初等数论视频教学

黔南民族幼儿师范高等专科学校

数学教育专业

《初等数论》课程

教 学 大 纲

执笔人： 审定人： 批准人：

基教系

2016年7月

《初等数论》课程教学大纲

一、课程简介

课程定位与目标：初等数论是研究整数最基本性质的课程，数学教育专业一门十分重要的专业课，它与小学数学有着十分紧密的联系，通过本门课程的学习，使学生系统掌握整数的基本性质，掌握研究整数的一些初等方法，并将这些知识应用到小学数学中去。

先修课程：高等代数

选用的教材版本：闵嗣鹤，严士健主编，初等数论第三版，高等教育出版社，2003，7.

课程主要内容：整数的可除性、不定方程、同余、同余式、二次同余式与平方剩余

课程教学方法：讲授法为主，注意联系初等数学中数论部分竞赛知识。 考核方案：闭卷:采用百分制,33分及以上为合格。采用平时考查与期末闭卷书面考核相结合的方式进行，平时成绩占40分，期末闭卷书面考试占60分。

二、理论课程教学大纲 （一）课程的性质、目的和任务 1．课程的性质：专业课。 2．课程的目的和任务

目的：通过本门课程的学习，使学生系统掌握整数的基本性质，掌握研究整数的一些初等方法，并将这些知识应用到小学数学中去。

任务：使学生掌握整数最基本的性质、算数基本定理、同

02013 初等数论

江苏教育学院编

江苏省高等教育自学考试委员会办公室

第一章 整数的可除性

一、自学要求

（一）掌握整除的基本概念，会使用带余数除法和辗转相除法。

（二）掌握最大公因数和最小公倍数的基本理论，会求最大公因数和最小公倍数。

（三）掌握质数的性质和算术基本定理，会用筛选法求不超过给定正整数的质数。

（四）掌握数论函数［x］的概念，会求 N！的标准分解式。

二、考试内容

（一）整除性，带余数除法，辗转相除法。

（二）最大公因数，最小公倍数，质数及其性质，算术基本定理，筛选法。

（三）数论函数［x］，N！的标准分解式。

第二章 不定方程

一、自学要求

（一）掌握二元一次不定方程有解的充要条件，熟练掌握二元一次不定方程的解法。

（二）了解多元一次不定方程有解的充要条件，掌握三元一次不定方程的解法。

（三）了解勾股数，掌握不定方程 x2 + y2 = z2的正整数解的表示方法。

二、考试内容

（一）二元一次不定方程。

（二）多元一次不定方程，三元一次不定方程。

（三）勾股数，不定方程 x2 + y2

高等教育出版社《初等数论》答案

《初等数论》习题集

第1章

第 1 节

1. 证明定理1。

2. 证明：若m p mn + pq，则m p mq + np。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p是n的最小素约数，n = pn1，n1 > 1，证明：若p >n，则n1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为

a2 + p（a > 0是整数，p为素数）

的形式。

ww

w.

第 4 节

第 3 节

1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x，y∈Z，17 2x + 3y，证明：17 9x + 5y。

5. 设a，b，c∈N，c无平方因子，a2 b2c，证明：a b。

32n 1

6. 设n是正整数，求C12n,C2n,L,C2n的最大公约数。

1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a，b是正整数，证明：(a + b)[a, b] = a[b, a + b]。

4. 求正整数a，b，使得a + b = 120，(a, b) = 24，[a,

初等数论学习总结

本课程只介绍初等数论的的基本内容。由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系， 因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师范院校)的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的．一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练，这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此，许多高等院校，特别是高等师范院校，都开设了数论课程。

最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。

数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。

初等数论自学安排

第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时

整除的定义、带余数除法 最大公因数和辗转相除法

整除的进一步性质和最小公倍数 素数、算术基本定理

[x]和{x}的性质及其在数论中的应用

习题要求p3：2，3 ； p8：

《初等数论》网络作业1

1、证明整数???能被1001整除。 50个0证明：利用公式：若n是正奇数，则a?b?(a?b)(a51317nnn?110?01?an?2b???abn?2?bn?1)

33163153∴10?01?10?1?(10)?1?(10?1)[(10)?(10)???10?1] ??? 50个0∴ 103?1?1001能够整除10?01??? 50个0

