量子力学中的力学量用什么算符表示

第三章

力学量用算符表达

3.1

算符的运算规则

(一)算符定义 (二)算符的一般特性

(一)算符定义代表对波函数进行某种运算或变换的符号 由于算符只是一种运算符号，所以它 单独存在是没有意义的，仅当它作用 于波函数上，对波函数做相应的运算 才有意义，例如： 1)du / dx = v , d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。

Ôu=v 表示 Ô 把函数 u 变成 v, Ô 就是这种变 换的算符。

2)x u = v, x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。

(二)算符的一般特性(1)线性算符 (2)算符相等 (3)算符之和 (4)算符之积 (5)对易关系 (6)对易括号 (7)逆算符 (8)算符函数 (9)复共轭算符 (10)转置算符 (11)厄密共轭算符 (12)厄密算符

(1)线性算符

满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符动量算符 单位算符 是线性算符。 p i I

Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2 其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。 例如：

开方算符、取复共轭就不是线

第三章例题剖析

L21 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?，L为角动量，求与此对应

2I的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。 （1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动

???i?[解]：（1）Lz? ??22????(?)?E?(?)，or ?能量的本征方程： H?(?)?E?(?) 22I??2IE2引入 ??2

?由波函数的单值性 ?(2???)??(?)

n2?2?En?，??Aein?

2I1其中 A?

2??2L?（2） H?，在球极坐标系中 2I??(?,?)?E?(?,?) 体系的能量算符本征方程：H其中??2IE，以上方程在0????的区域内存在有限解的条件是?必须取l(l?1)，2?(l?0,1,2,?)，即 ??l(l?1) l?0,1,2,?

于是方程的形式又可写成 此方程是球面方程，其解为

2IE，可解得体系的的能量本征值 ?132 氢原子处于 ??r,?,????321?r,?,????211?r,?,??

44由??l(l?1)及??状态，求：

（1）归一化波函数

（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值

.

精品 第三章 算符和力学量算符

3.1 算符概述

设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：

?Fu

v = （3.1-1） ?F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。例如，11du v dx

=，22xu v =

3v =

，(,)x t ?∞

-∞，(,)x i p x h x e dx C p t -=，则d dx ，x

dx ∞

-∞?，x i p x h e -?都是算符。

1．算符的一般运算

（1）算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu

Gu =，则??G F =。 （2）算符的相加：对于任意函数u ，若???Fu

Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。

（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu

Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG

GF =，则称?F 与?G 对易。 2．几种特殊算符

（1）单位算符

对于任意涵数u ，若?I

u=u ，则称?I 为单位算符。?I 与1是等价的。 （2）线性算符

对于任意函数u 与v ，若

量子力学的变分法-量子力学的变分法

　　当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。　　
量子力学的变分法-量子力学的变分法
解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法
对于束缚定态
它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性
通过求能量的极值得到能量本征值方程的解
在处理具体问题时
总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分
这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解
这种方法称为变分法

　　若体系的哈密顿量算符为彑
其能量本征值方程为

(1)
该体系的能量平均值
(2)
是波函数φ的泛函
式中表示对体系全部坐标积分
可以证明
求彑的本征值方程
等价于求解
(3)
也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数
唕的极值为所对应的本征值
即
(4)
　　这样
如果能猜测到一个φ正好满足式(1)
则由式(2)所得的唕【φ】等于E
如果猜测的φ与ψ 略有不同
则唕【φ】必定大于E
因而唕【φ】总是给出唕的一个上限
当做了多次猜测之后
其中最小的唕一定是这些猜测中最好的
这样就把最小的唕取作E的近似值
应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法
改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q
α1
α2
α3
...)来实现

曾谨言量子力学题库

一简述题：

1. （1）试述Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问

题上的差别

2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr的量子理论

5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理

8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件

10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为?(r,?,?)，写出粒子在球壳(r,r?dr)中被测到的几率以及在

(?,?)方向的立体角元d??sin?d?d?中找到粒子的几率。

11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）?(x)??(x)是否定态？为什么？ 13.（2）设??1ikre，试写成其几率密度和几率流密度 r14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应

16.（3）说明一维方势阱体系中束缚

曾谨言量子力学题库

一简述题：

1. （1）试述Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问

题上的差别

2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr的量子理论

5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理

8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件

10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为?(r,?,?)，写出粒子在球壳(r,r?dr)中被测到的几率以及在

(?,?)方向的立体角元d??sin?d?d?中找到粒子的几率。

11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）?(x)??(x)是否定态？为什么？ 13.（2）设??1ikre，试写成其几率密度和几率流密度 r14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应

16.（3）说明一维方势阱体系中束缚

《量子力学》题库

一、简答题

1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为： E?h????

??h?p?n??k

?其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒

子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。

2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？

答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。

3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。

答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。

4 设描写粒子状态的函数?可以写成??c1?1?c2?2，其中c1和c2为复数，?1和?2为粒子的分别属于能量E1和E2的构成完备系的能量本征态。试说明式子??c1?1?c2?

一、 填空题

1．玻尔的量子化条件为 。 2．德布罗意关系为 。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．

为归一化波函数，粒子在

方向、立体角

内出现的几率

为 ，在半径为 ，厚度为 为 。

的球壳内粒子出现的几率

6．波函数的标准条件为 。 7．

，

为单位矩阵，则算符

的本征值为__________。

8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。

9．力学量算符应满足的两个性质是 。 10．厄密算符的本征函数具有

一、简述题：

1. （1）试述Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问

题上的差别

2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr的量子理论

5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理

8. （2）在给定的状态中测量某一力学量可得一测值概率分布。问在此状态中能否测得其它力学量的

概率分布？试举例说明。

9. （2）在给定状态下测量某一力学量，能测量到什么程度？ 10.（2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件

11.（2）假设一体系的基态波函数在全空间上都大于零，试解释是否存在某一激发态，该激发态在全

空间范围内也都大于零。

12.（2）已知粒子波函数在球坐标中为?(r,?,?)，写出粒子在球壳(r,r?dr)中被测到的几率以及在

(?,?)方向的立体角元d??sin?d?d?中找到粒子的几率。

13.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 14.（2）?(x)??(

河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象

第四章 态和力学量的表象

§4-1 状态的表象

一、表象

?具有断续谱，它满足的本征方程为 设力学量算符F?u(x)?fu(x) Fnnn?算符F具有一组正交归一完备的本征函数系?un(x)?。如果把?un(x)?作为一组基矢（或称为基底），则它们张开一个空间。由展开假设可知，对任意一个状态?(x,t)，则有

?(x,t)??cn(t)un(x)

n显然，?(x,t)就是该空间中的一个矢量，所以也称为态矢。因此，这个空间就称为态矢空间，也叫做希尔伯特空间。每一个物理上允许的波函数都是态矢空间中的一个元素，量子力学的所有活动都在这个空间内进行。

?的本征函数系?u(x)?作为基矢组，上面讨论的空间是以F所以称为F表象下的态矢空n间。?(x,t)的展开系数

*cn(t)??un(x)?(x,t)dx

???表示态矢?(x,t)在un(x)上的投影。

若波函数?(x,t)和un(x)都已经归一化，则

????***?*(x,t)?(x,t)dx??cmcn?umundx??cmcn?mn??cnmn??mnn?2?1