210131012特征值

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抱米花

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苏教版选修4-2完美教案学案,知识点全面,题型丰富,贴近考纲

2.5 特征值与特征向量

1．特征值与特征向量的定义

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．

2．特征多项式的定义

a

设A＝

c

λ－a －b 2

是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝ ＝λ－(a＋d)λd －c λ－d

b

＋ad－bc称为A的特征多项式．

3．特征值与特征向量的计算 设λ是二阶矩阵A＝

a

c

d

b

的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为：

λ－a －b 2

第一步：令矩阵A的特征多项式f(λ)＝ ＝λ－(a＋d)λ＋ad－bc＝0，求出λ

－c λ－d

的值．

第二步：将λ的值代入二元一次方程组

x0 x0 λ－a x－by＝0， 得到一组非零解 ，于是非零向量 即为矩阵A的属于特征

y0 y0 －cx＋ λ－d y＝0，

值λ的一个特征向量．

4．Anα(n∈N*)的简单表示 (1)设二阶矩阵A＝ λnα(n∈N*)．

(2)设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，α，β是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2

a

c

，α是矩阵A的属于

>> x=[1,1/2,4,3,3;2,1,7,5,5;1/4,1/7,1,1/2,1/3;1/3,1/5,2,1,1;1/3,1/5,3,1,1] x =

1.0000 0.5000 4.0000 3.0000 3.0000 2.0000 1.0000 7.0000 5.0000 5.0000 0.2500 0.1429 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2000 2.0000 1.0000 1.0000 0.3333 0.2000 3.0000 1.0000 1.0000

>> [V D]=eig(x) V =

-0.4658 0.4419 + 0.2711i 0.4419 - 0.2711i -0.3672 + 0.2415i -0.3672 - 0.2415i

-0.8409 0.7773 0.7773 0.8575

第 五 章 相 似 矩 阵

第五章 相似矩阵§5.1 方阵的特征值与特征向量 §5.2 矩阵相似对角化 * §5.3 Jordan标准形介绍

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 §5.1 方阵的特征值与特征向量 五 章 一、问题的引入 相 似 矩 阵二、基本概念 三、特征值与特征向量的求解方法 四、特征值的性质

五、特征向量的性质

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 一、问题的引入 五 矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用， 章如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域

相 似 矩 阵

中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭

代法求解等问题都会用到该理论。

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 一、问题的引入 五 引例 种群增长模型 (工业增长模型) 章 设 x 代表某种群 C 的数量， (某国的工业增长水平) 相 似 矩 阵y 代表某种群 D 的数量， (该国的环境污染程度)

初态为 ( x0 , y0 )T , x1 x0 2 y0 , y1 2 x0 y0 ,

一年后的状态为： x0 x1 1 2 x0

第15章 求矩阵特征值和特征向量

幂 法

幂法规范化算法

1. 输入矩阵A、初始向量u，误差eps 2. k?1

3. 计算V(k) ?Au(k-1)

4. mk ?max(V), mk-1 ?max(V) 5. uk ? V(k)/mk

(1)

6. 如果| mk - mk-1|

注：如上算法中的符号max(V)表示取向量V中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。

(k)

(k-1)

(0)

规范化幂法程序

Clear[a,u,x];

a=Input[\系数矩阵A=\；

u=Input[\初始迭代向量u(0)=\； n= Length[u];

eps= Input[\误差精度eps =\；

nmax=Input[“迭代允许最大次数nmax=”]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2},

Do[m1=Abs[x[[k]]];

If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[

第 五 章 相 似 矩 阵

第五章 相似矩阵§5.1 方阵的特征值与特征向量 §5.2 矩阵相似对角化 * §5.3 Jordan标准形介绍

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 §5.1 方阵的特征值与特征向量 五 章 一、问题的引入 相 似 矩 阵二、基本概念 三、特征值与特征向量的求解方法 四、特征值的性质

五、特征向量的性质

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 一、问题的引入 五 矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用， 章如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域

相 似 矩 阵

中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭

代法求解等问题都会用到该理论。

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 一、问题的引入 五 引例 种群增长模型 (工业增长模型) 章 设 x 代表某种群 C 的数量， (某国的工业增长水平) 相 似 矩 阵y 代表某种群 D 的数量， (该国的环境污染程度)

