抽象函数 赋值法

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赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略

函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x2，y=x1或y=，且x1

例1定义在(﹣1,1)上的函数f(x),对任意的x,y∈(﹣1,1)都有f(x)+f(y)=f().求证：f(x)是奇函数. 解析：在f(x)+f(y)=f()中，令x=y=0有f(0)+f(0)=f(0)，∴f(0)=0， 又令y=﹣x.有f(x)+f(﹣x)=f(0)=0，即f(x)+f(﹣x)=0，∴f(x)是奇函数. 例2已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x+1)=，(f(x)≠0，1)，若f(1)=2，求f(2002)的值. 解析：在f(x+1)=中，将x换为x+1有，f(x+2)==,1﹣)=﹣， 从而f(x+4)=﹣=﹣)=f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数， 故f(2002)=f(4×500+2)=f(2)==﹣3. 例3已知定义域为(0，+∞)的函数f(x)，对于任意的x>0、y>

函数

用赋值法求解函数关系

依据函数y=f(x)的限定条件和关系式求函数关系y=f(x)．

一、赋值代换

例1 已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x)不恒为零，对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)=2[f(x1)＋f(x2)]．求证：f(x)是偶函数

分析：若有f(－x)=f(x)(x∈R)，则f(x)为偶函数． 观察条件f(x1＋x2)＋f(x1－x2)=2[f(x1)＋f(x2)]

令x1=0，x2=x则f(x)＋f(－x)=2[f(0)＋f(x)]*

令x2=0，则f(x1)＋f(x1)=2[f(x1)＋f(0)]

∴f(0)=0把f(0)=0代入(＊)有f(x)=f(－x)问题得证． 赋值代换应注意：(1)所赋自变量x之特殊值必须在函数的定义域内；(2)应观察函数式的特点，确定赋什么值．

例2 设f(x)是(0，1)上的实函数，如果满足：1)对于任意x∈(0，1)，f(x)＞0；

分析：∵x，y∈(0，1)，(1－x)，(1－y)∈(0，1)由题设知f(y)＞0，f(1－y)＞0，故有f(x)f(1－y)＋f(y)f(1－

x)≤2f(y)f(1－y)，观察此不等式，如令x=1－y ∈(0，1)，则有： f2(x)－

说明：本套试题为选择题专项（样稿）

共25道试题，每道试题由试题、答案、解析、技巧心得四部分构成，做题老师必须保证解析部分知识点正确无误、能够举一反三、触类旁通、文字工整、符号准确、图片清楚、语言通顺、解析深刻、不能在已有试题上更改，试题完成时间为5天，提前做完可以提前发送至负责人处，等待审核通过后统一发放工资。

1

题型：选择题，难度：容易

标题/来源：2011-2012学年贵州省遵义四中高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】已知函数，则=\（ \）

A．-4 B．4 C．8 D．-8 【答案】B

【解析】本题是对分段函数的考察。做这种题应先对函数的层次性进行分析，认清所求函数是几个层次的。再认清分段域，和所对应函数式。 本题所求函数只有一个层次，变量x为-2，在分段域X＜0中,所对应函数式为x2,则把-2代入,得(-2) 2=4. 2

题型：选择题，难度：较易

标题/来源：2011-2012学年浙江省温州市直六校高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】函数

，且

的定义域为

，则

，且对于定义域内的任意x,y都有的值为（ ）

A．-2 【答案】C

B． C． D．2

【解析】本题关键在于利

经典习题1

3?1. 若函数f(2x?1)的定义域为??1,??,则函数f(log2x)的定义域为( )

?2?1?A. ??,2? B. 2???1??14 C. ,2?,???2??2??12? D.?,4??2?2? ?2. 若f(n?1)?f(n)?1(n?N*),且f(1)=2,则f(100)的值是( ) A．102 B．99 C．101 D．100

3. 定义R上的函数f(x)满足：f(xy)?f(x)?f(y),且f(9)?8,则f(3)?（ ） A．2 B．2 C．4 D．6

2(?a)?1f(?a)0?4. 定义在区间（-1，1）上的减函数f(x)满足：f(?x)??f(x)。若f1恒成立，则实数a的取值范围是___________________.

5. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数x,y,都有:f(xy)?f(x)?f(y)成立.则不等式f(log2x)?0的解集是__

6. 已知函数f(x)是定义在（-∞，3]上的减函数，已知f(a2?sinx)?f(a?1?cos2x)对x?R恒成立，求实数a的取

说明：本套试题为选择题专项（样稿）

共25道试题，每道试题由试题、答案、解析、技巧心得四部分构成，做题老师必须保证解析部分知识点正确无误、能够举一反三、触类旁通、文字工整、符号准确、图片清楚、语言通顺、解析深刻、不能在已有试题上更改，试题完成时间为5天，提前做完可以提前发送至负责人处，等待审核通过后统一发放工资。

1

题型：选择题，难度：容易

标题/来源：2011-2012学年贵州省遵义四中高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】已知函数，则=\（ \）

A．-4 B．4 C．8 D．-8 【答案】B

【解析】本题是对分段函数的考察。做这种题应先对函数的层次性进行分析，认清所求函数是几个层次的。再认清分段域，和所对应函数式。 本题所求函数只有一个层次，变量x为-2，在分段域X＜0中,所对应函数式为x2,则把-2代入,得(-2) 2=4. 2

题型：选择题，难度：较易

标题/来源：2011-2012学年浙江省温州市直六校高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】函数

，且

的定义域为

，则

，且对于定义域内的任意x,y都有的值为（ ）

A．-2 【答案】C

B． C． D．2

【解析】本题关键在于利

篇一：抽象函数习题精选精讲

含有函数记号“

由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号

f(x)”有关问题解法

f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地

掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：

一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量的灵活性及变形能力。

表示原自变量x的代数式，从而求出

f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生

x

)?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u?u,则x??1?解：设∴f(u)?2x?11?u1?u1?u

例1：已知

f(

∴

f(x)?

2?x

1?x

2.凑合法：在已知

f(g(x))?h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，

还能进一步复习代换法。

例2：已知

11f(x?)?x3?3

xx

，求

f(x)

解：∵

1111111

f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)((x?)2?3)又∵|x?|?|x|??1

xxxxxx|x|

∴

f(x)?x(x2?3)?x3?3x，(|x|≥1)

3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知解:设

抽象函数习题精选精讲

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求复合函数相关定义域

一、已知f(x)的定义域，求复合函数f[g x ]的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为x a,b ，求出f[g(x)]中a g(x) b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。

例1 已知f(x)的定义域为(0，3]，求f(x2 2x)定义域。

解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即

2 x 2，或x 0 x 2x 0 0 x 2x 3 2 3 x 1 x 2x 3

即 3 x 2或0 x 1

故f(x2 2x)的定义域为 3, 2 0,1

【评注】所谓定义域是指函数中自变量x的取值范围，因此我们可以直接将复合函数22中x 2x看成一个整体x，即由0 x 3可得0 x 2x 3，解出x的范围即可。

2 x x 2 （2006年湖北卷）设f x lg，则f f 的定义域为 （B） 2 x 2 x

A. 4,0 0,4 B. 4, 1 1,4

C. 2, 1 1,2

高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：

一. 求某些特殊值

这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

例1 定义在R上的函数f(x)满足：f(x)?f(4?x)且f(2?x)?f(x?2)?0，求

f(2000)的值。

解：由f(2?x)?f(x?2)?0， 以t?x?2代入，有f(?t)?f(t)， ?f(x)为奇函数且有f(0)?0 又由f(x?4)?f[4?(?x)]

?f(?x)??f(x) ?f(x?8)

??f(x?4)?f(x) 故f(x)是周期为8的周期函数， ?f(2000)?f(0)?0

例2 已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(x?y)?f(x)?f(y)，且当x?0时，

一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例1.若函数y = f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y = f（x+1）+f（x－1）的定义域为 。

?练习：已知函数f(x)的定义域是??1,2? ，求函数f??log1?3?x?? 的定义域。

??2??例2：已知函数f?log3x?的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 练习：定义在?3,8?上的函数f(x)的值域为??2,2?，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。

例3.①对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. ② R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .

例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.

练习： 1. f(x)的定义域为(0,??)，对任意正