无穷级数例题及答案

第十一章 无穷级数

(A)

用定义判断下列级数的敛散性

1．

???n?1?11??1；3．???n?n?。 n?2?n?1 ；2．?5?n?12n?2n?2?n?1?3??判断下列正项级数的敛散性

????nen4n!2n?3n?14．?；5．?n；6．?；7．?；8．?； n??nn?32n100en?1n?1n?1n?1n!n?1??n???1??n?9．??。 ?；10．?n2n?1n?1?3n?1??nn求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛

11．???1?n?1?n?1n2n?1；12．???1?n?2?n1；13．1.1?1.01?1.001?1.0001??； lnn14．

1234?2?2?2??； 22?13?14?1求下列幂级数的收敛半径和收敛区间

15．?n?1??3n??xn1nnx；16．???1?n；17．?n!x；18．?n?x?1?；

nnn?1n?12nn?1n?n19．?n?112n?1x2n?1n2n；20．?nx；

n?13?求下列级数的和函数

21．?nxn?1?n?1；22．?n?1?122n?1； xn?1将下列函数展开成x?x0的幂的级数

ex?ex23．shx?，x0?0；

1

1，对三组生产数据求和:=SUM(B2:B7,D2:D7,F2:F7)：

2，对生产表中大于100的产量进行求和:{=SUM((B2:B11>100)*B2:B11)}：

3，对生产表大于110或者小于100的数据求和:{=SUM(((B2:B11<100)+(B2:B11>110))*B2:B11)}： 4，对一车间男性职工的工资求和:{=SUM((B2:B10=\一车间\男\： 5，对姓赵的女职工工资求和:{=SUM((LEFT(A2:A10)=\赵\女\6，求前三名产量之和:=SUM(LARGE(B2:B10,{1,2,3}))： 7，求所有工作表相同区域数据之和:=SUM(A组:E组!B2:B9)

8，求图书订购价格总和:{=SUM((B2:E2=参考价格!A$2:A$7)*参考价格!B$2:B$7)} 9，求当前表以外的所有工作表相同区域的总和:=SUM(一月:五月!B2), 10，用SUM函数计数:{=SUM((B2:B9=\男\ 11，求1累加到100之和:{=SUM(ROW(1:100))}

12，多个工作表不同区域求前三名产量和:{=SUM(LARGE(CHOOSE({1,2,3,4,5},A组!B2:B9,B组!B2:B9,C组!B2:

【练10】（1）（黄岗三月分统考变式题）设a间。 答案：当0?0，且a?1试求函数y?loga4?3x?x2的的单调区

3?3???3???a?1，函数在??1,?上单调递减在?,4?上单调递增当a?1函数在??1,?上单调

2?2???2??递增在

?3?

,4?上单调递减。 ??2?

（2）若函数

1f?x??loga?x3?ax??a?0,a?1?在区间(?,0)内单调递增，则a的取值范围是（）A、

21399[,1) B、[,1) C、(,??) D、(1,) 44442则g'?x??3x?a当a?1时，要使得f?x?是增函数，则需有g'?x??0?x??x3?ax，

2答案：B.（记g3?1?恒成立，所以a?3????.矛盾.排除C、D当0?a?1时，要使f?x?是函数，则需有g'?x??0恒

4?2?3?1?成立，所以a?3????.排除A）

4?2?2【易错点11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．

12求siny?cosx的最大值 31【易错点分析】此题学生都能通过条件sinx?siny?将问题转化为关于sinx的函数，进而利用换

3元的思想令t?sinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。但

《数学实验》在线习题3

Matlab程序设计部分 一. 分

析

向

量

组

a1?[1T2a23?]?,?T[a31T?2，0],a4?[1?2?1]T，a5?[246]T的线性相关性，找出它们的最大无关组，并将其

余向理表示成最大无关组的线性组合。

解， a1=[1 2 3]';

a2=[-1 -2 0]'; a3=[0 0 1]'; a4=[1 -2 -1]'; a5=[2 4 6]'; A=[a1,a2,a3,a4,a5] ; [R,S]=rref(A) r=length(S)

R =

1.0000 0 0.3333 0 2.0000 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 1.0000 0 S =

1 2 4 r =

3

线性相关 a1,a2,a3,a4,a5 最大无关组是a1,a2,a4

其余向量的线性组合是a3=1/3a1+1/3a2 a5=2a1

二. 计算行列式

《数学实验》在线习题3

Matlab程序设计部分 一. 分

析

向

量

组

a1?[1T2a23?]?,?T[a31T?2，0],a4?[1?2?1]T，a5?[246]T的线性相关性，找出它们的最大无关组，并将其

余向理表示成最大无关组的线性组合。

解， a1=[1 2 3]';

a2=[-1 -2 0]'; a3=[0 0 1]'; a4=[1 -2 -1]'; a5=[2 4 6]'; A=[a1,a2,a3,a4,a5] ; [R,S]=rref(A) r=length(S)

