随机过程课后题答案

习题一

1．设随机变量X服从几何分布，即：P(X?k)?pqk,k?0,1,2,...。求X的特征函数、EX及DX。其中0?p?1,q?1?p是已知参数。

2．（1）求参数为（p,b）的?分布的特征函数，其概率密度函数为

?bpp?1?bxxe,x?0?p(x)???(p)?0,x?0?b?0,p?0（2）求其期望和方差；

（3）证明对具有相同的参数b的?分布，关于参数p具有可加性。 3．设X是一随机变量，F（x）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

（1）Y?aF(X)?b,(a?0,b是常数)； （2）Z=lnF(X)，并求E(Zk)（k为自然数）。

4．设X1,X2,...,Xn相互独立，具有相同的几何分布，试求 X k的分布。

k?1?nejt(1?ejnt)5．试证函数 f (t ) ? jt 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

n(1?e)6．试证函数 f ( t ) ? 2 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 7．设X1,X2,...,Xn相互独立同服从正态分布N(a,?2)，试求n维随机向量率密度函数。

11?t1nX1,X2,...

习题一

1．设随机变量X服从几何分布，即：P(X?k)?pqk,k?0,1,2,...。求X的特征函数、EX及DX。其中0?p?1,q?1?p是已知参数。

2．（1）求参数为（p,b）的?分布的特征函数，其概率密度函数为

?bpp?1?bxxe,x?0?p(x)???(p)?0,x?0?b?0,p?0（2）求其期望和方差；

（3）证明对具有相同的参数b的?分布，关于参数p具有可加性。 3．设X是一随机变量，F（x）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

（1）Y?aF(X)?b,(a?0,b是常数)； （2）Z=lnF(X)，并求E(Zk)（k为自然数）。

4．设X1,X2,...,Xn相互独立，具有相同的几何分布，试求 X k的分布。

k?1?nejt(1?ejnt)5．试证函数 f (t ) ? jt 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

n(1?e)6．试证函数 f ( t ) ? 2 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 7．设X1,X2,...,Xn相互独立同服从正态分布N(a,?2)，试求n维随机向量率密度函数。

11?t1nX1,X2,...

1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx和my，它们的自

相关函数分别为Rx(?)和Ry(?)。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案：

（1）Rz(?)?E?z(t??)z(t)??E?x(t??)y(t??)x(t)y(t)?

利用x(t)和y(t)独立的性质：Rz(?)?E?x(t??)x(t)?E?y(t??)y(t)???Rx(?)Ry(?) （2）Rz(?)?E?z(t??)z(t)??E??x(t??)?y(t??)???x(t)?y(t)?? ?E?x(t??)x(t)?x(t??)y(t)?y(t??)x(t)?y(t??)y(t)?

仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：Rz(?)?Rx(?)?2mxmy?Ry(?)

2、 一个RC低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2

的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。

电流：i(t)

电压：x(t) R C 电压：y(t)

答案：

（1） 该系统

1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx和my，它们的自

相关函数分别为Rx( )和Ry( )。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案：

（1）Rz( ) E z(t )z(t) E x(t )y(t )x(t)y(t)

利用x(t)和y(t)独立的性质：Rz( ) E x(t )x(t) E y(t )y(t)

Rx( )Ry( )

（2）Rz( ) E z(t )z(t) E x(t ) y(t ) x(t) y(t) E x(t )x(t) x(t )y(t) y(t )x(t) y(t )y(t)

仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：Rz( ) Rx( ) 2mxmy Ry( )

2、 一个RC低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2

的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。

电流：i(t)

电压：y(t)

答案：

（1） 该系统的系统函数为H(s)

Y(s)1

X(s)1 RCs

则频率响应为H(j )

一．填空题（每空2分，共20分）

1．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，则X的特征函数为e?(eit-1)。

2．设随机过程X(t)=Acos(? t+?),-?

1(sin(?t+1)-sin?t)。 21的同一指数分布。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为

?4．设?Wn,n?1?是与泊松过程?X(t),t?0?对应的一个等待时间序列，则Wn服从?分布。 5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t

?t?,对应随机变量X(t)??3t??e,如果t时取得红球如果t时取得白球，则 这个随机过程的状态空间

?12?2?t,t,?;e,e??。 ?33? 6．设马氏链的一步转移概率矩阵P=(pij)，n步转移矩阵P7．设?Xn,n?0(n)(n)nP?P，二者之间的关系为。 ?(p(n))ij?为马氏链，状态空间I，初始概率pi?P(X0=i)，绝对概率pj(n)?P?Xn?j?，

i?I(n)n步转移概率p(n)ij，三者之间的关系为pj(n)??pi?pij。

(n)8．在马氏链?Xn,n?0?中，记 fij?PXv?j,1?v?n-1,Xn?jX0?i,n?1,

??fi

1．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，则X的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos(? t+?),-?

