复数的极坐标形式的乘除运算

如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘! 编写：高洪海 2017年3月14日

3.2.2复数代数形式的乘除运算

一【自学目标】

1理解并掌握复数的乘法、除法定义及运算方法 2.掌握复数积与商的模运算并能熟练应用.

二【知识要点】

1：复数的乘法

（1）复数的乘法法则：设z1?a?bi,z2?c?di,a,b,c,d?R，z1z2?__________________。（2）复数的乘法运算满足交换律，结合律和分配律，即对任意的复数z1,z2,z3,有： z1z2?____________，

（z1z2）z3=___________；z1(z2?z3)=___________。 2：复数的除法

规定两个复数除法的运算法则:

a?bic?di?__________________________。 三【预习自测】

1. 复数

5i?2的共轭复数是（ ） A．i?2 B．i?2 C．?2?i D．2?i 2. 复数(1?322i)3的值是（ ） A．?i B．i C．?1 D．1

3. 如果复数

2?bi1?2i的实部和虚部互为相反数，那么实数b的值为（ ） A．2 B．?2

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课时跟踪检测(十)复数代数形式的乘除运算

一、选择题

1．(辽宁高考)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()

A．2＋3i B．2－3i

C．3＋2i D．3－2i

解析：选A z＝

5

2－i

＋2i＝

5(2＋i)

(2－i)(2＋i)

＋2i＝2＋i＋2i

＝2＋3i.

2．已知复数z＝1－i，则

z2－2z

z－1

＝()

A．2i B．－2i

C．2 D．－2

解析：选B法一：因为z＝1－i，

所以

z2－2z

z－1

＝

(1－i)2－2(1－i)

1－i－1

＝

－2

－i

＝－2i.

法二：由已知得z－1＝－i，

而

z2－2z

z－1

＝

(z－1)2－1

z－1

＝

(－i)2－1

－i

＝2

i

＝－2i.

3．若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数

z

1＋i

的点是()

A．E B．F

C．G D．H

解析：选D由题图可得z＝3＋i，

所以

z

1＋i

＝

3＋i

1＋i

＝

(3＋i)(1－i)

(1＋i)(1－i)

＝

4－2i

2＝2－i，

则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．

4．(安徽高考)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝()

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A ．1＋i

B ．1－i

C ．－1＋i

D ．－1－i

解析：选A 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈

复数的三角形式及乘除运算

一、主要内容:

复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求:

1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.

4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点:

复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.

四、学习建议:

1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.

前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量

来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和

辐角来表示，设其模为r，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isin

复数的运算说课稿

林萍萍

2012-10-21

一、说教材

（一）教材的地位与作用：

1、依据新大纲及教材分析，复数四则运算是本章知识的重点。

2、新教材降低了对复数的要求，只要求学习复数的概念，复数的代

数形式及几何意义，加减乘除运算及加减的几何意义。因此，复数的概念，复数的代数运算是重点，在教学中要注意与实数运算法则和性质的比较，多采用类比的学习方法，在复数的概念和复数的代数运算的教学中，应避免烦琐的计算，多利用复数的概念解决问题。。

3、将实数的运算通性、通法扩充到复数，是对数学知识的一种创新，有利培养学生的学习兴趣和创新精神。 （二）学情分析：

1、学生以了解复数的概念与定义以及复数在数域内的地位。 2、学生知识经验与学习经验较为丰富，以具有类比知识点的学习方法。

3、学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

4、学生层次参差不齐，个体差异比较明显。 （三）教学目标：

1

1、知识目标：掌握复数代数形式的加、减、乘、除、乘方运算法则。

2、能力目标：培养学生运算的能力。

3、情感、价值观目标培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的

极坐标常见题型

一、极坐标方程与直角坐标方程的互化

互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.