2、若n是奇数，证明8|(n2?1)。

证明：设n?2k?1,k?Z，则n2?1?(2k?1)2?1?4k(k?1)

∵ k，k＋1中必有一个是偶数 ∴ 8|(n2?1)

3、设正整数n的十进制表示为n?ak?a1a0，其中0?ai?9,0?i?k,ak?0，且

S(n)?ak?ak?1???a1?a0，证明9|n的充分必要条件是9|S(n)。

证明：∵ n?ak?a1a0?ak?10k???a1?10?a0k，

S(n)?ak?ak?1???a1?a0

∴ n?S(n)?ak?(10?1)???a1?(10?1) 对所有的0?i?k，有9|(10i?1) ∴ 9|(n?S(n))

∴ 9|n的充分必要条件是9|S(n)

4、设r是正奇数，证明对任意的正整数n，n?2不能

《初等数论》习题集

第1章

第 1 节

1. 证明定理1。

2. 证明：若m ? p?mn ? pq，则m ? p?mq ? np。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p是n的最小素约数，n = pn1，n1 > 1，证明：若p >3n，则n1

是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为

a2 ? p（a > 0是整数，p为素数）

的形式。

第 2 节

1. 证明：12?n4 ? 2n3 ? 11n2 ? 10n，n?Z。 2. 设3?a2 ? b2，证明：3?a且3?b。

3. 设n，k是正整数，证明：nk与nk + 4的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数n，m，等式n2 ? (n ? 1)2 = m2 ? 2不可能成立。 5. 设a是自然数，问a4 ? 3a2 ? 9是素数还是合数？

6. 证明：对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除。

第 3 节

1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x

《初等数论》-高等教育出版社

初等数论考试试卷1

一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果ba，ab，则( ).

A a?b B a??b C a?b D a??b 2、如果3n，5n，则15（ ）n.

A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）.

A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果a?b(modm),c是任意整数,则

A ac?bc(modm) B a?b C ac?bc(modm) D a?b 5、如果( ),则不定方程ax?by?c有解. A (a,b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、整数5874192能被( )整除.

A 3 B 3与9 C 9 D 3或9

二、填空题(每题3分，共18分)

2、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是( ).

3、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( ). 5、a,b的公倍数是它们

《初等数论》习题集

第1章

第 1 节

1. 证明定理1。

2. 证明：若m ? p?mn ? pq，则m ? p?mq ? np。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p是n的最小素约数，n = pn1，n1 > 1，证明：若p >3n，则n1

是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为

a2 ? p（a > 0是整数，p为素数）

的形式。

第 2 节

1. 证明：12?n4 ? 2n3 ? 11n2 ? 10n，n?Z。 2. 设3?a2 ? b2，证明：3?a且3?b。

3. 设n，k是正整数，证明：nk与nk + 4的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数n，m，等式n2 ? (n ? 1)2 = m2 ? 2不可能成立。 5. 设a是自然数，问a4 ? 3a2 ? 9是素数还是合数？

6. 证明：对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除。

第 3 节

1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x

初等数论练习题一

一、填空题

1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_ 2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t t?Z。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_?(m)_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、??65?? =-1。 ?103?

9、若p是素数，则同余方程x p ? 1 ?1(mod p)的解数为 p-1 。 二、计算题

1、解同余方程：3x2?11x?20 ? 0 (mod 105)。

解：因105 = 3?5?7，

同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 3)的解为x ? 1 (mod 3)， 同余方程3x2?11x?38 ? 0 (mod 5)的解为x ? 0，3 (mod 5)， 同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 7)的解为x ? 2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ?

初等数论练习题一

一、填空题

1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_ 2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t t?Z。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_?(m)_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、??65?? =-1。 ?103?

9、若p是素数，则同余方程x p ? 1 ?1(mod p)的解数为 p-1 。 二、计算题

1、解同余方程：3x2?11x?20 ? 0 (mod 105)。

解：因105 = 3?5?7，

同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 3)的解为x ? 1 (mod 3)， 同余方程3x2?11x?38 ? 0 (mod 5)的解为x ? 0，3 (mod 5)， 同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 7)的解为x ? 2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ?