完全平方公式因式分解20道题

15.4.2公式法（二）

主备人：杨玉英 预习内容：教科书八年级上册第169、170页. 一、学习目标：用完全平方公式分解因式. 重 点：1.理解完全平方公式的特点．

2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式. 难 点：能灵活应用提公因式法、公式法分解因式.

二、预习提纲

1. 细读第169页，思考：特点 _______________________________ 我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做__ ______．

另外还有a2+2ab+b2= _______ ，a2-2ab+b2 =_______即：_______________ 2.阅读教材第169页的例题5.注重第（1）题的分析过程；第（2）题的符号为什么要做处理.

下列各式是不是完全平方式？为什么？ （1）a-4a+4（2）x+4x+4y（3）4a+2ab+

2

2

2

2

14b

2

（4）a2-ab+b2 （5）x2-6x-9 （6）a2+a+0.25 答： ______________________. 把下列多项式分解因式：

(1)

14.3.2运用完全平方公式因式分解

一、教学目标

1.理解完全平方公式的特点．

2.能较熟练地运用完全平方公式分解因式．

3.会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用． 二、学情分析

因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，因式分解不仅在多项式的除法、简便运算中有直接作用，也为以后学习第15章分式运算、解方程、方程组及代数式的恒等变形提供了必要的基础。是初中数学教材中的一个重要内容。

进行因式分解时要灵活、综合运用过去学过的有关数学基础知识，并且分解的途径很多，技巧性强，逆向思维能力要求较高。所以因式分解是发展学生智力、培养能力、深化学生的逆向思维能力的良好载体。

在学习本节课之前，已经学过了因式分解的有关概念和方法（提公因式法），特别是学过了运用平方差公式分解因式与本节课有类似之处，为本节课打下了基础。

本节课提现了换元这一重要的数学思想，教师应该培养学生的观察、分析、判断能力和预见能力。 三、重点难点

重点：运用完全平方公式分解因式。

难 点：灵活运用完全平方公式分解因式。 四、教学过程 教学活动

14.3.2运用完全平方公式因式分解

一、教学目标

1.理解完全平方公式的特点．

2.能较熟练地运用完全平方公式分解因式．

3.会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用． 二、学情分析

因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，因式分解不仅在多项式的除法、简便运算中有直接作用，也为以后学习第15章分式运算、解方程、方程组及代数式的恒等变形提供了必要的基础。是初中数学教材中的一个重要内容。

进行因式分解时要灵活、综合运用过去学过的有关数学基础知识，并且分解的途径很多，技巧性强，逆向思维能力要求较高。所以因式分解是发展学生智力、培养能力、深化学生的逆向思维能力的良好载体。

在学习本节课之前，已经学过了因式分解的有关概念和方法（提公因式法），特别是学过了运用平方差公式分解因式与本节课有类似之处，为本节课打下了基础。

本节课提现了换元这一重要的数学思想，教师应该培养学生的观察、分析、判断能力和预见能力。 三、重点难点

重点：运用完全平方公式分解因式。

难 点：灵活运用完全平方公式分解因式。 四、教学过程 教学活动

一、基础训练

22 221．(1)x＋ ＋4＝(x＋2) (2)m－4m＋ ＝(m－2)

(3) －4mn＋n＝( －n) (4)x－xy＋ ＝(x－

2222222212y) 22 (5)9x+（ ）+4y=（ ）； (6)9a+（________）+25b=（3a-5b）

22、已知9x-6xy+k是完全平方式，则k的值是______．

3.4x mx 9是完全平方式，则m= .

