超静定结构的计算由平衡和变形条件共同确定

§1.3 超静定结构的计算

超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，仅根据静力平衡条件不能求出其全部支座反力和内力，还须考虑变形协调条件。

计算超静定结构的基本方法是力法和位移法。这两种基本方法的解题思路，都是设法将未知的超静定结构计算问题转换成已知的结构计算问题。转换的桥梁就是基本体系，转换的条件就是基本方程，转换后要解决的关键问题就是求解基本未知量。

1.3.1 力法

力法是以多余未知力为基本未知量、一般用静定结构作为基本结构，以变形协调条件建立基本方程来求解超静定结构内力的计算方法。

（（一）超静定次数的确定一）超静定次数的确定

超静定结构多余约束（或多余未知力）的数目称为超静定次数，用

n表示。

确定超静定次数的方法是：取消多余约束法，即去掉超静定结构中的多余约束，使原结构变成静定结构，所去掉的多余约束的数目即为原结构的超静定次数。

在结构上去掉多余约束的方法，通常有如下几种：

● 切断一根链杆，或者移去一个支座链杆，相当于去掉一个约束； ● 将一个固定支座改成固定铰支座，或将受弯杆件某处改成铰接，相当于去掉一个抗转动约束；

● 去掉一个联结两刚片的铰，或者撤去一个固定铰支座，相当于去掉两个约束；

● 将一梁式杆切断，或者撤去一个固定支

第六章

超静定结构的解法—位移法

第六章 §6-1 基本概念 §6-2 位移法举例 §6-3 计算无侧移结构的弯矩分配法

§6-4 计算有侧移结构的反弯点法

问题：如何求解超静定结构？ l cosa i i 杆长为li,Ai=A , Ei=EB 1 D 3 C 2

a a

FNi li li EA EA cosa i FNi li

Δ

A FP

Fy 0

FNi cosa i FP

物理 平衡

几何条件

第一种基本思路位移法思路(平衡方程法)以某些位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知内力-位移(转角-位 移)关系的单根杆件集合 分析各单根杆件在外因和结点位移共同作用 下的受力 将杆件拼装成整体 用平衡条件建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨杆件内力和外因 及结点位移关系可得原结构受力

位移法——以某些位移为基本未知量，先拆分成已知 ，再拼装建立位移法方程，求出位移后再计算内力。Z1

FP

哪些位移为基本未知量？2 1Z1

1 Z1

EI=常数 3l 2 l 2

Z1

Z1

FP 2

1 3

如何确定基本未知量？

假定：不考虑轴向变形

位移法——以某些位移为基本未知量，先拆分成已知 ，再拼

力学相关

第三章 静定结构的受力分析

一、 静定结构的特征

本章讨论各类静定结构的内力计算。何谓静定结构，①从结构的几何构造分析知，．．．．静定结构为没有多余联系的几何不变体系；②从受力分析看，在任意的荷载作用下，静定结构的全部反力和内力都可以由静力平衡条件确定，且解答是唯一的确定值。因此静定结构的约束反力和内力皆与所使用的材料、截面的形状和尺寸无关；③支座移动、温度变化、制造误差等因素只能使静定结构产生刚体的位移，不会引起反力及内力。

二、 静定结构的计算方法

在材料力学中，杆件横截面的内力用截面法求解，即用假想的截面截取分离体，暴露出所求截面的内力，然后列出分离体的平衡方程，计算支座的反力和内力，绘制结构的内力图。对静定结构受力分析的基本方法就是截面法。本章将对实际工程中应用较广泛的单跨和多跨静定梁、静定平面刚架、三铰拱、静定平面桁架、静定组合结构等常见的静定结构（图3-1）进行了内力分析，并完成内力图的绘制。

(

a)单跨静定梁(b)多跨静定梁

(

c)