R =

1.0000 0 0.3333 0 2.0000 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 1.0000 0 S =

1 2 4 r =

3

线性相关 a1,a2,a3,a4,a5 最大无关组是a1,a2,a4

其余向量的线性组合是a3=1/3a1+1/3a2 a5=2a1

二. 计算行列式

（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sin?cos222??co2s??sin??2co2s??1?1?2sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? cossin(???)?sin?cos??cos?sin? tan2??2tan?1?tan?2

sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin??2?1?co?s 2tan(???)?tan??tan??1?co?s cos??

1?tan?tan?22?1?cos?sin?1?cos?tan??tan?tan????tan(???)? 21?cos?1?cos?sin?1?tan?tan?公式组三 公式组四 公式组五 1?1?sin??????sin??????sin?cos??2tancos(???)?sin?222 s

第十一章 无穷级数

A

1、根据级数发散与收敛性定义与性质判断级数收敛性 1）???n?1?n?

n?1 2） 111?3?3?5?15?7?...?1(2n?1)(2n?1?...

3）sin(?)?sin(2?n?66)?...?sin(6)...

2、用比较法或极限形式的比较法判定级数收敛性。 1）sin(??2)?sin(?223)???sin(2n)?

2）??1n ?a?1?

n?11?a 3）??n?1(n?1)(1n?4) 4） 1?1?21?31?n1?22?1?32?...1?n2...

1

3、用比值审敛法判定级数收敛性 1）??ntan?1

n?12n?

?2）?n23n n?1

?3）?2nn n?1n3

4、用根值法判定级数收敛性 ?1）?(nn3n?1)

n?1 2）

??1n n?1?ln(n?1)?

5、下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛1）1?112?3?14?... 2）

??(?1)nnn?1

n?13 2

?3）

?(?1)n13?2n n?1

6、求下列幂级数的收敛性半径和收敛域域。1) 1?x?x2nxn22?

（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sin?cos222??co2s??sin??2co2s??1?1?2sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? cossin(???)?sin?cos??cos?sin? tan2??2tan?1?tan?2

sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin??2?1?co?s 2tan(???)?tan??tan??1?co?s cos??

1?tan?tan?22?1?cos?sin?1?cos?tan??tan?tan????tan(???)? 21?cos?1?cos?sin?1?tan?tan?公式组三 公式组四 公式组五 1?1?sin??????sin??????sin?cos??2tancos(???)?sin?222 s

（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sin?cos222??co2s??sin??2co2s??1?1?2sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? cossin(???)?sin?cos??cos?sin? tan2??2tan?1?tan?2

sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin??2?1?co?s 2tan(???)?tan??tan??1?co?s cos??

1?tan?tan?22?1?cos?sin?1?cos?tan??tan?tan????tan(???)? 21?cos?1?cos?sin?1?tan?tan?公式组三 公式组四 公式组五 1?1?sin??????sin??????sin?cos??2tancos(???)?sin?222 s

序 言

线性代数课程的特点是：

四多：概念多，定理多，符号多，运算规律多，且内容相互纵横交错。知识前后紧密联系。考生应充分理解概念、掌握定理的条件、结论，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法。抓联系，找规律，重应用。

行列式的重点是计算，利用性质熟练、准确、快捷的计算出行列式的值是一个基本功。

矩阵中除可逆矩阵、分块矩阵、初等矩阵、对称矩阵、正交矩阵、数量矩阵等重要概念外，主要也是运算，首先是矩阵符号的运算，其次是数值运算。特别是在解矩阵方程时先用符号运算化简方程，然后利用所给数值求出最后结果。这时往往是矩阵乘法或求逆，对这两种运算又务必要准确熟练。A和A*的关系式，矩阵乘积的行列式，方阵的幂，分块矩阵求逆及行列式也是常考的内容。

关于向量，在加减及数乘运算上等同于矩阵运算，而其特有的相关、无关性的命题却在试卷中随处可见。证明（或判断）向量组的线性相关（无关）性，线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理，并要注意推证过程中逻辑的正确性及证法的应用。

向量组的极大无关性、等价向量组、向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换求向量组及矩阵的秩的方法要熟练准确。在R?中，基、坐标