gamma分布和卡方分布关系

卡方分布

一、 卡方分布的定义：

若n个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-square distribution），其中参数 n 称为自由度。

二、 卡方分布的性质：:

（1） (可加性) 设Yi~?2ni,?i,i?1,?,k,且相互独立，则 Y1???Yk~这里n?2?n,?,

?n,????.

ii22Va(r?n,?)?2n?4?.

（2） E(?n,?)?n??,

证明 （1）根据定义易得。 （2）设Y~2Y可表示为 ?n,?,则依定义，22 Y?X12???Xn?1?Xn,

其中Xi~N(0,1),i?1,?,n?1,Xn~N(?,1),且相互独立，于是

E(Y)??E(Xi2),

i?1n(1)

Var(Y)??Var(Xi2).i?1n(2)因为

E(Xi2)?Var(Xi)?E(

第四章 理论分布和抽样分布第一节 事件、概率和随机变量 第二节 二项式分布 第三节 正态分布 第四节 抽样分布

第一节 事件、概率和随机变量一、事件和事件发生的概率必然事件：在特定情况下必定发生的事件1、事件：自然界中每一件事物的每一种可能出现的情况 不可能事件：在特定情况下不可能发生的事件 随机事件：在特定情况下可能发生也可能不发生的事件 2、概率：每一个事件出现的可能性

随机事件常用大写英文字母表示，例如A、B、C…等等 某事件出现的概率用P( )表示；例如P(A)、 P(B)等。 概率的有效范围为0~1,即0≤P(A)≤1。 必然事件记为 ,其概率为1,即 P( ) = 1。 不可能事件记为 ,其概率为0,即 P( ) = 0。 随机事件的概率在0~1之间，即0<P(A)<1。

第一节 事件、概率和随机变量二、事件间的关系1、和事件： 事件A和事件B至少有一件发生的事件。记作A+B,读作 “或A发生，或B 发生” 2、积事件： 事件A和B同时发生的事件。记作AB,读作“A和B同 时发生” 两件不可能同时发生的事件。记作A· B=V 3、互斥事件： 两件不可能同时发生，两者中必定有一件发生的事件。

1 超几何分布与二项分布的区别

[知识点]关键是判断超几何分布与二项分布

判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列

()k n k M N M n N C C P X k C --==（0,1,2,,k m =）进行处理就可以了.

二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p -.

1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23

.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列；

(Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.

2、第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8

初中数学 八年级(下册)

7.4

频数分布表和频数分布直方图

抽样测量某中学八年级50名同学 怎么分才好呢？?? 考验我们耐心 cm): 的身高，结果如下(单位： 频数分布表

的时候到了

身高分组150 148 159 156 157 163 156 164 156 159

频数

频率

169 163

频率是怎么得到 170 162 163 164 155 162 153 155 的？

160 165 160 161 166 159 161 157 155 167

162 165 159 147 163 172 156 165 157 164

你能迅速 2 0.04 看出这些 149.5-152.5 3 0.06 学生的身 152.5-155.5 5 0.1 高在什么 范围内， 155.5-158.5 8 0.16 9 0.18 整体分布 158.5-161.5 的情况如 161.5-164.5 13 0.26 何吗？146.5-149.5 164.5-167.5 167.5-170.5 7 2 1 50 0.14 0.04 0.02

152 156 153 164 165 162 167 151 161 162

170.5-173.5 合 计

1

学生人数/人14

频数分布

第四章 理论分布和抽样分布第一节 事件、概率和随机变量 第二节 二项式分布 第三节 正态分布 第四节 抽样分布

第一节 事件、概率和随机变量一、事件和事件发生的概率必然事件：在特定情况下必定发生的事件1、事件：自然界中每一件事物的每一种可能出现的情况 不可能事件：在特定情况下不可能发生的事件 随机事件：在特定情况下可能发生也可能不发生的事件 2、概率：每一个事件出现的可能性

随机事件常用大写英文字母表示，例如A、B、C…等等 某事件出现的概率用P( )表示；例如P(A)、 P(B)等。 概率的有效范围为0~1,即0≤P(A)≤1。 必然事件记为 ,其概率为1,即 P( ) = 1。 不可能事件记为 ,其概率为0,即 P( ) = 0。 随机事件的概率在0~1之间，即0<P(A)<1。

第一节 事件、概率和随机变量二、事件间的关系1、和事件： 事件A和事件B至少有一件发生的事件。记作A+B,读作 “或A发生，或B 发生” 2、积事件： 事件A和B同时发生的事件。记作AB,读作“A和B同 时发生” 两件不可能同时发生的事件。记作A· B=V 3、互斥事件： 两件不可能同时发生，两者中必定有一件发生的事件。

超几何分布和二项分布的联系和区别

开滦一中 张智民

在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?