初态为 ( x0 , y0 )T , x1 x0 2 y0 , y1 2 x0 y0 ,

一年后的状态为： x0 x1 1 2 x0

第二十一讲 广义特征值与极小极大原理

一、 广义特征值问题

1、定义：设A、B为n阶方阵，若存在数?，使得方程Ax??Bx存在非零解，则称?为A相对于B的广义特征值，x为A相对于B的属于广义特征值?的特征向量。

● 是标准特征值问题的推广，当B＝I（单位矩阵）时，广义特征值问题退化为标准特征值问题。 ● 特征向量是非零的 ● 广义特征值的求解

?A??B?x?0 或者 ??B?A?x? 0

? 特征方程 det?A??B??0

求得?后代回原方程Ax??Bx可求出x

本课程进一步考虑A、B厄米且为正定矩阵的情况。 2、等价表述

（1） B正定，B?1存在 ?B?1Ax??x，广义特征值问题化为了标准

特征值问题，但一般来说，B?1A一般不再是厄米矩阵。 （2） B厄米，存在Cholesky分解，B?GGH，G满秩 Ax??GGHx 令GHx?y 则 GAG?1??H?1y??y 也成为标准特征值问题。

GAG?1??H?1为厄米矩阵，广义特征值是实数，可以按大小顺序

排列?1??2????n，一定存在一组正交归一的特征向量，即存在

y1,y2?,yn满足

1

GA

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方阵的秩与特征值的关系

作者：秦川李小飞

来源：《课程教育研究·学法教法研究》2015年第27期

【摘要】对于n阶方阵而言，秩和特征值都是其重要特征，本文将建立它们之间的联系。通过矩阵的秩，得到矩阵的特征值的相关信息;反过来，通过矩阵的特征值的情况，得到矩阵的秩的取值范围。

【关键词】n阶方阵 ;特征值 ;秩 ;实对称矩阵

【Abstract】For the n？鄄order matrix， rank and characteristic values are the important features， This paper will establish the connection between them. The related information about characteristic value of the matrix is obtained by matrix rank.In turn， By characteristic value of matrix， we can get the value range of the matrix rank.

【Key wo

振动 特征值

机械振动中的特征值问题

机械振动是指系统在某一位置（通常是静平衡位置，简称平衡位置）附近所作的往复运动。显然这是一种特殊形式的机械运动。人类的大多数活动都包括这样或那样的机械振动。例如，我们能听见周围的声音是由于鼓膜的振动；我们能看见周围的物体是由于光波振动的结果；人的呼吸与肺的振动紧密相关；行走时人的腿和手臂也都在作机械振动；我们能讲话正是喉咙（和舌头）作机械振动的结果。

早期机械振动研究起源于摆钟与音乐。至20世纪上半叶，线性振动理论基本建立起来。欧拉（Euler）于1728年建立并求解了单摆在阻尼介质中运动的微分方程。1739年他研究了无阻尼简谐强迫振动，从理论上解释共振现象。1747年他对n个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出了微分方程组并求出精确解，从而发现系统的振动是各阶简谐振动的叠加。1760年拉格朗日（Lagrange）建立了离散系统振动的一般理论。最早研究的连续系统是弦线。1746年达朗伯（d’Alembert）用片微分方程描述弦线振动而得到波动方程并求出行波解。1753年伯努利（Bernoulli）用无穷多个模态叠加的方法得到弦线振动的驻波解。1759年拉格朗日从驻波解推得性波解，但严格的数学证明直到1811年傅

实验14 矩阵的特征值与特征向量，相似变换，二次型

实验目的

1．理解方阵的特征值与特征向量的含义 2．掌握求特征值与特征向量的方法 3．理解矩阵相似对角化的含义 4．掌握特征值与特征向量的应用

实验准备

1．特征值与特征向量的定义及其计算方法 2．方阵相似的充分必要条件 3．方阵的幂的计算

实验内容

1．特征值与特征向量的计算 2．方阵相似的充分必要条件 3．实对称矩阵的相似对角化

软件命令

表14-1 Matlab特征值与特征向量命令

函数名称 syms sym eig eig rand tr det plot

调用格式 syms 变量名1，变量名2,… sym('x',…) [V,D]=eig(A) [V,D]=eig(A,B) rand(n) tr(A) det(A) plot(x1,y1,'options',x2,y2,'options',…) 说 明 定义符号变量 定义符号变量 返回方阵的特征值与特征向量 返回广义特征值/特征向量 产生0—1内随机数 矩阵的迹 计算方阵的行列式 绘制散点图 实验示例

【例14.1】特征值与特征向量的定义及几何演示

设?是方阵A的特征值，?是对应于特征值?的特征向量，则A????。几何上可理