立体几何两向量平行的坐标公式
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立体几何中的,向量方法(坐标法)
高二数学学案 教案编写: 审核人: 高二数学组 使用时间: 编号:1
3.2.立体几何中的向量方法(坐标法) 【学习目标】熟练掌握解决立体几何问题的坐标方法; 【学习重点】坐标法解决立体几何问题的三个步骤; 【学习难点】立体几何问题到向量坐标问题的转化; 【学习过程】 1、 直线的方向向量: 。 2、平面的法向量: 。 3、 例题2:如图二面角中α---L---β中AC、BD都与L垂直AC=a BD=b CD=c AB=d 求二面角α---L---β的余弦值 F'βB C αDlA例题讲解 D'例题1:如图四棱柱ABCD-A'B'C'D'中以A为顶点的三条棱长都相等,且它们彼此
立体几何中的,向量方法(坐标法)
高二数学学案 教案编写: 审核人: 高二数学组 使用时间: 编号:1
3.2.立体几何中的向量方法(坐标法) 【学习目标】熟练掌握解决立体几何问题的坐标方法; 【学习重点】坐标法解决立体几何问题的三个步骤; 【学习难点】立体几何问题到向量坐标问题的转化; 【学习过程】 1、 直线的方向向量: 。 2、平面的法向量: 。 3、 例题2:如图二面角中α---L---β中AC、BD都与L垂直AC=a BD=b CD=c AB=d 求二面角α---L---β的余弦值 F'βB C αDlA例题讲解 D'例题1:如图四棱柱ABCD-A'B'C'D'中以A为顶点的三条棱长都相等,且它们彼此
空间向量与立体几何
关于空间向量与立体几何
1 空间向量与立体几何
一、平行与垂直问题
(一) 平行
线线平行 线面平行 面面平行 注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行包括直线在平面内,面面平行包括面面重合。
(二) 垂直
线线垂直 线面垂直 面面垂直 注意:画出图形理解结论
二、夹角与距离问题
(一) 夹角
(二)距离
点、直线、平面之间的距离有7种。点到平面的距离是重点.
1.已知四棱锥P A B C D -的底面为直角梯形,//A B D C ,
设直线,l m 的方向向量分别为,a b ,平面 ,αβ的法向量分别为,u v ,则
l ∥m ?a ∥b a k b ?=
;
l ∥α?a
u ⊥ 0a u ??=
;
α∥β?u ∥v .u k v ?=
设直线,l m 的方向向量分别为
,a b ,平面 ,αβ的法向量分别为,u v ,则
l ⊥α?a ∥u a k u ?= ;
l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=
;
α⊥β?u ⊥v .0=??v u
设直线,l m 的方向向量分别为,a b ,平面,αβ 的法向量分别为,u v ,则
①两直线l ,m 所成的角为θ(02π
θ≤≤),cos a b
a b
θ?=
;
②直线l 与平面α
立体几何(向量法)—找点难(定比分点公式)
立体几何(向量法)—找点难(定比分点公式)
例1(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))如图, 四棱柱
ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2,
E为棱AA1的中点. (Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;
(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为的长.
2, 求线段AM6
【答案】解:方法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).
→→→→
(1)证明:易得B1C1=(1,0,-1),CE=(-1,1,-1),于是B1C1·CE=0,所以B1C1⊥CE. →
(2)B1C=(1,-2,-1),
设平面B1CE的法向量=(x,y,z),
→?B1C=0,??·?x-2y-z=0,则?即?消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量
?→-x+y-z=0,??CE=0,?m·
为=(-3,-2,1).
→
由(1),B1C1⊥
人教版立体几何线面平行
第1题. 已知 a, m, b,且m// ,求证:a//b.
答案:证明:
答案:证明:连结AF并延长交BC于M.连结PM,
m
m// m//a a//b.
a 同理 m//b
BFMFPEBFPEMF
,又由已知,∴.
FDFAEAFDEAFA
由平面几何知识可得EF//PM,又EF PBC,PM 平面PBC, ∴EF//平面PBC.
∵AD//BC,∴
第4题. 如图,长方体ABCD A1B1C1D1中,E1F1是平面A1C1上的线段,求证:E1F1//平面AC.
答案:证明:如图,分别在AB和上截取AE A1E1,DF D1F1,连接EE1,FF1,EF.
第2题. 已知: b,a// ,a// ,则a与b的位置关系是(
A.a//b B.a b C.a,b相交但不垂直 D.a,b异面
答案:A.
第3题. 如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是PA,BD上的点且
∴A1E1平行且等于AE,D1F1平行且等于DF,
故四边形AEE1A1,DFF1D1为平行四边形.
∴EE1平行且等于AA1,FF1平行且等于DD1. ∵AA1平行且等于DD1,∴EE1平行且等于FF1,
四边形
§3.2.2立体几何中的向量方法(2)及详解——空间向量与平行关系
高二理科数学
班别: _____________
导学案
空间向量与平行关系
学号: _____________
姓名: ___________
§3.2立体几何中的向量方法(2)
一、学习目标
1.掌握运用方向向量和平面法向量证明平行问题的方法.