好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.

诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的

教材中的定义: (一)超几何分布的定义

在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k) =

CkMn-kN-MCnC,k?0,1,2，?, m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N,称随机变量X服从超

N几何分布

(二)独立重复试验和二项分布的定义

1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则

P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An) 2)二项分布

在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为P,

概况：

苗族，是一个古老的民族，散布在世界各地，主要分布于中国的黔、湘、鄂、川、滇、桂、琼等省区，以东南亚的老挝、越南、泰国等国家和地区[1-3] 。 根据历史文献记载和苗族口碑资料，苗族先民最先居住于黄河中下游地区，\三苗\时代又迁移至江汉平原，后又因战争等原因，逐渐向南、向西大迁徙，进入西南山区和云贵高原。自明清以后，有一部分苗族移居东南亚各国，近代又从这些地方远徙欧美[3] 。

苗族有自己的语言，苗语属汉藏语系苗瑫语族苗语支，分湘西、黔东和川黔滇三大方言。由于苗族与汉族长期交往，有一部分苗族兼通汉语并用汉文[1] 。苗族的宗教信仰主要是自然崇拜和祖先崇拜。[3] 。

在2010年中国人口普查中，中国苗族总人口为9426007人，人口在少数民族中居第四位[1 分布：

广西融水苗族自治县（1952年11月26日）

贵州威宁彝族回族苗族自治县（1954年11月11日） 贵州黔东南苗族侗族自治州（1956年7月23日） 贵州黔南布依族苗族自治州（1956年8月8日） 湖南城步苗族自治县（1956年11月30日） 贵州松桃苗族自治县（1956年12月31日）

湖南湘西土家族苗族自治州（1957年9月20日） 云南文山壮族苗族自治州（1958

数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某

城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个， 则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。

也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。

可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。

各种数学分布的方差是：

1、 2、

一个完全符合分布的样本 这个样本的方差

概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是

80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最

专题：超几何分布与二项分布

● 假定某批产品共有100个，其中有5个次品，采用不放回和放回抽样方式从中取出10件产品，那么次品数X的概率分布如何？

一、先考虑不放回抽样： 10从100件产品中随机取10件有C100种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件是“取到282件次品和8件正品”，依据乘法原理有C5C95种基本事件，根据古典概型，得 28C5C95P(X = 2) = 10则称X服从超几何分布 C100 类似地，可以求得X取其它值时对应的随机事件的概率，从而得到次品数X的分布列 X 0 05C5C95P 10 C1001 14C5C9510 C1002 23C5C9510 C1003 32C5C9510 C1004 41C5C9510 C1005 50C5C9510 C100 二、再考虑放回抽样： 从100件产品中有放回抽取10次，有10010种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件2是“取到2件次品和8件正品”，依据乘法原理有C10·52·958种基本事件，根据古典概型，得 C10·52·958252958P(X = 2) = ? C)()． 1010(100100100一般地，若随机变量X的分布列为 P(X

一、 正态分布

1.1概率密度函数

0.040.0350.030.0250.020.0150.010.0050-30y-20-100x10203040图1

正态分布的特征

（1）正态曲线在横轴上方均数处最高； （2）正态分布以均数为中心，左右对称；

（3）正态分布有两个参数，即均数μ和标准差S。μ是位置参数，当s固定不变时，μ越大，曲线沿横轴向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴向左移动。S是形状参数，当μ固定不变时，S越大，曲线越平阔；S越小，曲线越尖峭；

（4）正态曲线下面积的分布有一定规律：

①正态分布时区间（μ-1s,μ+1s）的面积占总面积的68.27%；②正态分布时区间（μ-1.96s,μ+1.96s）的面积占总面积的95%；③正态分布时区间（μ-2.58s,μ+2.58s）的面积占总面积的99%。

1.2、分布函数

10.90.80.70.60.50.40.30.20.10-100-80-60-40-200x20406080100p 图-2

正态分布是连续性变数的理论分布，计算其概率的原理和方法不同于二项分布。它

不能计算变量取某一定值，即某一点时的概率，而只能计算变量落在某一区间内的概率（即

概率密度）。

对于任何正态分布随机变