空间几何大题

立体几何大题练习（文科）：

1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=

，侧面SAD⊥底面ABCD．

（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；

（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为

，求侧面△SAB的面积．

【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证；

（2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值． 【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°， 可得BD=

a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，

=

a，

，

由余弦定理可得AD=则BD⊥AD，

由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD， 又BD?平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；

（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为由AD=SD=

a，

a，

a，

，

立体几何中有关体积问题

一、知识归纳

1、柱体体积公式：V?S.h

2、椎体体积公式：V?13S.h 3、球体体积公式：V?433?R

二、点到平面的距离问题 求解方法：

1、几何法：等体积法求h

2、向量法： 点A到面?的距离d?AB?nn

?其中，n是底面的法向量，点B是面?内任意一点。题型分析：

1、如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC,AB?BB1AC?BC?BB1?2,D为AB中点，且CD?DA1

（1）求证：BB1?平面ABC （2）求证：BC1∥平面CA1D (3)求三棱椎B1-A1DC的体积

A1C1 B 1 AC D B

2、如图，在四棱锥E?ABCD中，?ADE是等边三角形，侧面ADE?地面ABCD,AB∥DC，且

BD?2DC?4，AD?3，AB?5.

（1）若F是EC上任意一点，求证：面BDF?面ADE (2)求三棱锥C?BDE的体积。

E F C D

AB

3、如图，在棱长为2的正方体中，E,F分别为

DD1、DB的中点。

（1）求证：EF∥平面ABC1D1 (2)求证EF?B1C （2）求三棱锥B1?EFC的体积。 D1C1

AB11 E D C F AB

空间解析几何试卷

一、填空题（本大题共计30分，每空3分。请把正确答案填在横线上）

1. 设向量a???1,?1,0?,b??2,1,1?，则a在b上的射影是_____________,a是_______________.

2. 设向量a??4,?5,3?,向量b与a共线，反向且模为252,那么向量b的坐标是 ________________.

1,1,1?,b??x,2,3?, 如果a,b垂直, 那么x=_________. 3. 已知向量a??1,0,?1?,b??2,3,0?,c??0,1,2?，则由这3个向量张成的平行六面4. 已知向量a???????????????????体的体积是_________.

y?1xz?1?3?z与直线?1?y? 间的距离是_____________. ?22?2x?ayz?? 与平面x-2y+bz=0平行，则a,b的值分别是6. 若直线3215. 直线x?2?______________.

?x?y?1?07. 经过直线?且与直线x?y?2z平行的平面的方程是

x?y?z?2?0?_________________.

?x2?y2?z?08. 空间曲线?在x0y坐标面上的射影曲线和射影柱面的方程

第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量

一、空间向量的坐标运算

??1． 若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，则

（1）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； （2）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； （3）?a?(?a1,?a2,?a3),??R； （4）a?b?a1b1?a2b2?a3b3； （5）a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3,(b?0,??R)； （6）a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0； （7）a?（8）cos?a,b??22a?a?a12?a2?a3；

a1b1?a2b2?a3b3a?b. ?222222a?ba1?a2?a3?b1?b2?b3?????????例1 已知a?(2,?3,5),b?(?3,1,?4),求a?b,a?b,8a,a?b,的坐标.

????2.若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)

练习1: 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB,PC的中点，且PA=AD=1，

?????求向量MN的坐标.

二、空间直角坐标系中平面

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1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为矩形，SD?底面ABCD，

AD?2，DC?SD?2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60。

（I）证明：M是侧棱SC的中点；

????求二面角S?AM?B的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的

A1 C1 角的大小

B1 D A B E

C 3.（2009浙江卷）如图，DC?平面ABC，EB//DC，AC?BC?EB?2DC?2，

?ACB?120，P,Q分别为AE,AB的中点．（I）证明：PQ//平面ACD；（II）求AD与平

面ABE所成角的正弦值．

4.（2009北京卷）如图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形，

PD?底面ABCD，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC?平面PDB；（Ⅱ）当PD?2AB且E为PB的中点时，

PM求AE与平面PDB所成的角的大小.

5.（2009江西卷）如图，在四棱锥P?AB

1 4（（2011巢湖一检）已知直线1l y kx =+：，椭圆E ：22

21(0)9x y m m

+=>．（Ⅰ）若不论k 取何值，直线l 与椭圆E 恒有公共点，试求出m 的取值范围及椭圆离心率e 关于m 的函数式；

（Ⅱ）当k =时，直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，若2AM MB =uuu r uuu r ,求椭圆E 方程．

解：(Ⅰ)∵直线l 恒过定点M(0，1)，且直线l 与椭圆E 恒有公共点，∴点M(0，1)在椭圆E 上或

其内部，得()22

201109m m

+≤>，解得13m m ≥≠，且.(联立方程组，用判别式法也可)当13m ≤<时，椭圆的焦点在x

轴上，e =；当3m >时，椭圆的焦点在y

轴上，e =.