2.能用向量语言表达线线、线面、面面的平行关系. 二、问题导学
问题1:怎样证明两个向量平行?
?????问题2:若两条直线l1、l2的方向向量分别为a1、a2,怎样证明两条直线平行?
?????问题3:若两个平面?1、?2的法向量向量分别为n1、n2,怎样证明两个平面平行?
????问题4:若直线l1的方向向量分别为a1,平面?1的法向量向量分别为n1,怎样证明直线
和平面平行? 三、例题探究
例1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M、N分别是棱BB1和对角线CA1的中点,求证:MN∥BD.
例2. 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.
1
变式:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证:B1C∥平面ODC1.
例3.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中.求证
第3章 空间向量与立体几何 §3. 2 立体几何中的向量方法(一) -
§3.2 立体几何中的向量方法 (一>
—— 平行与垂直关系的向量证法
知识点一 求平面的法向量
已知平面α经过三点A(1,2,3>,B(2,0,-1>,C(3,-2,0>,试求平面α的一个法向量.
解∵A(1,2,3>,B(2,0,-1>,C(3,-2,0>,
=(1,-2,-4>,错误!=(1,-2,-4>, 设平面α的法向量为n=(x,y,z>. 依题意,应有n·
=0, n·错误!=0.
即错误!,解得错误!.令y=1,则x=2.b5E2RGbCAP ∴平面α的一个法向量为n=(2,1,0>.
【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量,关键是在平面内找两个不共线向量,列出方程组,取其中一组解(非零向量>即可.p1EanqFDPw 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DC的中点,求证:
是平面A1D1F的法向量.
DXDiTa9E3d 证明设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,则的法向量.
证明
是平面A1D1F
设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0>,E错误!,RTCrpUDGiT =错误!..D1=(0,0,1>,5PCzVD7HxA F错误!,A1(1,0,1>.jLBHr
《立体几何中的向量方法》教学设计
《立体几何中的向量方法》教学设计(2)
【教学目标】利用向量方法求解空间距离问题,可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤,而转化为向量间的计算问题. 【教学重点】:坐标法与向量法结合.
【教学难点】:适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线. 【教学课时】:1课时 【课前准备】:课题 【教学过程设计】:
(1)点到平面的距离: 1.(一般)传统方法:
利用定义先作出过这个点到平面的垂线段, 再计算这个垂线段的长度; 2.还可以用等积法求距离; 3.向量法求点到平面的距离. 在Rt?PAO中,
??O?PdnAsin??d|AP|?d?|AP|sin?
l?P又sin??|AP?n||AP||n|
?dn?d?|AP?n||n|A?O(其中AP为斜向量,n为法向量)
例1:如图,已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别是AB、AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,求点B到平面EFG的距离.
分析:由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直,可以由此建立空间直角坐标系.用向量法求解,就是求出过B且垂直于平面EFG的向量,它的长即为点B到平面EFG的距离.
解:如图,设CD?4i,CB?4j,CG?2
法向量在立体几何中的应用.
1 法向量在立体几何中的应用
查宝才
(扬州市新华中学,江苏 225002)
向量在数学和物理学中的应用很广泛,在解析几何与立体几何里的应用更为直接,用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后,既丰富了中学数学内容,拓宽了中学生的视野;也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。下面就向量中的一种特殊向量——法向量,结合近几年的高考题,谈谈其在立体几何有关问题中的应用。
1 法向量的定义
1.1 定义1 如果一个非零向量n 与平面α垂直,则称向量n 为平面α的法向量。
1.2 定义2 任意一个三元一次方程:0=+++D Cz By Ax ,222(C B A ++ )0≠都表示空间直角坐标系内的一个平面,其中),,(C B A n =为其一个法向量。]1[ 事实上,设点),,(0000z y x P 是平面α上的一个定点,),,(C B A n =是平面α的法向量,设点),,(z y x P 是平面α上任一点,则总有n P P ⊥0。
∴ 00=?n P P , 故 0),,(),,(000=---?z z y y x x C B A ,
即 0)()()(000=-+-+-z z C y
空间向量在立体几何中的应用
空间向量在立体几何中的应用
1【例1】已知三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,
2M,S分别为PB,BC的中点.
(Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小. 证明:
设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图.
111则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0)
222??????1???11(Ⅰ)CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),
222?????????11因为CM?SN????0?0,
22所以CM⊥SN
????1(Ⅱ)NC?(?,1,0),
2设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量, 1?x?y?z?0,??2令x?2,得a=(2,1,-2). 则?1??x?y?0.??21????2?2 因为cosa,SN?223?2?1?所以SN与片面CMN所成角为45°
【例2】、如图,四棱锥S—ABCD中,SD?底面ABCD, AB//DC,AD?DC, AB?AD?1,DC=SD=2,E为棱 SB上的一点,平面EDC?平