矩阵的对角化及其应用答辩

学院2016届

本科毕业论文(设计)

矩阵的对角化及其应用

学生姓名： 学 号：

专 业： 数学与应用数学 指导老师： 答辩时间： 2016.5.22 装订时间： 2016.5.25

A Graduation Thesis (Project)

Submitted to School of Science, Hubei University for Nationalities

In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree

In the Year of 2016

Diagonalization of the Matrix and its Applications

Student Name Student No.:

Specialty: Mathematics and Applied Mathematics Supervisor:

Date of Thesis Defense:2016.5.22 Date of Bookbinding: 201

5.2 矩阵对角化

一、相似矩阵与相似变换的概念定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使 P AP B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算 P 1 AP称为对A进行相似变换 , 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵. 1

A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B

定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.证明A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B 1 1 B E P AP P E P

P 1 A E P

P 1 A E P A E .

A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B

定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.

B E A E .推论 若 n 阶方阵A与对角阵 1 2 n

相似, 则 1 , 2 , , n即是A的n个特征值.

三、利用相似变换将方阵对角化对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P

高等数学 学术论文

年

月

长春教育学院学报

第

卷第

期

矩阵的特征值与特征向量及对角化问题的同步解决法王海东重庆邮电学院计算机学院,

重庆

刃

摘

要本文给出了一种新方法可使求矩阵的特征值特征向量与判定可否对角化的问,,

题同时得到解决中图分类号一引言、

。

关键词特征值特征向量方阵矩阵的对角化初等变换二

文献标识码

文章编号

一

一

一

并且,

是一个数域

是

上的一个

阶矩阵对

,

二

专,

,

…夸岛,,

,

,

…氛,

,

,

…氛,

,

的初等变换是指下列三种变换互换矩阵中两行列的位置以

二

入

,

…入入,,

,

…入

…入

其中入出现的次数为,

。。

中一个非零的数乘矩阵的某一行。

这种传统的方法需要求解一个的特征方程还需要解

次方程即个未知数,

,

列

个,

个方程

把矩阵的某一行列的列,,

倍加到另一行

的齐次线性方程组以求出它们的基础解系求解,

其中

二

的过程是重复而冗长的本人给出了一种只用矩

不难证明矩阵的第一种初等变换是非本质

阵的第三种初等变换就能同时求出矩阵的特征值与特征向量又能判定矩阵是否对角化的方法,

的因为由第二种初等变换与第三种初等变换可以推出第一种初等变换。

。

如果

入二

,

且存在

上

二方法与例子

、

维非零向量使得,

下面的定理与结论引自文献〔〕定理复数域上任意的,

七

入毛

阶矩阵,一

都与一’

则称入为征值

的一个特征值而七称为属于特。

,

高等数学 学术论文

年

月

长春教育学院学报

第

卷第

期

矩阵的特征值与特征向量及对角化问题的同步解决法王海东重庆邮电学院计算机学院,

重庆

刃

摘

要本文给出了一种新方法可使求矩阵的特征值特征向量与判定可否对角化的问,,

题同时得到解决中图分类号一引言、

。

关键词特征值特征向量方阵矩阵的对角化初等变换二

文献标识码

文章编号

一

一

一

并且,

是一个数域

是

上的一个

阶矩阵对

,

二

专,

,

…夸岛,,

,

,

…氛,

,

,

…氛,

,

的初等变换是指下列三种变换互换矩阵中两行列的位置以

二

入

,

…入入,,

,

…入

…入

其中入出现的次数为,

。。

中一个非零的数乘矩阵的某一行。

这种传统的方法需要求解一个的特征方程还需要解

次方程即个未知数,

,

列

个,

个方程

把矩阵的某一行列的列,,

倍加到另一行

的齐次线性方程组以求出它们的基础解系求解,

其中

二

的过程是重复而冗长的本人给出了一种只用矩

不难证明矩阵的第一种初等变换是非本质

阵的第三种初等变换就能同时求出矩阵的特征值与特征向量又能判定矩阵是否对角化的方法,

的因为由第二种初等变换与第三种初等变换可以推出第一种初等变换。

。

如果

入二

,

且存在

上

二方法与例子

、

维非零向量使得,

下面的定理与结论引自文献〔〕定理复数域上任意的,

七

入毛

阶矩阵,一

都与一’

则称入为征值

的一个特征值而七称为属于特。

,

习题一??a12???a?2x25、设W=??11?Ra?a?0??1122aa??2122????2x2（1）证明W是R的子空间（2）试求W的一组基2??3（3）试求A=??在所求基下的坐标5?3??解：（1）证：由于02x2?W故W是非空集合?a 设?11?a21?ｂ11　　　??b21a12???W且a11?a22?0a22?b12???W且b11?b22?0b22?b12??a11?b11??ｂ11????????b21b22??a21?b21?0 ， b11?b22?0a12?b12???Wa22?b22???ka11ka12???????ka21ka22??k(a11?a22)?k?0?0a12?b12??a22?b22?a12?a 则 ?11?a21a22由于 a11?a22?a?b11故 ?11?a21?b21a12?a又 k?11?a21a22 ka11?ka22所以 a11?b11?a22?b22=（a11?a22）?（b11?b22）=0+0=0a12??a则 k?11??Waa22??21综上所述W是R2x2的子空间（2）根据题意设y?0??1?01??00??x?y?z????????x??0?

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

矩阵的初等变换及其应用
王丹




矩阵的初等变换及其应用

摘 要
矩阵的初等变换是研究矩阵的一种重要手段，是线性代数中应用的核心。本文简单介绍了与矩阵相关的一些概念和性质，以此为基础，求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆后求逆矩阵、求方程组的基础解系、求特征值和特征向量、化二次型为标准形等等，并举例说明矩阵的初等变换在以上的应用中是如何发挥作用的。
关键词：矩阵，初等变换，应用
































The elementary transformation of matrix and its applications


Abstract
Elementary transformation matrix is an important means of Matrix is the core linear algebra applications. This article briefly describes some of the concepts and properties associated with the matrix as a basis, the rank of a matrix to determine whether a matrix is reversible after

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。