证明;应用

晋中学院XX学院20XX届本科生毕业论文

On the Mathematical Induction and its Application

Student: X XX Instructor: X XX

Abstract: Mathematical induction is one way of the most ba

晋中学院XX学院20XX届本科生毕业论文

浅谈数学归纳法及其应用

学生姓名:XXX（XXX班） 指导老师:XXX

摘 要:数学归纳法是数学中最基本也是最重要的证明方法之一,在数学各个分支里都有广泛应用,利用数学归纳法可以解决比较复杂的问题.本文从数学归纳法的整体结构出发,对数学归纳法的思想渊源、基本原理及常见形式进行了分析总结,介绍了数学归纳法在初等数学、高等数学、离散数学、概率论、图论等学科中的应用. 关键词:数学归纳法;渊源;原理;表现形式;理论基础及其证明;应用

晋中学院XX学院20XX届本科生毕业论文

On the Mathematical Induction and its Application

Student: X XX Instructor: X XX

Abstract: Mathematical induction is one way of the most ba

数学归纳法及其应用

数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在进一步学习及研究高等数学时,也是一种非常重要的方法．数学归纳法在证明与正整数有关的命题时有其独特之处．对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是掌握这种证明方法的关键．要熟练的掌握及应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中,运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出结论最为重要．数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等．

河南师范大学本科毕业论文

正整数是无穷的．一个与正整数N有关的命题，当n=1时表示一个命题，

当n=2时又表示一个命题，如此等等，无穷无尽．因此，一个与正整数N有关的命题本质上包含了无穷多个命题．假如我们对于这无穷多个命题，按部就班地一个一个去证，那么不管我们的证题速度有多快，也是今生今世都证不完的．

在一个与正整数N有关的命题面前，作为万物之灵的人，发明了一种方法，叫做“数学归纳法”．人们运用此法，只需寥寥几步，像变戏法似的，便把无穷多个命题一个不剩的全证完了[1]．

数学归纳法

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY

2012届本科毕业论文

第一数学归纳法及其应用

院（系）名称 专 业 名 称 学学指

导

教生

姓

名 号 师

数学科学学院 数学与应用数学

胡晓丹 080414013 查正邦 副教授

2012.5

完 成 时 间

洛阳师范学院本科毕业论文

第一数学归纳法及其应用

胡晓丹

数学科学学院 数学与应用数学专业 学号：080414013

指导老师：查正邦 副教授

摘要：数学归纳法是数学思维方法中最重要、最常用的方法之一, 这不仅因为其中大量问题都与自然数有关, 更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程. 本文对数学归纳法的由来、运用技巧以及需要注意的问题进行较为完整的系统论述. 重点阐述了第一数学归纳法的精髓和一般的解题思路, 以及在求解数学问题中的应用和技巧.

关键词：归纳法 第一数学归纳法 不等式 数列 1 引言

对于数学归纳法的研究国内已有不少论文, 这些论文在具体方面做了详尽的论述. 同时还有数量不少的论文从数学归纳法的细微处着眼. 我国的数学期刊或数理杂志, 如《数学教育报》, 《数学通报》, 《数学通讯》等, 刊载的相关文章都从各个角度具体阐述了数学归纳法的常见问题. 数学

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第 8朝

高中数学教与学

竞赛问题巾硇数学归纳法5平(江苏省南菁中学， 2 1 4 4 0 0 )

一

些较为复杂的与正整数有关的竞赛

“、 b有两种情况，即 a、 b全不等于 P,或 n, b

命题，我们可考虑用数学归纳法来证明，证明的关键在于我们要注意充分利用和灵活运用“归纳假设” .下面两个典型的例子可给我们一些启示.

中仅有一个为 .若 a, b全不等于 P,不妨设 a: P十a , b: P+a i,贝 0l n— b l: l ai~ a j 1 .

a+ b: 2 al a 2…a^+ ( a i+a j ),

由①,②易得，l a— b l l ( a+b ) . 若 a, b仅有一个为 P,不妨设 a= P, b:P+a i,则I a— b l:,

例1 求证：对任意的 n∈ N,≥ 2,都存在个互不相等的正整数组成的集合 M, 使得对任意的 n∈ M, b∈ M, I a—b l都可以整除 a+ b .

a+b= 2" al a2… a k+ a j

证明 ( 1 )当 n=2时，存在 M={ 1, 2} .

:a j ( 2 al a 2…a j~ 1 a j+ l…a^+ 1 )

由a, 6∈ M,易知，I a