福建师范大学常微分方程期末考试A卷

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▆ 《常微分方程》 试卷 共2页（第 1 页） 答案务必写在对应的作答区域内，否则不得分，超出黑色边框区域的答案无效！

福建师范大学2021年2月《常微分方程》

期末考试A 卷 附参考答案

姓名：

专业：数学与应用数学 学号： 学习中心：

一、 填空题（每个空格4分，共40分）

1、 2

230dy dy x y dx dx ??+-= ??? 是 1 阶微分方程，是 非线性 方程（填“线性”或“非线性” ）。

2、 给定微分方程2'=y x ，它的通解是

，通过点（2，3）的特解是

。

3、 微分方程(,)(,)0+=M x y dx N x y dy 为恰当微分方程的充要条件是

。

4

、

方

程

''21

=-y x 的通解为

，满足初始条件

13|2,|5

====x x y y 的特解为

。 5

、

微

分

方

程

22

250+=d y

y dx 的通解

为

。 6

、

微

分

方

程

22680-+=d y dy

y dx dx

的

通

解

为 ，

该方程可化为一阶线性微分方程组

。

二、求解下列微分方程（每小题8分，共3

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目录

2018年江苏师范大学F52常微分方程之常微分方程复试核心题库（一） (2)

2018年江苏师范大学F52常微分方程之常微分方程复试核心题库（二） (10)

2018年江苏师范大学F52常微分方程之常微分方程复试核心题库（三） (19)

2018年江苏师范大学F52常微分方程之常微分方程复试核心题库（四） (29)

2018年江苏师范大学F52常微分方程之常微分方程复试核心题库（五） (38)

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2018年江苏师范大学F52常微分方程之常微分方程复试核心题库（一）

特别说明：

1-本资料为学员内部使用，整理汇编了2018考研复试重点题及历年复试常考题型。

2-资料仅供复试复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。 ————————————————————————————————————————

一、计算题

1． 给定方程组

这里是区间上的连续

矩阵.设

是

的一个基解矩阵，n 维向

量函数

在

上连续

试证明初值问题

的惟一解

是积分方程组

的连续解.反之的连续解也是初值问题

的解.

【答案】因为是（5. 15）式的一个基解矩阵，令

一、名词解释

1、瓦格纳法则

答：随着人均收入的提高，财政支出占GDP的比重也相应提高，即随着人均收入的提高，财政支出的提高率高于GDP的增长率。

2、财政补贴

答：是政府为了某种特定需要而将一部分财政资金无偿的发给居民、企业及其他受益者的支出，政府进行财政补贴，实质上是把纳税人的一部分收入无偿

转移给补贴领受者，是一种转移性支出，会引起国民收入的再分配。

3、社会保障

答：政府以法律的形式确定满足社会成员各种社会保障需求的社会保障措施。此时的社会保障被称为社会保障制度。它不仅具有规范性，而且保障范围也十

分广泛。这种社会保障是于社会化和专业化相适应的。综合比较不同国家的社

会保障制度，它们大体包括社会保险和社会救济两部分

三、简答题

1．请简述公共投资的特点。

答：（1）公益性。公共投资追求社会效益的最大化，而不以经济效益为目标。基

础设施和公益性设施只能或主要靠政府来集中提供，以满足社会的共同需要。（2）无偿性。公共投资的使用一般是无偿的，无法通过计价收费的方式来补偿，伙食只能得

到部分补偿。政府投资提高了居民的生活质量，企业和居民则无偿地向政府上缴税款，然后政府再继续用于公共投资，从而间接地形成公共投资的循环。(3)政策性。公共投资必须考虑国家产业政策。因其投资主

1.求下列方程的通解。

dydx?4ey?ysinx?1.

解：方程可化为

dedx??e?4sinx?1

y 令z?ey，得

dzdx??z?4sinx

由一阶线性方程的求解公式，得 z?e?(?1)dx(?4sinxe??(?1)dx)dx?c?e?x?2(sinx?cosx)?e?c?2(sinx?cosx)?cex?x所以原方程为：ey＝2(sinx?cosx)?ce?x

2.求下列方程的通解。

dy2?2?y?1?()??1.

dx??解：设

dydx?p?sint，则有y?sect， 1?sectdt?c?从而x??sinttgt?sec2tdt?t?tgt?c ，

故方程的解为(x?c)2?1?y2， 另外y??1也是方程的解 .

3.求方程

解：?0(x)?0 ?1(x)? ?2(x)? ?3(x)??dydx?x?y通过(0,0)的第三次近似解.

