斐波那契数列前100项

斐波那契数列

斐波那契数列与黄金分割

斐波那契数列

我们先来做一个游戏！

斐波那契数列

+

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??

十秒钟加数 请用十秒，计算出 左边一列数的和。

时间到！ 答案是 231。3

斐波那契数列

+

34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 ????

十秒钟加数 再来一次！

时间到！ 答案是 6710。4

斐波那契数列

这与“斐波那契数列”有关 若一个数列，前两项等于1,而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称

该数列为斐波那契数列。即：

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …5

斐波那契数列

一、兔子问题和斐波那契数列1. 兔子问题1) 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 (1202年)(L.Fibonacci,1170-1250)

斐波那契数列

兔子问题假设一对初生兔子要一个月才到成熟 期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子， 那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会 有多少对兔子呢？

斐波那契数列

解答1 月 1 对

斐波那契数列

解答1 月 1 对 2 月 1 对

斐波那契数列

解答1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对

斐波那契数列

解答1 月 1 对 2

探究斐波那契数列

教学目标：

1．通过了解斐波那契数列，激发学生的学习兴趣，体会抽象数学概念的实际意义，更好地理解、掌握数学。

2．通过展示生活中的数学，让学生欣赏数学的外在美和，体会数学的内在美，感受数学的神奇美，欣赏数学的艺术美。

3．指导学生在现代技术条件下如何从网络上选择知识、学习知识进而解决问题。

教学重点：

1． 认识斐波那契数列。2、感受数学美和数学思想。

教学难点：

1． 指导学生克服数学材料文章的抽象符号越多、阅读困难的问题。 2．提高探究内容的的可读性、趣味性。

教学内容分析：

中数学课程提倡把数学探究以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中。《斐波那契数列》是人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书〃数学〃必修5》第37页的阅读材料，是学生在学习完数列的概念与表示方法后安排的一节课外学习内容。斐波那契数列有广泛的应用价值。如（1）叶子在植物梗予上的排列（2）花朵的花瓣数（3）蜜蜂的繁殖（4）人口年龄结构的预测（5）优选法（6）方程论，它涉及面之广，引起了科学家的密切注意和极大的兴趣，美国专门出版了一份《斐波那契季刊》，登载斐波那契数列在应用上的新发现及相关理论。这些内容有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于

斐波那契数表

1?1?5?1?1?5?????? 通项公式：an????5?2?5?2??项数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

nn项 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817

项数 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

项 39088169 63245986 102334155 165580141 267914296 433

有关Fibonacci数列及性质的研究

摘要：本文由Fibonacci数列的模型展开讨论，推导出?Fn?数列的通项公式；进而利用

?Fn?数列的递推公式、数学归纳等多种方法，探讨了?Fn?数列各项之间的联系，归纳总结了?Fn?数列所具有的14条基本性质，在其基础上，又给出了Fibonacci数列与黄金分割数之间的密切联系，得到了三条重要性质，这些性质无一不体现了?Fn?数列的变化规律。最后，作为性质的应用，结合例题我们阐述了?Fn?数列在中学数学教育和社会其他领域的一些应用。

关键词：Fibonacci数列;通项公式;性质;黄金分割

在现实生活中，我们经常会遇到类似“数列”变化的一系列经济问题，Fibonacci数列出现在我们生活中的方方面面，一些问题不仅可以用Fibonacci 数列表示，而且本质上就是Fibonacci数列，可见Fibonacci数列在很多数学分支都有很广泛的应用，因此研究Fibonacci数列非常必要。

本文通过探讨Fibonacci数列的性质，进一步掌握数列的数字排列、增减变化、波动趋势等数项之间的变化规律，继而给出一系列与Fibonacci数列相关问题的解决方案，特别是对中学数学教育中，如何让学生巧妙解题具有启发作用

拓展目标：

一：周期问题的解决方法

（1）找出排列规律，确定排列周期。

（2）确定排列周期后，用总数除以周期。

①如果没有余数，正好有整数个周期，那么结果为周期里的最后一个

② 如果有余数，即比整数个周期多n个，那么结果为下一个周期的第n个。 例1：

（1）1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？ 这个数列的周期是2，18?2?9，所以第18个数是2． （2）1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？

这个数列的周期是3，16?3?5???1，所以第16个数是1． 二：斐波那契数列

斐波那契是意大利中世纪著名的数学家，他曾提出这样一个有趣的有关兔子的问题：

假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？ 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 1 1 斐波那契数列（兔子数列）

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

1

你看出是什么规律：

斐波那契数列计算题

有一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,...此数列的第2010项除以8的余数是___.

