高中数学基本不等式解题技巧公式

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高中数学必修5常考题型:基本不等式 doc

标签:文库时间:2025-02-15
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基本不等式

【知识梳理】

1.重要不等式

当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 2.基本不等式

a+b

(1)有关概念:当a,b均为正数时,把2叫做正数a,b的算术平均数,把ab叫做正数a,b的几何平均数.

(2)不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算a+b

术平均数,即ab≤2,当且仅当a=b时,等号成立.

?a+b?2

?,a+b≥2 ab(其中a>0,b>0,当且仅当a=b时等(3)变形:ab≤?

?2?号成立). 【常考题型】

题型一、利用基本不等式证明不等式

【例1】 已知a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. [证明] 由基本不等式可得: a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2, 同理:b4+c4≥2b2c2, c4+a4≥2a2c2,

∴(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2a2c2, 从而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. 【类题通法】

1.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.

高中数学函数解题技巧

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专题1 函数 (理科)

一、考点回顾

1.理解函数的概念,了解映射的概念.

2.了解函数的单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法.

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析

考点一:函数的性质与图象

函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫.

复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手,在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化.具体要求是:

1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义,能准确判断函数的奇偶性,以及函数在某一区间的单调性,能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性.

2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特征的理解和运用,归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法.

3.培养学生用运动变

18学年高中数学不等关系与基本不等式5不等式的应用教学案北师大

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。 。 。 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 §5不等式的应用

[对应学生用书P24]

利用不等式解决实际问题中的大小问题 [例1] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走,另一半以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走,如果m≠n,甲、乙二人谁先到达指定地点?

[思路点拨] 本题考查比较法在实际问题中的应用,考查应用意识及运算求解能力. [精解详析] 设从出发地点至指定地点的路程为s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2,依题意有:

t1

t1ssm+n=s,+=t2. 222m2n2ssm+n,t2=, m+n2mn2ssm+n- m+n2mn2

∴t1=

∴t1-t2=

s[4mn-m+n=

2mnm+n]sm-n=-. 2mnm+n2

其中s,m,n都是正数,且m≠n, ∴t1-t2<0,即t1

从而知甲比乙先到达指定地点.

对于实际问题中的大小、优秀、强弱等比较问题,通常需阅读理解,建立式子的大小比较模型,然后用求差比较法或求商比较法或直接用平均值、不等式等比较出大小关系,从而使问题得解.

1.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用

基本不等式教案

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基本不等式

【教学目标】

1、掌握基本不等式,能正确应用基本不等式的方法解决最值问题

2、用易错问题引入要研究的课题,通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解

3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】

教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点:基本不等式等号成立的条件 【教学过程】

一、设置情景,引发探究 问题一:x?1有最小值吗? x2问题二:x?3?1x?32?2正确吗?

二、合作交流,研究课题

R中,a+b≥2ab,a+b≥?2ab,当且仅当a=b时取到等号。

2

2

2

2

a2?b2a?b2 R中,当且仅当a=b时取到等号。 ??ab?,1122?ab?注意:1、公式应用的条件 2、等号成立的条件 三、实例分析,深化理解 例1、求所给下列各式的最小值 (1)y?a?

1(a?3) a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1当且仅当a?3??a?3?1?a?4时,ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1) (2)y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上单调递减,在[0,1]上单调递增, 当且仅当

x?11

基本不等式教案

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基本不等式

【教学目标】

1、掌握基本不等式,能正确应用基本不等式的方法解决最值问题

2、用易错问题引入要研究的课题,通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解

3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】

教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点:基本不等式等号成立的条件 【教学过程】

一、设置情景,引发探究 问题一:x?1有最小值吗? x2问题二:x?3?1x?32?2正确吗?

二、合作交流,研究课题

R中,a+b≥2ab,a+b≥?2ab,当且仅当a=b时取到等号。

2

2

2

2

a2?b2a?b2 R中,当且仅当a=b时取到等号。 ??ab?,1122?ab?注意:1、公式应用的条件 2、等号成立的条件 三、实例分析,深化理解 例1、求所给下列各式的最小值 (1)y?a?

1(a?3) a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1当且仅当a?3??a?3?1?a?4时,ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1) (2)y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上单调递减,在[0,1]上单调递增, 当且仅当

x?11

基本不等式说课稿

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一. 教材分析

1、教材地位和作用

本节是选自人教社普通高中课程实验标准 数学(必修5)《不等式》一章的内容,是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究.同时也是为了以后学习(选修4—5)《不等式选讲》中的几种重要不等式,以及不等式的证明作铺垫,起着承上启下的作用。

本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点,所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力,是学数学用数学的好素材。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想,所以有利于培养学生良好的思维品质。

“基本不等式”在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值是高考的热点。它在科学研究、经济管理、工程设计上都有广泛的作用。

2、教学目标 A.知识目标:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的

不等号“≥”取等号的条件.