∴

)()133.m e m ≤<=??>??

， (Ⅱ)

由222

119y x y m ?=+????+=??，消去y

得222(10)9(1)0m x m +++-=. 设11()A x y ，，22()B x y ，

，则12x x +=，21229(1)10

m x x m -=+②. ∵M(0，1)，∴由2AM MB = 得122x x =- ③. 由①③得

2x =④. 将③④代入②得，

2

229(1)210m

关于空间向量与立体几何

1 空间向量与立体几何

一、平行与垂直问题

（一） 平行

线线平行 线面平行 面面平行 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括直线在平面内，面面平行包括面面重合。

（二） 垂直

线线垂直 线面垂直 面面垂直 注意：画出图形理解结论

二、夹角与距离问题

（一） 夹角

（二）距离

点、直线、平面之间的距离有7种。点到平面的距离是重点.

1．已知四棱锥P A B C D -的底面为直角梯形，//A B D C ，

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ∥m ?a ∥b a k b ?=

；

l ∥α?a

u ⊥ 0a u ??=

；

α∥β?u ∥v .u k v ?=

设直线,l m 的方向向量分别为

,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ⊥α?a ∥u a k u ?= ；

l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=

；

α⊥β?u ⊥v .0=??v u

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则

①两直线l ,m 所成的角为θ(02π

θ≤≤),cos a b

a b

θ?=

；

②直线l 与平面α

立体几何

立体几何专题：空间角

第一节：异面直线所成的角

一、基础知识

1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a //a，b //b，相交直线a b 所成的

锐角（或直角）叫做 。 2.范围： 0,

2

3.方法： 平移法、问量法、三线角公式

（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一

个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法：

可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式cos cos a,b

求出来

方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出

代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量

(x1,y1,z1) (x2,y2,z2) co s

x1x2 y1y2 z1z2

x1 y1 z1

2

2

2

x2 y2 z2

222

（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于

斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：cos 1cos 2 cos 二、例题讲练

C

例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，P为AC上一点，PQ⊥AB于Q，AM⊥AB交BP的延长线于M，MN⊥AC于N，AQ=MN． （1）求证：AP=AM； （2）求证：PC=AN．

考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 菁优网版权所有专题： 证明题． 分析： （1）要点是确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AP=AM； （2）利用（1）中的全等三角形的性质得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN． 解答： 证明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC， ∴∠BAM=∠ANM=90°， ∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°， ∴∠PAQ=∠AMN， ∵PQ⊥AB MN⊥AC， ∴∠PQA=∠ANM=90°， ∴在△PQA与△ANM中，， ∴△PQA≌△ANM（ASA） ∴AP=AM； （2）由（1）知，△PQA≌△ANM， ∴AN=PQ AM=AP， ∴∠AMB=∠APM ∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90° ∴∠ABM=∠PBC ∵PQ⊥AB，PC⊥BC ∴PQ=PC（角平分线的性质）， ∴PC=AN． 点评： 本题

空间解析几何教学大纲

课程名称：空间解析几何 课程编码：1102020006

英文名称：Analytic Geometry 学 时：40 学 分：2.5 适用专业：信息与计算科学 课程类别：必修 课程性质：学科基础课

教 材：解析几何 （吕林根 高等教育出版社） 一、课程性质与任务

解析几何是几何学的一个分支，是通过坐标法，运用代数工具研究几何问题的一门学科。它把数学的两个基本对象──“形”与“数”有机地联系起来，使得几何、代数和分析构成一个有机的整体，从而为数学的其它分支与几何学的互相渗透、互相促进奠定了基础，对高等数学的发展起了巨大的推动作用。解析几何是一门应用十分广泛的学科，它不仅在数学中，而且在物理、化学、工程技术以及经济等其它科学技术领域中都有广泛的应用。本课程的任务是介绍解析几何的基本方法和基本知识，培养学生运用解析几何的方法解决几何问题的能力，空间想象的能力，以及在实际问题中运用解析几何的方法和知识的能力，并为以后学习高等代数，数学分析和其它相关课程作准备。 二、课程教学的基本要求

本课程的教学目的是培养学生的空间想象能力以及解