北邮版概率论答案(2)

习题八

2

1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.108).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为

4.28 4.40 4.42 4.35 4.37

问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（?=0.05）? 【解】

H0:???0?4.55;H1:???0?4.55.n?5,??0.05,Z?/2?Z0.025?1.96,??0.108x?4.364,Z?x??0

?(4.364?4.55)0.108?5??3.851,?/nZ?Z0.025.所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.

2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：

3.24 3.26 3.24 3.27 3.25

设含镍量服从正态分布，问在?=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25. 【解】设

H0:???0?3.25;H1:???0?3.25.n?5,??0.01,t?/2(n?1)?t0.005(4)?4.6041x?3.252,s?0.013,t?x??0s/n?(3.252?3.25)0.013?5?0.344,

t?t0.005(4).所以接受H0，认为这批矿

北京邮电大学出版的概率论

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

ππ sinxsiny,0 x ,0 y

F（x，y）= 22

其他. 0,

求二维随机变量（X，Y）在长方形域 0 x 【解】如图P{0 X

πππ

, y 内的概率. 463

πππ

, Y 公式(3.2) 463

ππππππF(,) F(,) F(0,) F(0,) 434636

北京邮电大学出版的概率论

sinπ4 sinπ3 sinπ4 sinπ6 sin0 sinπ3 sin0

sin

π6

4

1).

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度

Ae (3x 4y)f（x，y）= ,x 0,y 0,

0,

其他.

求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由

f(x,y)dxdy

-(3x

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律

一、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

f?x,y??A?x2?y?12?2 .

求：（1）系数A；（2）数学期望E(X)及E(Y)，方差D(X)及D(Y)，协方差cov(X,Y)． 解: (1) 由??????????f(x,y)dxdy?1. 有

A2???x?????????y?12?2dxdy?A?2?0d???r0??r2?1?2dr??A?1

解得, A?1?.

(2) E(X)???????????xf(x,y)dxdy???1????dy???x???x2?y?12?2dx?0.

由对称性, 知 E(Y)?0. D(X)?E[(X?EX)]?EX22???????0??????xf(x,y)dxdy?221??????dy???x222???x12?y?1???dx

?1??2?0d????r320?r2?1?dr?2?r(1?r)?r?r??2?1?2dr?[ln(1?r)

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

华东理工大学概率论与数理统计习题+答案

华东理工大学

概率论与数理统计

作业簿（第二册）

学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________

第四次作业

一． 填空题：

1．设事件A,B相互独立，且P(A) 0.2,P(B) 0.5，则P(BA B)＝

2． 设A、B、C两两独立，且ABC= ， P(A)=P(B)=P(C）<

则P(C)= 0.25

19, P(A B C) 216

二． 选择题：

1. 设袋中有a只黑球，b只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出黑球的概率为（ A ）；若已知第一次取到的球为黑球，那么第二次取到的球仍为黑球的概率为（ B ）

a 1aa(a 1)a2

A． B． C． D． 2

a b 1(a b)(a b 1)(a b)(a b)

2．已知P(A) 0.7,P(B) 0.6,P(BA) 0.6,则下列结论正确的为（ B ）。

A．A与B互不相容； B．A与B独立； C．A B；

第 一 章 习 题 一

1（4）解：设B1=“两件都是不合格品”，B2=“一件是合格品，另一件是不合格品”，A=“已知所取两件中有一件是不合格品”，则A?B1?B2，由题意知，

12C6C4282P(B1)?2?,P(B1)?2?,P(A)?P(B1)?P(B2)?

C1015C10153C42故P{B1 |A}=

P(AB1)P(A)?P(B1)P(A)?2/151? 2/353. 解：A:表示两个一级队被分在不同组，则A:表示两个一级队被分在同一组

P(A)?C2C18C201019?0.526,P(A)?1?P(A)?0.474

5．解：设一段长为x，另一段长为y，样本空间?:0?x?a,0?y?a,0?x?y?a，

a?0?x??2?a? 0?y??2??x?y?(a?x?y)??所求事件满足：

从而所求概率＝S?CDES?OAB?14.

X,Y,样本空间占

6．解：设所取两数为

4S(?)?S(D)1?S(D)P??S(?)11有区域?,

两数之积小于1:XY?1,故所求概率

4,

,故所求概

4)而

S(

《概率论》计算与证明题

第5章 极限定理

1、?为非负随机变量，若Eea???(a?0)，则对任意x?o，P{??x}?e?axEea?。

2、若h(x)?0，?为随机变量，且Eh(?)??，则关于任何c?0，

P{h(?)?c}?c?1Eh(?)。

4、{?k}各以

平均值？

6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：

（1）P{Xk??2}?k1ss概率取值k和?k，当s为何值时，大数定律可用于随机变量序列?1,2,?n,的算术

1； 2k?(2k?1),P{Xk?0}?1?2?2k； （2）P{Xk??2}?21?1?12（3）P{Xk??2}?k,P{Xk?0}?1?k2。

2k7、若?k具有有限方差，服从同一分布，但各k间，?k和?k?1有相关，而?k,?1(|k?l|?2)是独立的，

证明这时对{?k}大数定律成立。 8、已知随机变量序列?1,?2,对{?k}成立大数定律。 9、对随机变量序列{?i}，若记?n?的方差有界，D?n?c，并且当|i?j|??时，相关系数rij?0，证明

1(?1?n1??n)，an?(E?1?n?E?n)，则{?i}服从大数定律

?(?n?an)2??0。 的充要条件是limE?2?n?