B.能力目标:通过实例探究基本不等式;

C.情感目标:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣

3、教学重点、难点: a?b重点:应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式ab?的证明过程;

2a?b难点:用基本不等式求最大最小值,

精选-高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用练习新人教A版

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最新中小学教案试题试卷习题资料

第2课时 基本不等式的应用

课后篇巩固探究

A组

1.函数f(x)=x+-1的值域是()

A.(-∞,-3]∪[5,+∞)

B.[3,+∞)

C.(-∞,-5]∪[3,+∞) D.(-∞,-4]∪[4,+∞)

解析当x>0时,x+-1≥2-1=3,当且仅当x=2时,取等号;当x<0

时,x+-1=--1≤-5,当且仅当x=-2时,取等号.所以函数的值域为(-∞,-5]

∪[3,+∞). 答案C 2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=()

A.1+B.1+ C.3D.4

解析f(x)=x+=x-2+

+2.∵x>2,∴x-2>0. ∴f(x)=x-2++2≥2+2=4,

当且仅当x-2=,

即x=3时,等号成立. 又f(x)在x=a处取最小值,

∴a=3. 答案C3.周长为4+2的直角三角形的面积的最大值是()

A.2B.1C.4D.

,于是依题意有a+b+解析设两条直角边长分别为a,b,则斜边长为基本不等式知a+b+=4+2.由

=4+2≥2,即≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,取等

最新中小学教案试题试卷习题资料

号.故三角形的面积S=ab≤2.1

最新中小学教案试题试卷习题资料

答案A4.若x

最新高中数学必修5《基本不等式》精品教案精编版

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2020年高中数学必修5《基本不等式》精品教案精编版

精品好文档,推荐学习交流

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢7 课题: 基本不等式:2b a ab +≤(第一课时)

教材:人教版高中课程标准实验教科书《数学·必修5》第三章第四节

1 教材分析

本节书介绍了两个不等式定理:(1)、如果R b R a ∈∈,,那么ab b a 222≥+①;(2)、如果0,0>>b a ,那么2

b a ab +≤②。这两个定理是解决一些数学问题和实际应用问题的重要的数学方法。本节书教学共需3课时,这是第一课时,主要是了解探索基本不等式的证明过程,熟悉基本不等式的结构,为下节基本不等式的应用做准备(以下用①②代替两个定理)。

2 学生分析

有了前面“不等式性质”的学习,学生要理解这两个定理难度并不大。针对学生求知欲旺盛的特点,在教学中,以思考、探索、讨论为主要方法,适当加以讲解,使学生自己收获结论、总结方法,动手解决实际问题,并且增强学习数学的的信心。

3 教学策略

(1)、以“孔融选蛋糕”为例引入,课件辅助,引导学生探究①的证明,并总结证明方法;利用正方形和弦图让学生了解①的几何意义,同时介绍“国际数学家大会”,培养学生的民族自豪感和使命感。

(2)、利用①式,通过

精选-高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用练习新人教A版

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最新中小学教案试题试卷习题资料

第2课时 基本不等式的应用

课后篇巩固探究

A组

1.函数f(x)=x+-1的值域是()

A.(-∞,-3]∪[5,+∞)

B.[3,+∞)

C.(-∞,-5]∪[3,+∞) D.(-∞,-4]∪[4,+∞)

解析当x>0时,x+-1≥2-1=3,当且仅当x=2时,取等号;当x<0

时,x+-1=--1≤-5,当且仅当x=-2时,取等号.所以函数的值域为(-∞,-5]

∪[3,+∞). 答案C 2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=()

A.1+B.1+ C.3D.4

解析f(x)=x+=x-2+

+2.∵x>2,∴x-2>0. ∴f(x)=x-2++2≥2+2=4,

当且仅当x-2=,

即x=3时,等号成立. 又f(x)在x=a处取最小值,

∴a=3. 答案C3.周长为4+2的直角三角形的面积的最大值是()

A.2B.1C.4D.

,于是依题意有a+b+解析设两条直角边长分别为a,b,则斜边长为基本不等式知a+b+=4+2.由

=4+2≥2,即≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,取等

最新中小学教案试题试卷习题资料

号.故三角形的面积S=ab≤2.1

最新中小学教案试题试卷习题资料

答案A4.若x

柯西不等式在高中数学解题中的应用

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解题技巧与方法躲I

拇不赘燕窬咿欺篇蕤嘹蟋康◎朱亚呖 (南省衡东县第一中学湖柯西不等式是个非常著名的不等式,新教材中出现在越来越多与之有关的应用 .活而巧妙地运用柯西不等式灵解决相关数学问题,往可以收到事半功倍的效果 .往相关定理柯西不等式是指下面的定理: 定理设 a,, =1 2…, )则 b E R(,, n,一

4 10 ) 24 0

( )果,,≥1 2如 ):且+,++ .

+

:,E: 2i N~ i

证明

注意到++

:,由柯西不等式, 2又得

n

H

而.

+ - z 1 y 1 -。≥

+

+

(。i≤∑ n ( 6.∑ ) ( ∑ b ) )当数组 a,:…, 6,…,不全为 0时,号成。0, 0,。b, 6等立当且仅当 b=A 1≤n,中 A为实常数 . a(≤i )其二、西不等式的证明柯常用的证明柯西不等式的方法有: 1 .配方法利用判别式证明

+

+ V一 (++ 1所不 、 /以 Yz÷ z

等式得证.

若∑。:, n一一n=,等显成 . 0则。: 0不式然立i= 1

2 .求函数的最值 () 1设++=10求 _,,)= x+ y+1z的 Y 0,厂 y ( 3 4 2最大值. 解由柯西不等式,得( x