2?x0xxdx?(x?1412x

42?0x)dx?12x?2120x

x5?x012152??x?(x?x)?dx??220??x?2?014117??10x?x?x?x?dx ?440020??x

812120x?514

2012－2013学年秋学期《常微分方程》考试要求

参考内 容 课 时 第一章初等积分法 §1基本概念， 5课时 §2变量分离方程.齐次方程 §3一阶线性方程.伯努利方程 §4全微分方程与积分因子 §5可降阶的二阶微分方程 7课时 第二章 线性微分方程 §1线性微分方程解的一般理论 §2常系数线性微分方程的解法 §4一般线性方程的一些解法 要 求 1. 能够判别并且求解变量分离方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程以及（教材中所讨论的三类）可降阶二阶微分方程; 2. 了解积分因子的定义; 能判别并求解仅与x(或y)有关的积分因子；对简单的方程能用“凑积分因子”求解（类似于§4例9） 3. 能把简单的积分方程转化为微分方程并求解 1. 了解线性微分方程的叠加原理、掌握线性微分方程的通解结构定理；朗斯基行列式. 2. 熟练求解常系数（齐次和非齐次）线性微分方程。 3. 一般线性方程要求掌握变量变换法（欧拉方程和和降阶法）、变动任意常数法，幂级数解法不作要求 1. 能用矩阵方法求解特征根都是单根时的常系数齐次线性微分方程组（有重根情形不要求） 2. 能用消元法求解常系数线性微分方程组（类似书中

同济大学五版高等数学学习资料

第六章 常微分方程

一． 求解下列微分方程： 1. y' ex y

+ex=0.

解.

dydx=ex(e y 1), dye y 1

=exdx ln1 ey

=ex, 1 ey=cee xc

y=ln(1 ce

e x

).

2. dy dx

=(1 y2

)tanx

y(0)=2

解.

dy

1 y

2

=tanxdx

11+12lncy1 y= lncosx, y(0) = 2, 2lnc1+21 2=0, ln

1+y13+cos2x

3(1 y)=lncos2x, y=3 cos2x

二. 求解下列微分方程：

1. x x

1+ey 1 x

dx+ey

y dy=0 xey

x

1 解. dx y dy

=x

. 1+ey

令

x

y

=u,x=yu.(将y看成自变量) dxdy=u+ydudy

, 所以 u+ydudy=eu(u 1)

1+eu duueu euudy1+eu u= +eu

y=1+eu

c= 1

3

同济大学五版高等数学学习资料

u+eu 1dyd(u+eu)dy1+eu

ln= ln=ln= , = , ydu c yu+euyyu+eu

x

cc1u+euy

常 微 分 方 程

试卷（一至十） 试 卷（一）

一、填空题（3′×10＝30′）

1、以y1＝e2x，y2=exsinx，y3=excosx为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。

2、微分方程4x3y3dx+3x4y2dy=0的通积分是 。 3、柯西问题

dy?x，y（0）=1的解是 。 dx4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。

5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。 6、微分方程F(x，y，p)=0若有奇解y=? (x)，则y=? (x) 满足的P-判别式是 。 7、线性微分方程组

dY，Y2（x）…，Yn（x）?A(x)Y的解组Y1（x）

dx在某区间上线性无头的充分必要条件是 。 8、设A＝

1 0 1 0 0 -1 0 0 2 ，则矩阵指数函数exA＝ 。

9、方程y???y??y?0的通解是 。

10、由方程y????3ay???3ay??y?0的通解是 。 二、解下列各方程（7′×4＝28） 1、求方程

dyx?y?1?的通解： dxx?y?32、 (1+x2)y

第二章 微分方程方法

在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.

利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.

2.1 微分方程的一般理论

2.1.1微分方程简介

所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程?若未知函数是一元函数的微分方程? 叫常微分方程?而未知函数是多元函数的微分方程? 叫偏微分方程? 例如

y?4??4y'''?10y''?12y'?5y?sin2x （2.1.1） x2y''?12xy'?5y?0 (y')2?xy?0

南京理工大学《常微分方程》期末试卷

姓名 共 ----- 页

学号 南京理工大学 专业应用数学、统计 使用教材 （通编、讲义、自编） 修读性质 初修 、 重期末考试分数占总分数的百分比 % 考试方法 （闭、开）卷 考试时间 判卷人 讲授总学时 学分 教研室主任 密封线题人 题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 核分人 一． 求下列一阶微分方程的通解：（28分）

1．

dy?1?x?y2?xy2 dx

2. (x3?xy2)dx?(x2y?y3)dy?0dy?dy?3. ???x?y?0

dx?dx?dyyy2??2 4．

dxxx二. 设连续函数f(x)满足：三. 利用逐次逼近法求方程

2?x0（10分） f(t)dt?x??tf(x?t)dt，求函数f(x)。

0xdy?y2?x2满足初值条件y(0)?1的近似解： dx（8分） ?0(x),?1(x

第八章

常微分方程数值解法

摘要：对显式Euler方法来说,当解二阶连续可导时,其局部...(3.10)有解但解不唯一.不论如何选择这八个参数,不可能...算法8.1 经典Runge-Kutta方法本算法用经典Runge-... 关键词：导,论,算法 类别：专题技术

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常微分方程数值解法

教学目的 1. 掌握解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法；2. 掌握解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；3. 了解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步法的稳定性。

教学重点及难点 重点是解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；难点是理