高三数学周期函数

§8.7 周期函数的傅里叶函数

8.7.1 基本三角函数系简单的周期运动 : 复杂的周期运动 :(谐波函数)

( A为振幅, 为角频率, 为初相 )

An sin n cos n t An cos n sin n t令

(谐波迭加)

an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1称上述形式的级数为三角级数.2

定理 1. 基本三角级数函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在

上的积分等于 0 .证:

1 cos nxd x 1 sin nxd x 0 cos k x cos nx dx 1 2

cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin nx d x 0 (k n ) cos k x sin nx d x 0

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有

1 1dx 2

cos 2 n x d x

§8.7 周期函数的傅里叶函数

8.7.1 基本三角函数系简单的周期运动 : 复杂的周期运动 :(谐波函数)

( A为振幅, 为角频率, 为初相 )

An sin n cos n t An cos n sin n t令

(谐波迭加)

an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1称上述形式的级数为三角级数.2

定理 1. 基本三角级数函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在

上的积分等于 0 .证:

1 cos nxd x 1 sin nxd x 0 cos k x cos nx dx 1 2

cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin nx d x 0 (k n ) cos k x sin nx d x 0

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有

1 1dx 2

cos 2 n x d x

第44卷第7期2010年7月

电力电子技术

Power Electronics

Vol.44，No.7July 2010

基金项目：国家自然科学基金（60436030）定稿日期：2010-05-27

作者简介：郭海燕（1974-），女，四川广元人，博士，研究方向为电力电子技术及智能功率集成电路。

1引言

当今电子技术朝着高功率密度、高频率、小型化

的方向发展，开关功率变换器的电磁干扰（EMI ）

问题日益显著。近几年提出了一些新的降低电路EMI 的解决方法，例如改进电路结构，消除谐波，有源d u /d t 控制算法，通过加耦合电容和使用各种扩频调制技

术来降低电路的EMI [1-5]。

其中，扩频调制技术仍是降EMI 的主流技术，扩频技术最先应用于通讯和微处理系统。九十年代中期，F Lin 和D Y Chen 将扩频技术应用于开关功率变换器来降低其传导EMI 水平，效果良好。接着各种各样的调制模式也相继出现，例如周期调制、混沌调制、随机调制等。其中周期函数调制相对随机调制和混沌调制可控性更好。分析了常用的几种周期函数频率调制方式，并详细讨

论了调制波形、

调制系数、调制波频率等重要调制参数的选择对抑制开关功率变换器电路传导EMI 的

影响。推导了占空比的选择与抑制电路传

第十五章

第二节 一般周期函数 的傅里叶级数一、周期为2l 的函数展开成 傅里叶级数 二、定义在[-l, l ]和[0, l ]区间上 的函数展开成傅里叶级数

一、周期 T = 2l 的函数展开成傅里叶级数T 2l x l t T 2π l t ) (t ) 展开 思路： f ( x ) f ( t [ , ] x [ l , l ] f ( x) n x l n x l (t

xl

)

1 an ( n 0 , 1 , 2 , ) ( t ) cos nt d t π l 1 n x x 1 l 1 n f (x x )) cos x d x ( n 1 , 2 , ) bn ( t sin nt d t f ( ) cos d l l l l l l

bn

1

(t ) sin nt d tl

( n 1 , 2 , )

x t l 1

l

n x f ( x ) sin dx l l

1 l n x f ( x ) sin dx l l l

定理4 (展开定理)

设周期

将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个...

习题11 8

1 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式)

(1)f(x) 1 x2( 1 x 1

2

2

解 因为f(x) 1 x2为偶函数 所以bn 0(n 1 2 ) 而 a0 2 2(1 x2)dx 4 2(1 x2)dx 11

01/206 an 2 2(1 x2)con xdx

1/201/2 4

1

2(1 0

11

1

x)cos2n xdx

2

( 1)n 1n

2

2

(n 1 2 )

由于f(x)在( )内连续 所以

111

f(x) 2

12

( 1)n 1

n2

cos2n x x ( )

n 1

x 1 x 0 1

(2)f(x) 1 0 x

2

1

1 x 1

2

解 an f(x)dx xdx dx 1dx 1

1

1

2

10

1

20

1

2

an f(x)cosn xdx xcosn xdx

1

1

10

1

2c0

osn xdx 1cosn xdx

2

1

212[1 ( 1)n] 2sin (n 1 2 )

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

湖南祁阳四中 何双桥整理 一、函数的单调性 1.单调性的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调增区间；

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调减区间。

2.单调函数与严格单调函数

设f(x)为定义在I上的函数，若对任何x1,x2?I，当x1?x2时，总有

(ⅰ) f(x1)?f(x2)，则称f(x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成立时称f(x)为I上的严格单调递增函数。

(ⅱ) f(x1)?f(x2)，则称f(x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成立时称f(x)为I上的严格单调递减函数。 2.函数单调的充要条件

★若f(x)为区间I上的单调递增函数，x1、x2为区间内两任

高三艺术生数学复习资料

函数的对称性和周期性

一.明确复习目标

1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。 3.掌握常见的函数对称问题

二、建构知识网络

一、两个函数的图象对称性

1、 y?f(x)与y??f(x)关于x轴对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)??g(x)，即它们关于y?0对称。 2、 y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(?x)，即它们关于x?0对称。 3、 y?f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)，即它们关于x?a对称。

4、 y?f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(x)?2a，即它们关于y?a对称。

5、 y?f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点(a,b)对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)?2b，即它们关于点

(a,b)对称。

6、 y?f(a?x)与y?(x?

高三数学

2.3函数的单调性

●知识梳理

1.增函数、减函数的定义

一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）〔或都有f（x1）＞f（x2）〕，那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.

如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.

2.函数单调性可以从三个方面理解

（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.

（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.

（3）定量刻画，即定义.

上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径. ●点击双基

1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是

A.y=－x+1 C.y=x2－4x+5

B.y=x D.y=

2 x

答案：B

2.函数y=loga

含有函数记号“

由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号

f(x)”有关问题解法

f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地

掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：

一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量的灵活性及变形能力。

表示原自变量x的代数式，从而求出

f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生

x)?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u?u,则x??1?解：设∴f(u)?2x?11?u1?u1?u例1：已知

f(∴

f(x)?2?x 1?x2.凑合法：在已知

f(g(x))?h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，

还能进一步复习代换法。

例2：已知

11f(x?)?x3?3xx，求

f(x)

解：∵

1111111f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)((x?)2?3)又∵|x?|?|x|??1

xxxxxx|x|∴

f(x)?x(x2?3)?x3?3x，(|x|≥1)

3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知解:设

f(x

函数的周期性

1．周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非．零．常．数．T，使得当x取定义域内的每．一．个．值．时，都有

f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说f(x?T)?f(x)必须对定义域内的任意x都成立。 问题1 ①若常数T（≠0）为f (x)周期，问nT( n∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？

2 常见函数的最小正周期

正弦函数 y=sin（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= y=cos（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

2π2π? y=tan（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

?π

π?y=|sin（ωx+φ）|（w>0）最小正周期为T=

? f(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题

结论：有的周期函数没有有最小正周期

3抽象函数的周期总结

1、f(x?T)?f(x)

?y?f(x)的周期为T

2、f(x?a)?f(b?x) (a?b)