初中数学整式的概念

整式的运算

一、知识梳理 （一）考点总结：

1、代数式

2、列代数式 3、代数式的值 4、整式的概念 5、整式的运算

（二）考点讲解

考点一 代数式

定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数与字母连接而成的式子叫代数式。

注意：（l）单个数字与字母也是代数式；（2）代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号； 考点二 列代数式

1．列代数式：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中与数量有关的词表示出来，就是列代数式。 2．代数式的书写要求

（1）代数式中出现的乘号通常用“·”表示或者省略不写；数与字母相乘时，数应写在字母前面；数与数相乘时，仍用“x”号。

（2）数字与字母相乘、单项式与多项式相乘时，一般按照先写数字，再写单项式，最后写多项式的书写顺序，如式子（a+b）·2·a应写成2a（a+b）。

（3）带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘。 （4）在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写

初一数学联赛班

7 年级

第5讲 整式的恒等变形（二）

典型例题

一. 基础训练

【例1】 当x?3y?4z?1，2x?y?2z?2时，化简：x2?2xy?3y2?2xz?10yz?8z2的结果是（ ）

(A) 1 (B) 0 (C) 2?x (D) x?2

【例2】 若14(a2?b2?c2)?(a?2b?3c)2，求a:b:c.

【例3】 设a、b、c为有理数，且a?b?c?0，a3?b3?c3?0.求证：对任意正奇数n，都有

an?bn?cn?0.

【例4】 已知x?y?z?a，xy?yz?zx?b，xyz?c，用a、b、c表示xy2?x2y?yz2?y2z?z2x?x2z.

思维的发掘

能力的飞跃

1

【例6】 求证：(1?a?a2?

初一数学联赛班

7 年级

【例5】 设x3?mx2?nx?r是x的一次式的完全立方式，求证：3mr?n2.

?an)2?an?(1?a?a2??an-1)(1?a?a2??an?1).

【例7】 求证：2[(y?z)4?(z?x)4?(x?y)4]?[(y?z)2

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7 年级

第5讲 整式的恒等变形（二）

典型例题

一. 基础训练

【例1】 当x?3y?4z?1，2x?y?2z?2时，化简：x2?2xy?3y2?2xz?10yz?8z2的结果是（ ）

(A) 1 (B) 0 (C) 2?x (D) x?2

【例2】 若14(a2?b2?c2)?(a?2b?3c)2，求a:b:c.

【例3】 设a、b、c为有理数，且a?b?c?0，a3?b3?c3?0.求证：对任意正奇数n，都有

an?bn?cn?0.

【例4】 已知x?y?z?a，xy?yz?zx?b，xyz?c，用a、b、c表示xy2?x2y?yz2?y2z?z2x?x2z.

思维的发掘

能力的飞跃

1

【例6】 求证：(1?a?a2?

初一数学联赛班

7 年级

【例5】 设x3?mx2?nx?r是x的一次式的完全立方式，求证：3mr?n2.

?an)2?an?(1?a?a2??an-1)(1?a?a2??an?1).

【例7】 求证：2[(y?z)4?(z?x)4?(x?y)4]?[(y?z)2

整式的运算

一、知识梳理 （一）考点总结：

1、代数式

2、列代数式 3、代数式的值 4、整式的概念 5、整式的运算

（二）考点讲解

考点一 代数式

定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数与字母连接而成的式子叫代数式。

注意：（l）单个数字与字母也是代数式；（2）代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号； 考点二 列代数式

1．列代数式：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中与数量有关的词表示出来，就是列代数式。 2．代数式的书写要求

（1）代数式中出现的乘号通常用“·”表示或者省略不写；数与字母相乘时，数应写在字母前面；数与数相乘时，仍用“x”号。

（2）数字与字母相乘、单项式与多项式相乘时，一般按照先写数字，再写单项式，最后写多项式的书写顺序，如式子（a+b）·2·a应写成2a（a+b）。

（3）带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘。 （4）在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写

整式的概念及加减运算讲义

一、知识点拨

知识点1、单项式的概念

式子3x,?a2,xy,?2.6t3,?m它们都是数或字母的积，象这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 注意：单项式是一种特殊的式子，它包含三种类型：一是数字与字母相乘组成的式子，如2ab;

?a,m。 二是字母与字母组成的式子，如xy;三是单独的一个数或字母，如2，

知识点2、单项式的系数

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

注意：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如2x的系数是2；数是

43ab的系31，2.7m的系数是2.7。 3 （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如－?2xy?的系数是－2

（3）对于只含有字母因素的单项式，其系数是1或－1，不能认为是0，如－xy的系数是－1；xy的系数是1。

（4）表示圆周率的?，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2?xy的系数就是2?

