小学奥数同余问题和谐法

小学奥数同余问题

同余问题（一）

在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24

小时，

，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7

时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。

1. 同余的表达式和特殊符号

37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。

记作：（mod7） “”读作同余。

一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：

2. 同余的性质

（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）

（2）若，那么（这称作同余的对称性）

（3）若性）

（4）若，，则（这称为同余的传递，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）

（称为同余的可乘性）

（5）若有趣的现象：

如果 ，则，n为正整数，同余还有一个非常

小学奥数同余问题

那么（的差一定能被k整除）

这是为什么呢？

k也就是的公约数，所以有

下面我们应用同余的这些性质解题。

【例题分析】

例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？

分析与解答：

假设这个自然数是a，

数论之同余问题

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：

一、带余除法的定义及性质：

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当r?0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:

如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数

-- -- 1. 两数相除商３7余73，求被除数的最小值。

解析:28８1

2. 两数相除,商4余8，被除数、除数、商和余数的和为４１5，则被除数是多少？ 解析：被除数是424，除数是79.

3. 小明在做题的时候由于马虎,错把被除数360看做390，商比原来大了3,求原来 的除数。

解析：除数是10．

4. 小明在做题的时候由于马虎,错把被除数360看做390,商比原来大了3,余数也 比原来大了3.求原来的除数。

解析：除数是9.

5. 求算式３２１８+26－7５7除以9的余数。

解析:3.

6. 求413除以5的余数。

解析：１.

7. 2４６１×135×6047÷１1的余数是多少?

解析：5．

8. １９992０００÷7的余数是多少？

--

解析:0.

9.求1２34５6789101112……19９200除以9的余数是_＿___＿__;

解析：3．

１０. 数１1…１（20０７个1）,被１3除余多少?

解析：７

11.已知一个两位数除14７7,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是．

解析:147７-49＝142８是这两位数的倍数，又1428=2×2×3×7×17＝5１&#

同余法解题

一、知识要点

在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，52÷24=2??4，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。

1、 同余的表达式和特殊符号:37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：37≡44(mod7),“≡”读作同余。一般地，两个整数A和B，除以大于1的自然数M所得的余数相同，就称A、B对于模M同余，记作：A≡B(modM) 2、同余的性质

（1）A≡A(modM)（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若A≡B(modM)，那么B≡A(modM)（这称作同余的对称性）

（3）若A≡B(modM)，B≡C(modM)，则A≡C(modM)（这称为同余的传递性）

（4）若A≡B(modM)，C≡D(modM)，则A±C≡B±D(modM)（这称为同余的可加性、可减性）则A×C≡B×D(modM)（称为同余的可乘性）

（5）若A≡B(modM)，则An≡Bn (modM)，n为正整数，

数论之同余问题

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必

考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），

知识点拨：

三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m

第___讲 巧解余数与同余问题 第一节 余数

方法和技巧：

（1） 被除数=商×除数+余数。 （2） 借助约数和倍数的知识。 上面两个性质是解题的关键。

例1：一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。

做一做1：237除以一个两位数所得的余数是6，问：这样的两位数是多少？

例2:一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。那么，被除数、除数、商及余数之和是多少？

做一做2：两数相除，商是498，余数是3。那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？

例3:两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和是866。求这两个数。

做一做3：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。问：被除数是多少？

例4:伸出你的左手，从大拇指开始按右图所示的那样数数字：1，2,,3，…问：数到2003时，你数在哪个手指上？

做一做4：将全体非零自然数按下列方式排列，问：数1000排在哪个字母的下面？

A B C D E F G

_____

第___讲 巧解余数与同余问题 第一节 余数

方法和技巧：

（1） 被除数=商×除数+余数。 （2） 借助约数和倍数的知识。 上面两个性质是解题的关键。

例1：一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。

做一做1：237除以一个两位数所得的余数是6，问：这样的两位数是多少？

例2:一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。那么，被除数、除数、商及余数之和是多少？

做一做2：两数相除，商是498，余数是3。那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？

例3:两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和是866。求这两个数。

做一做3：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。问：被除数是多少？

例4:伸出你的左手，从大拇指开始按右图所示的那样数数字：1，2,,3，…问：数到2003时，你数在哪个手指上？

做一做4：将全体非零自然数按下列方式排列，问：数1000排在哪个字母的下面？

A B C D E F G

_____

周期问题

典型例解

[例1]把围棋里的黑白棋子按一定的规律排列着，其中第90颗是什么棋？第101颗是什么棋？

●●○●●○●●○?

【分析】仔细观察图中棋的排列，不难发现棋的排列规律是：2颗黑棋，1颗白棋，2颗黑棋，1颗白棋，也就是按“两颗黑棋，一颗白棋”的次序循环出现，因此，这道题的周期为3。 再看看90,101里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个。 解答 90÷3=30，正好有30个周期。

101÷3=33??2，有33个周期还多2个。 所以，第90颗棋是白棋，第101颗棋是黑棋。 答：第90颗是白棋，第101颗是黑棋

[举一反三1]

①有一列数:5、6、2、4、5、6、2、4?第129个数是多少？

②有同样大小的黑、白、红珠子共180个，按5个红珠，4个白珠，3个黑珠排列，第158个珠子是什么颜色？这158个珠子中有多少个黑珠？ ③△△○△△○△△○?其中第99个是什么图形？ [例2] 7??7???7??7?????7积的个位数字是几？ ???202?7[分析]要求202个7连乘的积的个位数字，因此，我们只需要考虑积的个位数字的排列规律。

知识点、典例、练习

应用同余问题

一、基础知识

同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的：

两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。 同余的性质比较多，主要有以下一些：

性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5）

性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。

应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。

周期问题

典型例解

[例1]把围棋里的黑白棋子按一定的规律排列着，其中第90颗是什么棋？第101颗是什么棋？

●●○●●○●●○?

【分析】仔细观察图中棋的排列，不难发现棋的排列规律是：2颗黑棋，1颗白棋，2颗黑棋，1颗白棋，也就是按“两颗黑棋，一颗白棋”的次序循环出现，因此，这道题的周期为3。 再看看90,101里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个。 解答 90÷3=30，正好有30个周期。

101÷3=33??2，有33个周期还多2个。 所以，第90颗棋是白棋，第101颗棋是黑棋。 答：第90颗是白棋，第101颗是黑棋

[举一反三1]

①有一列数:5、6、2、4、5、6、2、4?第129个数是多少？

②有同样大小的黑、白、红珠子共180个，按5个红珠，4个白珠，3个黑珠排列，第158个珠子是什么颜色？这158个珠子中有多少个黑珠？ ③△△○△△○△△○?其中第99个是什么图形？ [例2] 7??7???7??7?????7积的个位数字是几？ ???202?7[分析]要求202个7连乘的积的个位数字，因此，我们只需要考虑积的个位数字的排列规律。