高等数学下册教案

第一章 函数与极限 §1.1 映射与函数 1.直积或笛卡儿乘积: 设A，B是任意两个集合， A?B?{(x , y)x?A且y?B}. 2.两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形区域. 例如 .

3.点a是数轴上一点，??0，点a的?邻域:

(a?? , a??)

-----高等数学教案 第一章 函数与极限 第1页 共94页-----

[a , b]?[c , d]?{(x , y)x?[a , b] , y?或 {xa???x?a??} 或 {xx?a??} 记为U(a , ?).

4.点a的去心?邻域:

(a?? , a)?(a , a??)

或

{xa???x?a或a?x?a??} 或 {x0?x?a??} 记为U(a , ?). 5.点a的左?邻域: (a?? , a).

-----高等数学教案 第一章 函数与极限 第2页 共94页-----

?6.点a的右?邻域: (a , a??).

7.函数是实数集到实数集的映射f.单值函数是指对于定义域Df内的任何实

总复习（三重积分、曲线曲面积分） （注：教材中带*号的内容不考）

一， 各种积分：重积分（一重积分即定积分，二重积分，三重积分）， 曲线积分（第一类，第二类；平面，空间），

曲面积分（第一类，第二类）

怎样识别：根据积分区域。另外对第一、第二类线、面积分还要看微元字符。 二， 重点：

1,重积分重点主要是定限和计算，其次是几何应用（体积，曲面面积）与物理应用（质量，质心，做功，引力）

2,曲线曲面积分重点主要是计算，其次是几何与物理应用

3,各种积分的关系（主要用于通过互化来计算）：格林公式，高斯公式，斯托克斯公式*，两类

曲线曲面积分互化

三，三重积分的计算： 1. “2+1”公式：

fx，y，z）dxdydz???dxdy????（?Dxyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz (1)

此公式可导出“1+1+1”公式，柱坐标，球坐标* 2. “1+2”公式”：

fx，y，z）dxdydz?????（?dcdz??f(x,y,z)dxdy

高等数学（下册）考试试卷（一）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、 z=loga(x?y)(a?0)的定义域为D= 。 2、二重积分

22ln(x?y)dxdy的符号为 。 ??22|x|?|y|?13、由曲线y?lnx及直线x?y?e?1，y?1所围图形的面积用二重积分表示

为 ，其值为 。 4、设曲线L的参数方程表示为??x??(t)?y??(t) (??x??),则弧长元素ds? 。

5、设曲面∑为x2?y2?9介于z?0及z?3间的部分的外侧，则

（x???2?y2?1)ds? 。

6、微分方程

dyyy??tan的通解为 。 dxxx7、方程y(4)?4y?0的通解为 。 8、级数

1的和为 。 ?n?1n(n?1)?二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数z?f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是（ ） （A）f(x,y)在(x0,y0)处连续；

（B）fx?(x,y)，fy?(x,y)在(x0,y0)的某邻域

高等数学（下册）考试试卷（一）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、 z=loga(x?y)(a?0)的定义域为D= 。 2、二重积分

22ln(x?y)dxdy的符号为 。 ??22|x|?|y|?13、由曲线y?lnx及直线x?y?e?1，y?1所围图形的面积用二重积分表示

为 ，其值为 。 4、设曲线L的参数方程表示为??x??(t)?y??(t) (??x??),则弧长元素ds? 。

5、设曲面∑为x2?y2?9介于z?0及z?3间的部分的外侧，则

（x???2?y2?1)ds? 。

6、微分方程

dyyy??tan的通解为 。 dxxx7、方程y(4)?4y?0的通解为 。 8、级数

1的和为 。 ?n?1n(n?1)?二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数z?f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是（ ） （A）f(x,y)在(x0,y0)处连续；

（B）fx?(x,y)，fy?(x,y)在(x0,y0)的某邻域

,.

高等数学教材

,.

