相关变化率问题

人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》第1节 变化率与导数

1.1.1 变化率问题

冯敏（监利一中） 教学目标 知识目标

1.了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的智慧和精神。

2.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

3.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。 4.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。 能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；

2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。 情感目标： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 教学重点

1.平均变化率的概念的归纳得出；

2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；

3.感受数学模型在刻画客观

人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》第1节 变化率与导数

1.1.1 变化率问题

冯敏（监利一中） 教学目标 知识目标

1.了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的智慧和精神。

2.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

3.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。 4.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。 能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；

2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。 情感目标： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 教学重点

1.平均变化率的概念的归纳得出；

2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；

3.感受数学模型在刻画客观

高等院校非数学类本科数学课程

大 学 数 学 (一 )—— 一元微积分学第二十讲 一元微积分的应用

—— 相关变化率、曲率、经济应用

一、 相关变化率 .在实际问题中，往往是同时出现几个变量. 变量

之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的函数( 例如，都是时间 t 的函数. ) 从它们对这另一个 变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个 变量的变化率求出其他变量的未知的变化率，就是所 谓的相关变化率问题.

例1 解

加热一金属圆板 , 其半径以 0.01 cm/秒的速度均匀增加 . 问当半径为 200 cm 时, 圆板面积的增加率为多 少?

设圆板的半径为 x , 面积为 y, 则

(1) dx 显然, x, y 都是 t 的函数, 且 0.01 cm/ 秒 . dt dy 现要求 x 200 cm 时, ? dt 将 (1) 式两边关于 t 求导, 得 dy dx 2 x , dt dt 故在 x 200 时, 圆板面积的增加率为 dy 2 200 0.01 4 (cm/ 秒). dt

y x2.

例2

向一个上顶的直径为 8 米, 深为8 米的圆锥形容器内匀速注水. 若注水的速度为 4

相关变化率及微分的应用一、相关变化率 二、微分的应用

一、相关变化率x x ( t ) , y y( t ) 为两可导函数dx d y , x , y 之间有联系 之间也有联系 dt dt

称为 相关变化率 相关变化率解法三步骤(1) 找出相关变量的关系式 F ( x , y ) 0 对t 求导 (2) 相关变化率dx dt 和 dy dt

之间的关系式

(3) 代入指定时刻的变量值及已知变化率, 求出未知的相关变化率

例

一气球从离开观察员

500 m 处离地面铅直

上升 , v 140 米 / 分 . 当 h 500 m 时 , 观察员 视线的仰角增加率是多 少 ?500 米

解

设气球上升

t 秒后 , 其高度为 h ( t ),

观察员视线 的仰角为 ( t ), 则 h (1) tan F ( , h) 0 500

1

(2) 两边对 t 求导得 sec 2

d dt

dh

500 米

(3)

500 dt dh 140米 / 分, 当 h 500 m 时 , tan 1 , sec 2 2dt

d dt

1

1

140 0 . 14 ( 弧度 / 分 )

2 500

仰角增加率

练习

相关变化率及微分的应用一、相关变化率 二、微分的应用

一、相关变化率x x ( t ) , y y( t ) 为两可导函数dx d y , x , y 之间有联系 之间也有联系 dt dt

称为 相关变化率 相关变化率解法三步骤(1) 找出相关变量的关系式 F ( x , y ) 0 对t 求导 (2) 相关变化率dx dt 和 dy dt

之间的关系式

(3) 代入指定时刻的变量值及已知变化率, 求出未知的相关变化率

例

一气球从离开观察员

500 m 处离地面铅直

上升 , v 140 米 / 分 . 当 h 500 m 时 , 观察员 视线的仰角增加率是多 少 ?500 米

解

设气球上升

t 秒后 , 其高度为 h ( t ),

观察员视线 的仰角为 ( t ), 则 h (1) tan F ( , h) 0 500

1

(2) 两边对 t 求导得 sec 2

d dt

dh

500 米

(3)

500 dt dh 140米 / 分, 当 h 500 m 时 , tan 1 , sec 2 2dt

d dt

1

1

140 0 . 14 ( 弧度 / 分 )

2 500

仰角增加率

练习

变化率问题与导数的概念

变化率问题 与导数的概念

变化率问题与导数的概念

问题1.气球平均膨胀率.吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数 学的角度解释这一现象吗?解:可知:V(r)= πr3 即：r(V)=3

3V 4

当空气容量V从0增加1L时，半径增加了 r(1)-r(0)= 0.62

r (1) r (0) 气球平均膨胀率： 0.62 1 0

变化率问题与导数的概念

问题1.气球平均膨胀率.当空气容量V从1加2L时，半径增加了 r(2)-r(1)= 0.16

r (2) r (1) 气球平均膨胀率： 0.16 2 1可以看出，随着气球体积变大，它的平均 膨胀率变小.

思考：当空气容量从V1增加到V2 时,气 球的平均膨胀率是多少呢?