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设?Wn,n?1?是与泊松过程?X(t),t?0?对应的一个等待时间序列，则Wn服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，

?t对每一个确定的t对应随机变量X(t)???3,如果t时取得红球，则 这个随机过

??et,如果t时取得白球程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p(n)(n)ij)，n步转移矩阵P?(pij)，二者之间的关系为 。

7．设?Xn,n?0?为马氏链，状态空间I，初始概率pi?P(X0=i)，绝对概率

pj(n)?P?Xn?j?，n步转移概率p(n)ij，三者之间的关系为 。 8．设{X(t),t?0}是泊松过程，且对于任意t2?t1?0则

P{X(5)?6|X(3)?4}?______

9．更新方程K?t??H?t???t0K?t?s?dF?s?解的一般形式为 。

10．记??EXn

随机过程习题解答（一）

第一讲作业：

1、设随机向量

的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布

和

的分布密度

是否独立？说明理由。

。

（a）分别写出随机变量（b）试问：解：（a）

（b）由于：

与

因此

是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：

因此

与

独立。

和

。

2、设 和 为独立的随机变量，期望和方差分别为

（a）试求

和 的相关系数；

（b） 与 能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用

的独立性，由计算有：

（b）当

的时候， 和 线性相关，即

3、设

，且是一个周期为T的函数，即

函数

解：由定义，有：

。

是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为

， 试求方差

4、考察两个谐波随机信号

和

，其中：

式中和 为正的常数； 是 内均匀分布的随机变量， 是标准正态分布的随机变量。

（a）求（b）若解：（a）

的均值、方差和相关函数； 与 独立，求

与Y

的互相关函数。

（b）

第二讲作业：

P33/2．解：

其中为整数， 为脉宽

从而有一维分布密度：

P33/3．解：由周期性及三角关系，有：

反函数

，因此有

基于LS-SVM的非线性系统直接逆模型控制分析

摘要：针对非线性系统逆模型建立较难的问题，提出了基于最小二乘支持向量机（LS-SVM）的非线性系统逆模型辨识建模方法以及模型的控制方法。根据仿真结果表明，采用LS-SVM建立的非线性系统逆模型在应用多项式核函数(Poly)进行试验比径向基核函数（RBF）所得效果更佳，使模型具有很高的精度和较强的泛化能力。基于LS-SVM建立的非线性系统直接逆模型控制能够对给定信号实现有效的跟踪，获得较好的跟踪响应性能，证实了该方法的可行性和有效性。

关键词：最小二乘支持向量机（LS-SVM）；非线性系统；多项式核函数；直接逆模型控制

Analysis of Straight Inverse Model Control for Nonlinear

System Based on LS-SVM

Abstract:Aiming at the problem of hard system identification modeling for nonlinear system, a method of inverse model identification for nonlinear system base

《随机过程期末考试卷》

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，

对每一个确定的t 对应随机变量?????=时取得白球如果时取得红球如果t t t e t

t X ,

,

3)(，则 这个随机过

程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率

{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。 8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则

{(5)6|(3)4}______P X X ===

9．更新方程()

第一章 随机过程的基本概念

一、随机过程的定义

例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，Xn表示第n次登记的数字，得到一个序列X1 ， X2 ， ···，记为{Xn，n=1,2, ···}，则Xn 是随机变量，而{Xn，n=1,2, ···}是随机过程。

例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令Xn 表示第n次统计所得的值，则Xn 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{Xn，n=1,2, ···}的统计规律性。 例3：一个醉汉在路上行走，以概率p前进一步，以概率1-p后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t时刻在路上的位置，则{X(t), t?0}就是（直线上的）随机游动。

例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t时刻的队长，用Y(t)表示t时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t?T}和{Y(t), t?T}都是随机过程。

定义：设给定参数集合T，若对每个t?T, X(t)是概率空间(?,?,P)上的随机变量，则称{X(t), t?T}为随机过程，其中T为指标集或参