静定刚定

(

f)静定组合结构

图3-1 常见静定结构

第一节 单跨和多跨静定梁

力学相关

一、 单跨静定梁

单跨静定梁在工程中应用很广，是组成各种结构的基本构件这一，其受力分析是各种结构受力分析的基础。在材料力学中

第三讲 超静定结构受力分析及特性 【内容提要】

超静定次数确定，力法、位移法基本体系，力法方程及其意义，等截面直杆刚度方程，位移法基本未知量确定，位移法基本方程及其意义，等截面直杆的转动刚度，力矩分配系数与传递系数，单结点的力矩分配，对称性利用，半结构法，超静定结构位移计算，超静定结构特性。 【重点、难点】

力法及力法方程，位移法及基本方程；力矩分配系数与传递系数，单结点的力矩分配，超静定结构位移计算。

一、超静定次数

把超静定结构变为静定结构所需要解除的约束数称为超静定次数(或多余约束数)。 1．撤去一个活动铰支座(即一根支杆)，或切断一根链杆各相当于解除一个约束。 2．撤去一个固定铰支座(即两根支杆)，或拆开一个单铰结点，各相当于解除两个约束。 3．撤去一个固定支座，或切断一根受弯杆件各相当于解除三个约束。

4．将固定支座改为固定铰支座，或将受弯杆件切断改成铰接各相当于解除一个(承受弯矩的)约束。

5．边框周边安置一个单铰则其内部减少一个弯矩约束。

6．一个外形封闭和周边无铰的闭合框或刚架其内部具有三个多余约束，是三次超静定的。k个周边无铰的闭合框的超静定次数等于3k。 二、力法 (一)基本结构

力法是解算超静定结构最古老的方法之一

《结构力学》习题集 （上册）

第二章 静定结构内力计算

一、判断题：

1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。 2、静定结构受外界因素影响均产生内力，内力大小与杆件截面尺寸无关。 3、静定结构的几何特征是几何不变且无多余约束。 4、图(a)所示结构|MC|?0。

PCaPaDaaB2aAC?(a)

2aaa (b)

5、图(b)所示结构支座A转动?角，MAB = 0， RC = 0。

6、荷载作用在静定多跨梁的附属部分时，基本部分一般内力不为零。

7、图(c)所示静定结构，在竖向荷载作用下，AB是基本部分，BC是附属部分。

ABC

(c)

8、图(d)所示结构B支座反力等于P/2?。

AlPBl?? (d)

9、图(e)所示结构中，当改变B点链杆的方向（不通过A铰）时，对该梁的影响是轴力有变化。

Ｂ Ａ (e)

10、在相同跨度及竖向荷载下，拱脚等高的三铰拱，水平推力随矢高减小而减小。

—— 5 ——

《结构力学》习题集 （上册）

11、图(f)所示桁架有9根零杆。

PPABP13C2P (f)

结构力学,知识课件

7.5

用力法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力对于静定结构，在支座移动、温度变化等非荷载因素作用下，可 发生自由变形，但并不引起内力；而对于超静定结构，由于存在 多余约束，在非荷载因素作用下，一般会产生内力，这种内力称 为自内力。

用力法计算自内力时，其基本原理和分析步骤与荷载 作用时相同，只是具体计算时，有以下三个特点： 第一，力法方程中的自由项不同。 这里的自由项，不再是荷载引起的DiP,而是由支座移 动或温度变化等因素引起基本结构多余未知力方向上 的位移Dic或Dit等。

结构力学,知识课件

第二，对支座移动问题，力法方程右端项不一定为零。 当取有移动的支座约束力为基本未知力时，Di≠0,而是 Di=Ci 第三，计算最后内力的叠加公式不完全相同。 由于基本结构(是静定结构)上支座移动、温度变化时 均不引起内力，因此内力全是由多余未知力引起的。最 后弯矩叠加公式为M M i xi

结构力学,知识课件

一、支座移动时的内力计算计算支座移动引起n次超静定结构的内力时，力法程中 第 i个方程的一般形式可写为

j 1

n

ij

X j Δic C i

ij为柔度系数Ci,表示原结构在Xi方向的实际位移

Dic,表示基本

结构力学,知识课件

7.5

用力法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力对于静定结构，在支座移动、温度变化等非荷载因素作用下，可 发生自由变形，但并不引起内力；而对于超静定结构，由于存在 多余约束，在非荷载因素作用下，一般会产生内力，这种内力称 为自内力。