一、函数与极限

1、集合的概念

一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N

⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。

集合的表示方法

⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合

⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系

⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中

AnnalsofMathematics,157(2003),919–938

LargeRiemannianmanifolds

whichare exible

ByA.N.Dranishnikov,StevenC.Ferry,andShmuelWeinberger*

Abstract

Foreachk∈Z,weconstructauniformlycontractiblemetriconEuclideanspacewhichisnotmodkhypereuclidean.WealsoconstructapairofuniformlycontractibleRiemannianmetricsonRn,n≥11,sothattheresultingmani-foldsZandZ areboundedhomotopyequivalentbyahomotopyequivalencewhichisnotboundedlyclosetoahomeomorphism.Weshowthatfortheself(Z)→K (C (Z))fromlocally -spacestheC -algebraassemblymapK

niteK-homologytotheK-th

高等数学（下册）期末模拟试卷（八）

一.选择题（3分 10）

1.两个向量a与b垂直的充要条件是（ ）.

A.a b 0 B.a b 0 C.a b 0 D.a b 0

2.向量a i 2j k,b 2i j，则有（ ）.

A.a∥b B.a⊥b C.a,b D.a,b 34

3.函数y 2 x2 y2 1

x y 122的定义域是（ ）.

x,y xC. 2222A. x,y x y 2 B.x,y x y 2

2 y2 x,y x 2 D 2 y2 2

4.点M1 2,3,1 到点M2 2,7,4 的距离M1M2 （ ）.

A.3 B.4 C.5 D.6

5.函数z x3 y3 3xy的极小值是（ ）.

A.2 B. 2 C.1 D. 1

6.设z xsiny，则 z

y 1, 4 ＝（ ）. A.22 B. C.2 D. 2 22

1收敛，则（ ）. pnn 1 7.若p级数

A.p

开 课程名称 高等数学（A）A卷 参考答案与评分标准 教 研 室 高等数学教研室 适用专业班级 11级本科 一、求解下列各题（5?12?60分） 1、设z?arctan?z?x?z?y11?(x)y11?()xy22xy，求1y?z?x，y?z?y，dz. 解： ???x?yx22， ------------------2分 x??(?y)??2x?y22， ------------------2分 dz??z?xdx??z?ydy?yx?y22dx?xx?y22dy。 ------1分 2、设z?f(sinx,e解：?z?x2x?y),其中f具有连续的二阶偏导数，求?z?x，?z?x?y2. 分 x?y?f1??sinx,e?cosx?f2??sinx,ex?y?ex?y； --------3?z?x?y???x?yx?yx?y?f1??sinx,ecosx?f2??sinx,ee ????y?=?ex?ycosxf12???sinx,ex?y??e2?x?y?f22???sinx,ex?y??ex?yf2??sinx,ex?y?

高等数学下册期中测试题

山东理工大学《 高等数学下 》试卷 序号：

（A ）卷 2011- 2012 学年第 2 学期期中考试 班级： 姓名： 学号：

…………………………………装……………………………订…………………………线………….………………………………

高等数学下册期中测试题

山东理工大学《 高等数学 》试卷

高等数学下册期中测试题

一、1. (z y

1 3z

, 1

1 3

,

1 3

)z

2.1 yz

x z y2 2

3. x 2 y 2 4

4. D ( x , y ) x 2 y 2 1, 且 x 2 y 2 17

5.

x

y

dx

z y2

x ln xdy y

x ln xdz

y

6.

4x 2 y z 6 0

7.

1

0

dx

x x

f ( x , y )dy

4

1

dx

x

x 2

f ( x , y ) dy

8. I 2 I 1 I 3

二、

1. C

2.

D

3.C

4.D

三、解3x 3 x x 3 x cos y sin x 3 1 cos y sin x 3 x

高等数学（下册）试卷（一）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、 z=loga(x?y)(a?0)的定义域为D= 。 2、二重积分

22ln(x?y)dxdy的符号为 。 ??22|x|?|y|?13、由曲线y?lnx及直线x?y?e?1，y?1所围图形的面积用二重积分表示

为 ，其值为 。 4、设曲线L的参数方程表示为??x??(t)?y??(t) (??x??),则弧长元素ds? 。

5、设曲面∑为x2?y2?9介于z?0及z?3间的部分的外侧，则

（x???2?y2?1)ds? 。

6、微分方程

dyyy??tan的通解为 。 dxxx7、方程y(4)?4y?0的通解为 。 8、级数

1的和为 。 ?n?1n(n?1)?二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数z?f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是（ ） （A）f(x,y)在(x0,y0)处连续；

（B）fx?(x,y)，fy?(x,y)在