知识点3、单项式的次数

一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 注意：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不

初中数学常用的概念、公式、定理

0、0.231，1． 有理数：整数(包括：正整数、负整数)和分数(包括：有限小数和无限循环小数)如：－3，，

0.737373?，

，

．

，0.1010010001??．

无理数：无限不环循小数。如：π，－

有理数和无理数统称为实数．实数与数轴上的点一一对应。 倒数、相反数 2．绝对值：a≥0

丨a丨＝a； a≤0

丨a丨＝－a．如：丨－

丨＝

；丨3.14－π丨＝π－3.14．

3．有效数字：一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个

近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0．

n

4．n是整数)，科学记数法：把一个数写成±a310的形式(其中1≤a＜10，这种记数法叫做科学记数法．如：

5

10－5．（有效数学字往往和科学记数法结合进行考查） －40700＝－4.07310，0.000043＝4.3×

5．幂的运算性质：①am3an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑥a－n＝

1(a≠0)ann032562432633－n

特别：()＝()（a≠0 b≠0）⑦a＝1(a≠0)．如：a3a＝a，a÷a＝

整式的概念及加减乘法运算讲义

一、知识点拨

知识点1、单项式的概念

式子3x,?a2,xy,?2.6t3,?m它们都是数或字母的积，象这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 注意：单项式是一种特殊的式子，它包含三种类型：一是数字与字母相乘组成的式子，如2ab;

?a,m。 二是字母与字母组成的式子，如xy;三是单独的一个数或字母，如2，知识点2、单项式的系数

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

注意：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如2x的系数是2；数是

43ab的系31，2.7m的系数是2.7。 3 （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如－?2xy?的系数是－2

（3）对于只含有字母因素的单项式，其系数是1或－1，不能认为是0，如－xy的系数是－1；xy的系数是1。

（4）表示圆周率的?，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2?xy的系数就是2?

知识点3、单项式的次数

一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 注意：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，

《整式的加减》基础测试

一 填空题（每小题3分，共18分）： １．下列各式 －

13x?y，3xy，a2－b2，，2x ＞1，－x，0.5＋x中，是整式的45是 ，是单项式的是 ，

是多项式的是 ． 答案：－

3x?y1、3xy、a2－b2、、－x、0.5＋x，

541、3xy、－x， 43x?ya2－b2、、0.5＋x．

5评析：

3x?y 虽然有分数线，但是分母中不含有表示未知数的字母，所以它仍是整式；另5一方面，有

3x?y31 ＝ x－ y 555所以我们认为它是多项式．在运用换元法时把它看作一个整体，也可以暂时看作单项式．

2．a3b2c的系数是 ，次数是 ； 答案： １，６． 评析：

不能说a3b2c “没有系数”也不能说“它的系数是0”，实际上a3b2c ＝1?a3b2c，系数“1”被省略了．单项式的次数是所有字母的指数和，在这里，字母c的指数“1” 被省略了，所以字母的指数和是“3＋2＋1 ＝ 6”，而不是“5”．

３．3xy－5x4＋6x－1是关于x 的 次 项式； 答案： ４，４． 评析：

《整式的加减》基础测试

一 填空题（每小题3分，共18分）： １．下列各式 －

13x?y，3xy，a2－b2，，2x ＞1，－x，0.5＋x中，是整式的45是 ，是单项式的是 ，

是多项式的是 ． 答案：－

3x?y1、3xy、a2－b2、、－x、0.5＋x，

541、3xy、－x， 43x?ya2－b2、、0.5＋x．

5评析：

3x?y 虽然有分数线，但是分母中不含有表示未知数的字母，所以它仍是整式；另5一方面，有

3x?y31 ＝ x－ y 555所以我们认为它是多项式．在运用换元法时把它看作一个整体，也可以暂时看作单项式．

2．a3b2c的系数是 ，次数是 ； 答案： １，６． 评析：

不能说a3b2c “没有系数”也不能说“它的系数是0”，实际上a3b2c ＝1?a3b2c，系数“1”被省略了．单项式的次数是所有字母的指数和，在这里，字母c的指数“1” 被省略了，所以字母的指数和是“3＋2＋1 ＝ 6”，而不是“5”．

３．3xy－5x4＋6x－1是关于x 的 次 项式； 答案： ４，４． 评析：

一、填空题:

1. (6ab3-2a2b+5ab2c3)(-4a2b)= 。

2. (5x3-6x4+8x2y3)÷1

2

x2= 。

3. [(-21x2y4z)÷7x2y]3= 。

4. (-m-1

3

n)2= 。

5. (x-3y)4÷(3y-x)3(x+3y)= 。

6. ( 1

5

x-3)(3-

1

5

x)= 。

7. (3x+2y-z)(-3x+2y-z)=[( )+( )][( )-( )]

=( )2-( )2。

8. (2x2-y3)( )=8x6-y9。

9. (a+b)[( )+5ab]=a3+b3。

10. (1)2m·42m·83m= ；

(2)15m÷( )=-5m。

二、选择题:

11. 计算(-5a2b3x)3结果是( )

(A)-15a6b9x3； (B)-125a6b9x3；

(C)-15a8b27x3； (D)-125a8b27x3。

12. 计算(-x)5(-x2)5结果是( )

(A)x10； (B)