从第三项起每一项是前2项的和 前6个数除以8的余数分别是1，1，2，3，5，0， 后面的数除以8的余数则用前两个余数相加得到 即依次是5，5，2，7，1，0，1，1，2，3，5，0，…… 则循环周期是1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0， 共12个数一个周期，因为2010÷12余数是6 就相当于是第6个数的余数，即为0

有一列数1，2，3，5，8......从左往右第100个数是奇数还是偶数。要算式

这些数其实是有规律的，除了前两位1和2之后，就是按：奇、奇、偶这样的顺序排列的，所以有： （100-2）/3 =98/3 =32余2

所以第100个数是奇数。

有一列数1、2、3、5、8、13、21......这列数中第1001个数除以3，余数是几？

依次算余数，发现8个数一组，是12022101，所以第1001个余数是1！

有1列数1，2，3，5，8，13，21，34，55..从第三个数开始每个数是前两个数的和，那么在前1000个数有多少奇

每3个数当中有2个奇数， 1000÷3=333余1 一共333组多1个 多

斐波那契数列计算题

有一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,...此数列的第2010项除以8的余数是___.

从第三项起每一项是前2项的和 前6个数除以8的余数分别是1，1，2，3，5，0， 后面的数除以8的余数则用前两个余数相加得到 即依次是5，5，2，7，1，0，1，1，2，3，5，0，…… 则循环周期是1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0， 共12个数一个周期，因为2010÷12余数是6 就相当于是第6个数的余数，即为0

有一列数1，2，3，5，8......从左往右第100个数是奇数还是偶数。要算式

这些数其实是有规律的，除了前两位1和2之后，就是按：奇、奇、偶这样的顺序排列的，所以有： （100-2）/3 =98/3 =32余2

所以第100个数是奇数。

有一列数1、2、3、5、8、13、21......这列数中第1001个数除以3，余数是几？

依次算余数，发现8个数一组，是12022101，所以第1001个余数是1！

有1列数1，2，3，5，8，13，21，34，55..从第三个数开始每个数是前两个数的和，那么在前1000个数有多少奇

每3个数当中有2个奇数， 1000÷3=333余1 一共333组多1个 多

1.用斐波那契法求函数f(t)=t2?6t+2的近似极小点和极小值，要求缩短后的区间不大于区间[0,10]的5% 。

解：由题意??5%，由斐波那契数列Fn?1?，则n=7， a0?0，b0?10

t1=b0?F6F80130 , (b0?a0)= , t1'?a0?6(b0?a0)?21F7F721'将t1和t1'代入函数，比较大小有f(t1)?f(t1)

则有a1?a0?0，t2?t1?'F8013050'，b1?t1? ，t2?b1?5(b1?a1)? ， 2121F621''将t2和t2代入函数，比较大小有f(t2)?f(t2) ,

则有a2?a1?0，t3?t2?'F508030'，b2?t2? ，t3?b2?4(b2?a2)?， 2121F521''将t3和t3代入函数，比较大小有f(t3)?f(t3)，

则有a3?t3?F30508060''，t4?t3?，b3?b2?，t4?a3?3(b3?a3)?， 212121F421''将t4和t4代入函数，比较大小有f(t4)?f(t4)，

则有a4?t4?F506080'70',t5?t4?,b4?b3?,t5?a4?2(b4?a4)?， 212121F321''将t

数列前n项和的求法Revised on November 25, 2020

专题二： 数列前n 项和的求法

一、倒序相加法求数列的前n 项和 如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 例1：设等差数列{a n }，公差为d ，求证：{a n }的前n 项和S n =n(a 1+a n )/2 例2：求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

二、用公式法求数列的前n 项和

对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

例3：求数列

的前n 项和S n ： 例4：已知3

log 1log 23-=x ，求n x x x x +???+++32的前n 项和. 例5：设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=

n n S n S n f 的最大值. 点拨：这道题只要经过简单整理，就

数列系列

等比数列前n项和

一、思维导图

?na1,q?1??出现高次幂?公式化简?n 等比数列前n项和Sn??a1(1?q)?,q?1出现S,a式子?消去S?nnn?1?q?出现新数列?求首项和公比???

二、例题精析

1、（2018榆林四模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且

S327a?,则5?__________ S628a3[解析]：当q?1时，S3?3a1,S6?6a1,此时，

S31?,不符合题意，故q?1， S62S327a52811a1(1?q3)a1(1?q6)32 ??,?1?q?,?q?,??q?S3?,S6?,S628273a391?q1?q

2、（2018全国一模）已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1?2S5?3S3,则{an}的公比等于__________

[解析]：S1?2S5?3S3?2(S5?S3)?S3?S1,?2(a5?a4)?a3?a2,?

3、（2018大连模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n?N),且S1,S2,S3成等差数列，则数列{an}的公比q?__________

[解析]：知S1,S2,S3成等差数列，有2S2?S1?S3,?2(a1?a1q)?2a1