变化率问题与导数的概念

问题2.平均速度.物体自由落体的运动方程是: 1 S(t)= gt2,2

求1s到2s时的平均速度.

3 解： S2-S1= g=14.7 2t2-t1= 1

S (2) S (1) V = 14.7 2 1

变化率问题与导数的概念

问题2.平均速度.思考：求t1s到t2s时的平均速度. V =

S (t2 ) S (t1 ) t2 t1

宁夏育才中学

马晓英

0

关于《变化率问题》的说课稿

关于《变化率问题》的说课稿

宁夏育才中学 马晓英

教材：普通高中数学课程标准实验教科书（人教A版）选修2-2 P2-P4 课题：1.1.1变化率问题 课时： 1课时

下面,我将分别从教材分析和教学过程设计两方面对本课进行说明。

一、教材分析 1、教材及学情分析

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有着极其丰富的实际背景和广泛的应用。

本节课的学习内容是“变化率问题”，是普通高中数学课程标准实验教科书（人教A版）选修2-2第一章《导数及其应用》第一课时，内容较平淡、单薄，教学中很难“出新、出奇、出彩”，但本节课的作用举足轻重，是学习导数，进入微积分的“敲门砖”。如何在教学中构建生动的情境，让学生在探索中求知、在思考中求智、在品味中求美，使课堂充满灵动、精彩，是对教师的悟性和能力的考验。

高中二年级的学生正值身心快速发展的时期，他们思维活跃，乐于探索，敢于探究，但逻辑思维能力尚属经验型。关于“变化率问题”，学生有着一定的感知基础，比如吹气球的生活经

中南大学,高等数学,微积分,课件

中南大学,高等数学,微积分,课件

一、隐函数的导数定义:由方程所确定的函数 y y( x )称为隐函数 .y f ( x ) 形式称为显函数F ( x, y) 0 y f (x)

.

隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

中南大学,高等数学,微积分,课件

例1 求由方程y 的导数

xy e ex

y

0 所确定的隐函数

dy dx

,

dy dxx 0

.

解

方程两边对

x 求导 ,x

y x

dy dx

ee

e yy

y

dy dx

0

解得 dy dx

dy dx

x

x eex

,

由原方程知

x 0, y 0,

x 0

yy x 0 y 0

x e

1.

中南大学,高等数学,微积分,课件

例2 设曲线 C 的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过 C 上3 3 点 ( , )的切线方程 2 2 线通过原点 .x 求导 ,3 x 3 y y 3 y 3 xy 2 2

, 并证明曲线

C 在该点的法

解

方程两边对

y

3 3 ( , ) 2 2

y x2

2

y x

(

3 3 , ) 2 2

1.

所求切线方程为 y 法线

石油渗流力学论文（设计）

题目： 渗透率变化的影响因素

姓 名： 孟汉青 学号： 20091000266 院（系）： 资源学院 专业： 石油工程 指导教师： 潘林 职称： 教授 评 阅 人： 职称：

2012 年 1 月

油气层渗透率变化的影响因素

孟汉青

（中国地质大学资源学院 022091班 20091000266）

摘要：渗透率是岩石本身固有的性质，用来表征多孔介质使流体通过的能力。在油气开发过程中，油气层的渗透率还会随着介质的变形而发生改变。在这里，我们将影响油气层渗透率变化的因素概括为自身特性和外部条件。其中，自身特性在该油气层形成时期就已经确定，包括沉积作用、成岩作用、构造作用；而外部条件则包括上覆岩层压力、水平应力和孔隙流体压力。通过对这些因素的研究，使我们对油气层的性质有了进一步的了解。为更好的进行油气开发提供理论上的依据。

关键词：渗透率；影响因素；油气层；外部条件；压力

在这里我们强调，岩石的沉积作用、成岩作用和构造作用所决定的是储集层的固有渗透率，它表

导数 的概念

教学要求：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导

数的概念并会运用概念求导数。

教学重点：导数的概念并会运用概念求导数，导数的几何意义的运用。 教学难点：导数的几何意义的理解 教学过程：

一、复习准备：

1、 提问：利用导数的定义求导步骤？（学生回答）

2、 提问：f (x0)表示函数在x0的瞬时变化率，导数f (x0)的几何意义是什么？ 二、讲授新课： 1. 教学：

1、当点pn(xn,yn)(n 1,2,3,4 )沿着曲线向点P接近时，割线ppn的变化趋势是什么？ 割线ppn的斜率与切线PT的斜线K有什么关系？

得：k f (x0) lim

f(x x) f(x0)

x

x 0

此时，割线ppn的斜率kPP

n

y x

无限趋近于

切线PT的斜率k，也就是说，当 x趋向于0时，割线的ppn斜率kPP

n

y x

的极限为k.

小结：函数y f(x)在点x0的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点p(x0,y0)处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点p(x0,y0)处的切线斜率是f (x0)，切线的方程为

y y0 f (x0)(x x0)

二、例题分析

例1：.求函数y x2 1在－1,0，1处导数。

分析：先求导，然