二次函数特殊三角形存在性问题

二次函数函数的存在性问题（相似三角形）

1、（09贵州安顺）如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； （3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

0)，C(0，?3)， 2、（09青海）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，直线y??3x与BC边相交于D点． 42（1）求点D的坐标； （2）若抛物线y?ax?9x经过点A，试确定此抛物线的表达式； 4（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形

y 与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．

1

O ?3 C A 6 D B y??3x4x 3、（09广西钦州）如图，已知抛物线y＝

过点C的直线y＝且0＜t＜1．

32

x＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0）43x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t， 4t（1）填空：点C的坐标是_ _，b＝

二次函数的存在性问题（相似三角形）

1、已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

y y

A A x x B B O O

图① 图②

2、设抛物线y?ax?bx?2与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．

2 1

(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线y?x?1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________．

解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,．

OC222∴OA·OB=OC；∴OB=??4 ∴m=4．

OA12

y

6 4 2

二次函数与三角形的存在性问题

一、预备知识

1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（x1，y），Q（x2，y） (1)线段对称轴是直线

x?x1?x22

(2)AB两点之间距离公式：PQ?(x1?x2)2?(y1?y2)2

?x1?x2y1?y2?,??22????Px,y,Qx,y?。 1122，则线段PQ的中点M为?中点公式：已知两点

2、两直线的解析式为y?k1x?b1与 y?k2x?b2

如果这两天两直线互相垂直，则有k1?k2??1

3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究：

三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形

性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。

判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形

二次函数中直角三角形存在性问题

1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么

以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点

2. 方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1

以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者 三条边分别表示之后，利用勾股定理求解

例一：如图，抛物线y?mx?2mx?3m?m?0?与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.

2（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标； （2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.

1

例二、如图，抛物线y=-x+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大； （3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△

- -

- 总结 因动点产生的相似三角形问题

例1 2015年市宝山区嘉定区中考模拟第24题

如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k ≠0）与直线y ＝x ＋2都经过点A (2, m )．

（1）求k 与m 的值；

（2）此双曲线又经过点B (n , 2)，过点B 的直线BC 与直线y ＝x ＋2平行交y 轴于点C ，联结AB 、AC ，求△ABC 的面积；

（3）在（2）的条件下，设直线y ＝x ＋2与y 轴交于点D ，在射线CB 上有一点E ，如果以点A 、C 、E 所组成的三角形与△ACD 相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E 在射线CB 上运动，可以体验到，△ACE 与△ACD 相似，存在两种情况．

思路点拨

1．直线AD //BC ，与坐标轴的夹角为45°．

2．求△ABC 的面积，一般用割补法．

3．讨论△ACE 与△ACD 相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．

满分解答

（1）将点A (2, m )代入y ＝x ＋2，得m ＝4．所以点A 的坐

相似三角形的存在性问题 288y??y??y??例1.如图，双曲线 和 在第二象限中的图像，A点在 的xxx图像上，点 2y??A的横坐标为m（m＜0），AC∥y轴交 x图像于点AB,DC均平行于x轴，分别交 82、的图像于点B、D. y ??y??xx （1）用m表示A、B、C、D的坐标. （2）若⊿ABC与⊿ACD相似，求m的值. 分析：△ABC与△ACD保持直角三角形的性质不变 第一步 寻找分类标准 分两种情况： ABCAABCD ? ? ① ② ACCDACCA 第二步 无须画图——罗列线段的长 82 y??xxC?xA?m,yC?yD??????xD?4mm?BA???C?D28m y??xyB?yA?????x??Bm4 8??m8??A?m,??,B?,??,m??4m??2??2??C?m,??,D?4m,??m??m??3m46mAB??AC??CD??3m注：数形结合，当心负号 ① C

综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题

例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为y x2 x） ．．．

⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

1

4

．．．．．．．

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特．．殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

推导边的大小。

相似来列方程求解。

例题2：如图，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）过点C作x轴的平行线交抛

三角形（二）——特殊三角形

【等腰三角形】

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形。 2．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

3．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（常称为“三线合一”）。 4．如果一个三角形有两个内角相等，则它是等腰三角形。

姓 名： 【典型例题】

例1.已知?ABC中，那么?ABC一定是（ ） ?B与?C的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上， （A）直角三角形 （B）等边三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形

第12届（2001年）初二培训

例2.如图2，在?ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，它们相交于F点，是图中等腰三角形的个数是（ ）

第14届（2003年）初二培训

图2

例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）。

图1

（A）30° （B）30°或150° （C）120°或150° （D）30°或120°或150°

第10届（1999年）初二第

二次函数

抛物线与三角形问题

--------面积类 面积类

二次函数

已知抛物线y=- 例 1: 已知抛物线 - x2+2x+3与 x轴交 与 轴交 两点， 点位于B点的左侧 于A,B两点，其中 点位于 点的左侧， 两点 其中A点位于 点的左侧， 轴交于C点 顶点为P, 与y轴交于 点，顶点为 ， 轴交于 (1,4) x 3 P 2 S△ AOC=______________4

9 S△ BOC=_______ 2

(0,3) C3 2

1

(-1,0)

A O2

B(3,0)y

二次函数

S△ COP S△ PAB

3 2 =_______

y

(1,4)4

P

8 =_______

(0,3) C3 2

1

(-1,0)A O2

B

(3,0)x

二次函数

y

S△ PCB=_______

3

D E E (0,3) C4 3 2

(1,4)P

S△ ACP=_______(-1,0) F FA

1

1

B O2

(3,0)

二次函数

y

(1,4) H为直线BC上方在 抛物线上的动点， 求△BCH面积的最 △ 面积的最 大值4

P

(0,3) C3 2

H (x,-x2+2x+3)

1

(x,-x+3) M2

(-1,0)A O

B

(3,0)x

S△BCH=S△MHC+S△MHB

二次函数

练习1:如图所示，已知抛物线y=a

35.如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，－3)，且在x轴上截得的线段AB的长为6． （1）求二次函数的解析式；

（2）点P在y轴上，且使得△PAC的周长最小，求：

①点P的坐标； ②△PAC的周长和面积；

（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）设二次函数的解析式为y＝a(x －4)2－3(a≠0)，且A(x1，0)，B(x2，0)． ∵y＝a(x －4)2－3＝ax 2－8ax＋16a－3 ∴x1＋x2＝8，x1x2＝16－

3． a33)＝36，∴a＝． a9∴AB 2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝82－4(16－

∴二次函数的解析式为y＝

3(x －4)2－3． ······················································· 2分 9（2）①如图1，作点A关于y轴的对称点A′，连结A′C交y轴于点P，连结PA，则点P为所求． 令y＝0，得

3(x －4)2－3＝0，解得x1＝1，x2＝7． 9∴A(1，0)，B(7，0)．∴OA＝1，∴OA′＝