??2?x2?y2?x??cos??互化公式：? 或 ? yy??sin???tan??(x?0)x?θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?，???4sin?． (I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

(I)x??cos?，y??sin?，由??4cos?得?2?4?cos?．所以x2?y2?4x． 即x2?y2?4x?0为⊙O1的直角坐标方程． 同理x2?y2?4y?0为⊙O2的直角坐标方程．

?x2?y2?4x?0?x1?0?x2?2(II)解法一:由?2解得，? ?2?y1?0?y2??2?x?y?4y?0即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．

?x2?y2?4x?0解法二: 由?2,两式相减得－4x-4y=

英语学习小结：只有复数形式的名词 1) 一些成双成对的名词通常只有复数形式，常见的有jeans (牛仔裤)、headphones (耳机)、trousers (裤子)、clothes (衣服)、pants (短裤)、glasses (眼镜)、shoes (鞋子)、sunglasses (太阳镜)、scissors (剪刀)、compasses (圆规)。这些名词可单独作主语，动词用复数形式，也可用...pair/pairs of修饰，作主语时动词取决于pair的形式。

2)一些食物名词只有复数形式，常见的有noodles, vegetables, snacks。

3) 一些固定短语中的名词只有复数形式，常见有的express one's thanks to sb. (向某人表达感激之情), a letter of thanks (一封感谢信), in high/low spirits (情绪高涨/低落), have sports (进行体育活动)。

4) 一些不可数名词只有复数形式，但却表示单数概念，常见的有news (消息), means (手段)。

As we all know, no news is good news. 众

极坐标常见题型

一、极坐标方程与直角坐标方程的互化

互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.

??2?x2?y2?x??cos??互化公式：? 或 ? yy??sin???tan??(x?0)x?θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?，???4sin?． (I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

(I)x??cos?，y??sin?，由??4cos?得?2?4?cos?．所以x2?y2?4x． 即x2?y2?4x?0为⊙O1的直角坐标方程． 同理x2?y2?4y?0为⊙O2的直角坐标方程．

?x2?y2?4x?0?x1?0?x2?2(II)解法一:由?2解得，? ?2?y1?0?y2??2?x?y?4y?0即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．

?x2?y2?4x?0解法二: 由?2,两式相减得－4x-4y=

复数代数形式的加减运算及几何意义教学设计与反思

教学目标：

知识与技能：掌握复数的加法运算及意义 过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用 教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系． 教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。 教具准备：多媒体、实物投影仪 。

教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个

点，有惟一的一个复数和它对应。复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定.

教学过程： 学生探究过程：

1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即 i2??1; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2

No. Date Time 稳定持久赢高分

复数的乘除运算法则方法答案

四、典题探究

例1 答案：C

解析：

3?i(3?i)(1?i1?i?)(1?i)(1?i)?2?i 例２ 答案：D

解析：

2?i(2?i)(1?i)1?3i1?i?(1?i)(1?i)?2 例3 答案：A 解析：

2?i(2?ii?)ii2?1?2i,a?1,b??2 例4 答案：C

解析： 2m2?3m?2?0,m2?3m?2?0.解得m??12

五、演练方阵

A档（巩固专练）

1．答案：D

解析：3?i在复平面对应的点为(3,?1)，第四象限.选D 2．答案：B

1?i(1?i)2解析：1?i?(1?i)(1?i)??i，选B

3．答案：D

解析：1?ii?i2i?i2?1?i选D 4． 答案：C 解析:因为(?3i)2??9，选C

1 耐心 细心 责任心

第二课时 极坐标与平面直角坐标的互化

一、 教学目标

掌握极坐标与直角坐标的互化

二、教学重点

对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解及运用

三、教学难点

极坐标与直角坐标的互化的运用

四、教学过程

1. 创设情境引入

Ｔ：上节课学习了极坐标,到现在就接触了两类坐标,直角坐标和极坐标.两类坐标之间有什么关系呢?他们之间又怎样换算?先来看下面的例子.

假设点M 在平面直角坐标系中的的坐标为(),x y ,现在以直角坐标的原点作为极点, ox 正半轴为极轴,建立极坐标系,假设点M 的极坐标为(),ρθ

则由三角函数的知识我们可以得到这样的关系:

cos sin x y θθ

ρρ??=??=?（这里注意解释点M 在不同象限也是成立的）

ρ,tan (0)y x x

θ=≠ 这里规定:0,02ρθπ≥≤<

Ｔ：于是直角坐标和极坐标之间就建立了以上的关系，根据这个关系我们就可以进行极坐标与直角坐标之间的就换算。

Ｔ：但同学们应该注意两种坐标之间满足上面的换算关系需要什么前提？

Ｔ：（１）极坐标的极点和直角坐标的原点相同；

（２）而极坐标的极轴与直角坐标的ｘ正半轴要相同；

（３）两坐标取相同的长度单位。

否则不能用上面的换算公式。

根据上面的换算公式来解一下例１

例1．（1）把点M 的极坐标)3

2,