初中奥数因式分解

初中奥数讲义

因式分解的应用 在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．

因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．

因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．

例题求解

【例1】若x2 xy y 14y2 xy x 28，则x y的值为 ．

(全国初中数学联赛题)

思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于x y的二次三项式．

注：

在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用．

代数式求值的常用方法是：

(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；

(3)整体代入求值．

【例2】已知 a、b、c是一个三角形的三边，则a4 b4 c4 2a2

初二奥数辅导 因式分解(二)

1．双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了O次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

它表示的是下面三个关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3； (2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3． 这就是所谓的双十字相乘法．

初中数学竞赛专题培训 第一讲：因式分解(一)

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法 ＝(a-b)+2c(a-b)+c =(a-b+c)．

本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)

(4)原式=(a-ab)+(ab-b) 7

52

25

7

2

2

2

22

22

和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2

-b2

=(a+b)(a-b)； (2)a2

±2ab+b2

=(a±b)2

； (3)a3

+b3

=(a+b)(a2

-ab+b2

)； (4)a3

-b3

=(a-b)(a2

高一数学学案 序号 001 学生

第1课 因式分解

一、基本知识点回顾

1、把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。 例：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ A、xy2(x?1)?x2y2?xy2

）

B、x2?9?(x?3)(x?3)

D、ax?bx?c?x(a?b)?c

C、x2?1?y2?(x?1)(x?1)?y2

2、我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

例：①5x2?x2y的公因式为 ；②9x3y2?12x2y2?6xy3的公因式为

3、分解因式的平方差公式： 分解因式的完全平方公式： 注意：

1、 因式分解的方法：提取公因式法；公式法

2、 提取公因式法因式分解的思路：一看系数（数字）找它们的最大公约数，二看字母找它们相同

因式分解的概念及因式分解方法（一）

教学目的：

使学生能够掌握因式分解的概念以及初步学会因式分解。

教学重点：

1. 应用定义区别因式分解与多项式相乘 2. 提公因式法的正确掌握与灵活应用

教学难点：

能够正确找出公因式

教学过程： 计算

（1）5a(b?3c)?________________

1???s?t??2? （2）?________________

（3）(5m?3n)(5m?3n)?_____________ （4）(x?3)(x?5)?___________________ 答案：（1）5ab?15ac

21s2?st?t24 （2）

（3）25m?9n （4）x?2x?15

1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分

解，也叫做把这个多项式分解因式。 注意：

（1）因式分解的对象是“一个多项式”，掌握这一要点对判断、把握一种变形是否是因式分解提供一定的帮助。

（2）因式分解是一种恒等的变形

（3）因式分解的结果是“整式的积”的形式。

例1. 判断下列各

初中数学

因 式 分 解

一、因式分解的意义：

因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式

例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）

A．(x?1)(x?1)?x2?1 B．(a?b)(m?n)?(b?a)(n?m)

2C．ab?a?b?1?(a?1)(b?1) D．m?2m?3?m(m?2?3) m说明 对因式分解理解应注意：①分解因式与因式分解是同义词；②结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式.

例02．在下面多项式中，能通过因式分解变形为?(3x?1)(x?2y)的是（ ）

A．3x2?6xy?x?2y B．3x2?6xy?x?2y C．x?2y?3x2?6xy D．x?2y?3x2?6xy

二、因式分解的方法 类型一、提公因式法

例01．在下面因式分解中，正确的是（ ）

A．x2y?5xy?y?y(x2?5x)

B．a(a?b?c)?b(c?a?b)?c(b?a?c)??(a?b?c)2 C．x(2?a)?x(a?2)?x(2?a)(x?1) D．2ab?4ab?ab?2ab(b?2b?1)

说明 A式左边是3项，而右边展开后是两项；D式左边无公因式2，

初中因式分解的常用方法

一、提公因式法.

如多项式am?bm?cm?m(a?b?c),

其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用

a2?b2?(a?b)(a?b), a2?2ab?b2?(a?b)2,

a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)写出结果． 三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：am?an?bm?bn

例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx

练习：分解因式1、a2?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：x2?y2?ax?ay

第 1 页 共 8 页

1

例4、分解因式：a2?2ab?b2?c2

练习：分解因式3、x2?x?9y2?3y 4、x2?y2?z2?2yz

综合练习：（1）x3?x2y?xy2?y3 （2）ax2?bx2?bx?ax?a?b

（3）x2?6xy?9y2?16a

因式分解技巧

因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．

※ 多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法等其他方法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

一、 提公因法

①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.

②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项

目录

正文

第一篇：因式分解教案

乘法公式与因式分解的运用 知识回顾

平方差公式 ：(a?b)(a?b)?a2?b2

(a?b)2?a2?2ab?b2

2 完全平方公式 ：

其他常用公式 ：(a?b)?a?2ab?b22

a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)

(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc

第二篇：因式分解教案

因式分解——提取公因式法

【教学目标】

1、 理解因式分解的意义，知道因式分解和整式乘法的互逆关系

2、 理解多项式“公因式”和“最大公因式”的概念，并会确定多项式的最大公因式

3、 初步掌握如何用提取公因式法来分解因式

【教学重点、难点】

1、 正确找出多项式各项的最大公因式

2、 正确找出多项式提取公因式后剩下的因式

3、 知道因式分解和整式乘法互为逆运算

【教学过程】

一、复习旧知、引入新知

1、 计算下列各式：2、你能把下列各式写成两式积的形式吗？ a(b+c)=_____________ab+ac=_

1．1多项式的因式分解

【学习目标】 课标要求

理解因式分解的概念，体会类比思想在数学学习中的应用。 目标达成

1、能理解因式分解的概念。

2、了解因式分解在解决其他数学问题中的桥梁作用。 3、在学习过程中培养学生的观察能力和探究能力。 【自主学习】 一、学习新知

21、6可以怎样分解？什么是因数？x?4等于x?2乘以哪个多项式?什么叫因式?

2、什么叫多项式的因式分解？说一说因式分解的概念应注意哪些方面?

3、因式分解与整式乘法有什么关系？

4、什么叫质数（素数）？什么叫公约数、最大公约数？怎样寻找几个整数的最大公约数？

二、我的疑问

【合作探究】

1、下列分解质因数，不正确的是（ ）

A、12?2?2?3 B、30?2?3?5 C、100?4?25 D、28?2?2?7 2、指出8与12的最大公因数（ ）

A、 12 B、8 C、2 D、4

3、下列等式从左边到右边的变形中，是因式分解的有（ ）

22（1）4abc?4a?b?c （2）(a?b)(a?b)?a?b

33

（3