向量法和坐标法的几何证明

毕 业 论 文

论文题目 向量法证明初等几何命题 学 院 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2011级 学 号 201124081124 学生姓名 陈平 指导教师 张峰 完成时间 2015 年 4 月

肇庆学院教务处制

向量法证明初等几何命题

陈平

摘 要 本文使用向量的数量积，向量积，混合积证明一些初等几何的命题．例如，勾股定理，余弦定理，海伦公式．

关键词 初等几何；数量积；向量积；混合积

1引言

向量这个名词对于大家来说并不陌生，在高中的教材中已经接触了不少向量的内容．在力学、物理学已及日常生活中，咱们常常遇到很多的量，譬如像温度、时间、质量、密度、功、长度、面积与体积等，这些量在规定的单位下，都可以由一个数来完全确定，这种只有大小的量叫做数量．其余又有一些比较复杂的量，比方像位移、力、速度、加速度等，他们不仅有大小，而且还有方

高二数学学案 教案编写： 审核人： 高二数学组 使用时间： 编号：1

3.2.立体几何中的向量方法（坐标法） 【学习目标】熟练掌握解决立体几何问题的坐标方法； 【学习重点】坐标法解决立体几何问题的三个步骤； 【学习难点】立体几何问题到向量坐标问题的转化； 【学习过程】 1、 直线的方向向量： 。 2、平面的法向量： 。 3、 例题2：如图二面角中α---L---β中AC、BD都与L垂直AC=a BD=b CD=c AB=d 求二面角α---L---β的余弦值 F'βB C αDlA例题讲解 D'例题1：如图四棱柱ABCD-A＇B＇C＇D＇中以A为顶点的三条棱长都相等,且它们彼此

高二数学学案 教案编写： 审核人： 高二数学组 使用时间： 编号：1

3.2.立体几何中的向量方法（坐标法） 【学习目标】熟练掌握解决立体几何问题的坐标方法； 【学习重点】坐标法解决立体几何问题的三个步骤； 【学习难点】立体几何问题到向量坐标问题的转化； 【学习过程】 1、 直线的方向向量： 。 2、平面的法向量： 。 3、 例题2：如图二面角中α---L---β中AC、BD都与L垂直AC=a BD=b CD=c AB=d 求二面角α---L---β的余弦值 F'βB C αDlA例题讲解 D'例题1：如图四棱柱ABCD-A＇B＇C＇D＇中以A为顶点的三条棱长都相等,且它们彼此

3.2立体几何中的向 量方法---------方向向量与法向量

一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A

l

a

P

直线的方向 向量不唯一

直线l的向量式方程

AP ta

练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 平面 α的向量式方程 注：平面 α的法向量 不唯一 l

a AP 0

几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m是与平面平行或在平面内， 则有

aAP

n m 0

巩固性训练11.设

a,

3.2立体几何中的向 量方法---------方向向量与法向量

一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A

l

a

P

直线的方向 向量不唯一

直线l的向量式方程

AP ta

练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 平面 α的向量式方程 注：平面 α的法向量 不唯一 l

a AP 0

几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m是与平面平行或在平面内， 则有

aAP

n m 0

巩固性训练11.设

a,

1 法向量在立体几何中的应用

查宝才

（扬州市新华中学，江苏 225002）

向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。下面就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。

1 法向量的定义

1.1 定义1 如果一个非零向量n 与平面α垂直，则称向量n 为平面α的法向量。

1.2 定义2 任意一个三元一次方程：0=+++D Cz By Ax ，222(C B A ++ )0≠都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中),,(C B A n =为其一个法向量。]1[ 事实上，设点),,(0000z y x P 是平面α上的一个定点，),,(C B A n =是平面α的法向量，设点),,(z y x P 是平面α上任一点，则总有n P P ⊥0。

∴ 00=?n P P ， 故 0),,(),,(000=---?z z y y x x C B A ，

即 0)()()(000=-+-+-z z C y

第27讲 三角法与向量法解平面几何题

相关知识

在?ABC中,R为外接圆半径,r为内切圆半径,p?1,正弦定理:

a?b?c,则 2abc???2R, sinAsinBsinC2,余弦定理:a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2accosB,c2?a2?b2?2abcosC. 3,射影定理:a?bcosC?ccosB,b?acosC?ccosA,c?acosB?bcosA. 4,面积:S?11abcaha?absinC??rp?2R2sinAsinBsinC 224R = rR(sinA?sinB?sinC)= ?p(p?a)(p?b)(p?c) coCt.

)122(acotA?b2coBt?c4A类例题 例1．在ΔABC中，已知b=asinC ,c=asin(90-B)，试判断ΔABC的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。

0

a2?c2?b2a2?c2?b2?解 由条件c = asin(90 - B) = acosB = a

2ac2c0

2222 ?a?c?b?2c ?a?c?b?A是直角

222ac??c?

第61讲 立体几何中的综合问题(向量法、几何法综合)

夯实基础 【p139】

【学习目标】

1．能根据题目条件灵活选择用几何法或向量法解决问题．

2．会分析探究立体几何中位置关系问题和几何量的取值问题，培养探究思维能力． 【基础检测】

1．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直

【解析】对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，由线面垂直的判定可得CD⊥平面ACB，则有CD⊥AC，而AB＝CD＝1，BC＝AD＝2，可得AC＝1，那么存在AC这样的位置，使得AB⊥CD成立．

【答案】B

2．如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是( )

A．直线B．抛物线 C．椭圆D．双曲线的一支

【解析】利用平面截圆锥面直接得轨迹．

因为∠PAB＝30°，所以点P的轨迹为以AB为轴线，PA为母线的圆锥面与平面α的交线，且平面

向量法解立体几何

1、直线的方向向量和平面的法向量

⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.

⑵．平面的法向量： 若向量n所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作

n??，如果n??，那么向量n叫做平面?的法向量.

⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：

①建立适当的坐标系．

②设平面?的法向量为n?(x,y,z)．

③求出平面内两个不共线向量的坐标a?(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)．

??n?a?0④根据法向量定义建立方程组?.

??n?b?0⑤解方程组，取其中一组解，即得平面?的法向量.

2、用向量方法判定空间中的平行关系

⑴线线平行。设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即

a?kb(k?R).

⑵线面平行。设直线l的方向向量是a，平面?的法向量是u，则要证明l∥?，只需证明

a?u，即a?u?0.

⑶面面平行。若平面?的法向量为u，平面?的法向量为v，要证?∥?，只需证u∥v，即证u??v.

3、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直。设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要

立体几何（向量法）—找点难（定比分点公式）

例1（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱

ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2,

E为棱AA1的中点. (Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;

(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.

(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为的长.

2, 求线段AM6

【答案】解：方法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)．

→→→→

(1)证明：易得B1C1＝(1，0，－1)，CE＝(－1，1，－1)，于是B1C1·CE＝0，所以B1C1⊥CE. →

(2)B1C＝(1，－2，－1)，

设平面B1CE的法向量＝(x，y，z)，

→?B1C＝0，??·?x－2y－z＝0，则?即?消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量

?→－x＋y－z＝0，??CE＝0，?m·

为＝(－3，－2，1)．

→

由(1)，B1C1⊥