4．x+ a xy+16y是完全平方式，则a= ．

5、把下列各式分解因式： 222

（1）－4ab+12ab－9b= （2）(a2 1)2 4a2223（3）1-x+4xy-4y=

26．已知a+14a+49=25，则a的值是_________

7、把下列各式分解因式

2 22(1)a+8a+16 (2)p－22p＋121 (3)4x－20x＋25

(4)a－8ab＋16b

(7)－x＋2xy－y (8)－4－

(10)x＋4x＋4 (11)m＋m＋

42222 22 22

15.415.4.2

因式分解完全平方公 式

人教新课标

此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式

试计算：9992 + 2×999×1 + 1 1998= (999+1)2 = 106就像平方差公式一样，完全平方 公式也可以逆用，从而进行一些简便 计算与因式分解。

即：a 2ab b a b 2 2

二、完全平方式

a 2ab b2

2

完全平方式的特点：1、必须是三项式(或可以看成三项的)2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)

简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。

1 a 2 b 2 2ab 是 2 2 2 2

1、回答：下列各式是不是完全平方式

2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否2 2

1 5 x x 是 4 6 a 2 2ab 4b 2 否 2

2.填写下表

多项式

是否是完 全平方式

a 、b各 表示什么a表示：x b表示：3 a表示：2y b表示：1

表示为：a 2 2ab b 2 x 2 2 x 3 32(2 y) 2

《平方差公式分解因式》说课稿

今天我说课的内容是九年义务教育人教版八年级上册第十四章—-整式乘法与分解因式，第三节——“因式分解”第二课时。本着以学生为主体，教师为主导的教学原则，我将从教材分析、学法与教法、教学过程、教学反思几个方面进行说明。

【教材分析】 本节课主要让学生经历通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，发展学生的观察能力和逆向思维能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫，因此本节课在教材中起到了承上启下的重要的作用。

本节课采用高效课堂教学模式，以学生为主体，教师起辅导作用，所以确立了以下目标和重难点：

【学习目标】（1）了解运用公式法分解因式的意义； （2）会用平方差公式进行分解因式；

（3）会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解。 【学习重点】掌握用平方差公式进行分解因式。

【学习难点】将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养分步骤分解因式的能力。

这节课，我主要采用以下教法学法

【教法分析】 根据新《课标》的要求，结合本班学生的知识水平，本堂课主要采用观察、分析、启发、诱导的方法，引导学

15.415.4.2

因式分解完全平方公 式

人教新课标

此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式

试计算：9992 + 2×999×1 + 1 1998= (999+1)2 = 106就像平方差公式一样，完全平方 公式也可以逆用，从而进行一些简便 计算与因式分解。

即：a 2ab b a b 2 2

二、完全平方式

a 2ab b2

2

完全平方式的特点：1、必须是三项式(或可以看成三项的)2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)

简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。

1 a 2 b 2 2ab 是 2 2 2 2

1、回答：下列各式是不是完全平方式

2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否2 2

1 5 x x 是 4 6 a 2 2ab 4b 2 否 2

2.填写下表

多项式

是否是完 全平方式

a 、b各 表示什么a表示：x b表示：3 a表示：2y b表示：1

表示为：a 2 2ab b 2 x 2 2 x 3 32(2 y) 2

因式分解

公式及方法大全

待定系数法(因式分解)

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在

在因式分解时，一些可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

常用的因式分解公式：

因式分解

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．

分析 由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，

若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．

解 设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，

因式分解

比较两边对应项的系数，则有

解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

说明 本题也可用 例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．

分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法

常用的因式分解公式

常用的因式分解公式：

待定系数法(因式分解)

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析 由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，

若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解 设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下． 例2 分解因式：x4-2x3-

周末练习

班级 姓名

2223

1.若△ABC三边分别是a,b,c,且满足(b-c)(a+b)=bc-c, 试判断△ABC的形状．

变式训练：

2.已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．

3.已知a,b,c为△ABC的三边长,且2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0，试判定△ABC的形状.

4.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数” （1）36和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k-2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？

5．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正方形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正方形共用了176根火柴棍，并且正三角形的个数比正方形的个数多12个，求搭建正三角形和正方形的个数分别是多少？

变式训练