用力法计算自内力时，其基本原理和分析步骤与荷载 作用时相同，只是具体计算时，有以下三个特点： 第一，力法方程中的自由项不同。 这里的自由项，不再是荷载引起的DiP,而是由支座移 动或温度变化等因素引起基本结构多余未知力方向上 的位移Dic或Dit等。

结构力学,知识课件

第二，对支座移动问题，力法方程右端项不一定为零。 当取有移动的支座约束力为基本未知力时，Di≠0,而是 Di=Ci 第三，计算最后内力的叠加公式不完全相同。 由于基本结构(是静定结构)上支座移动、温度变化时 均不引起内力，因此内力全是由多余未知力引起的。最 后弯矩叠加公式为M M i xi

结构力学,知识课件

一、支座移动时的内力计算计算支座移动引起n次超静定结构的内力时，力法程中 第 i个方程的一般形式可写为

j 1

n

ij

X j Δic C i

ij为柔度系数Ci,表示原结构在Xi方向的实际位移

Dic,表示基本

//[父试题分类]:试题分类/计划内试题体系/工程系/土木工程教研室/结构力学（一）/第3章 静定结构的受力分析

[试题分类]:

1.试求三铰刚架结构的弯矩图。

试题编号:E118192

答案:

题型:作图题

2. 试快速做出外伸梁的弯矩图。

试题编号:E118666

答案:

题型:作图题

3.用快速法做出复杂刚架的弯矩图。 试题编号:E118682 答案:

题型:作图题

4.图示结构，若将均布荷载q用其合力ql代替（如虚线所示），则所产生的反力（ ）

A.都发生变化 B.都不发生变化

C.水平反力发生变化，竖向反力不变 D.竖向反力发生变化，水平反力不变 试题编号:E112967 答案:C

题型:单选题

5.由于静定结构内力仅由平衡条件决定,故在支座移动作用下静定结构将（ ） A.产生内力 B.不产生内力 C.产生内力和位移 D.不产生内力和位移 试题编号:E112987 答案:B

题型:单选题

6.图示联合桁架，求杆a的轴力________。试题编号:E113082 答案:0.5P 题型:填空题

7.图2所示桁架中零杆(不含零支座杆)的根数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

试题编号:E113020 答案:

第4章 静定结构的位移计算习题解答

习题4.1 是非判断题

(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。（ ）

(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。（ ） (5) 对于静定结构，有变形就一定有内力。（ ） (6) 对于静定结构，有位移就一定有变形。（ ）

(7) 习题4.1(7)图所示体系中各杆EA相同，则两图中C点的水平位移相等。（ ） (8) MP图，M图如习题4.1(8)图所示，EI=常数。下列图乘结果是正确的：

12ql2l(??l)? EI384 （ ）

(9) MP图、M图如习题4.1(9)图所示，下列图乘结果是正确的：

11(A1y01?A2y02)?A3y03 EI1EI2 （ ）

(10) 习题4.1(10)图所示结构的两个平衡状态中，有一个为温度变化，此时功的互等

定理不成立。（ ）

FPCCFPll(a)

第4章 静定结构的位移计算习题解答

习题4.1 是非判断题

(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。（ ）

(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。（ ） (5) 对于静定结构，有变形就一定有内力。（ ） (6) 对于静定结构，有位移就一定有变形。（ ）

(7) 习题4.1(7)图所示体系中各杆EA相同，则两图中C点的水平位移相等。（ ） (8) MP图，M图如习题4.1(8)图所示，EI=常数。下列图乘结果是正确的：

12ql2l(??l)? EI384 （ ）

(9) MP图、M图如习题4.1(9)图所示，下列图乘结果是正确的：

11(A1y01?A2y02)?A3y03 EI1EI2 （ ）

(10) 习题4.1(10)图所示结构的两个平衡状态中，有一个为温度变化，此时功的互等

定理不成立。（ ）

FPCCFPll(a)