高等数学向量与空间解析几何

第五章 向量代数与空间解析几何 5.1.1 向量的概念

____

____例1 在平行四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b。试用a和b表示向量MA、MB、

?____?____?____?____?MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点（图5－8）

解 由于平行四边形的对角线互相平行，所

____?以 a＋b＝AC＝2AM

____?____?即 －（a＋b）＝2MA

____?于是 MA＝?____

?1（a＋b）。 2?____因为MC＝－MA，所以MC?________?

____?1（a＋b）. 2____

____ 图5－8

________???11又因－a＋b＝BD＝2MD，所以MD＝（b－a）.由于MB＝－MD，MB＝（a－b）.

22??? 例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常

向量）v。设n为垂直于S的单位向量（图5－11（a）），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为?）.

（a） （b） 图5－11

解 该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角?，所以这柱体的高为| v |cos?

第五章 向量代数与空间解析几何 5.1.1 向量的概念

____

____例1 在平行四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b。试用a和b表示向量MA、MB、

?____?____?____?____?MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点（图5－8）

解 由于平行四边形的对角线互相平行，所

____?以 a＋b＝AC＝2AM

____?____?即 －（a＋b）＝2MA

____?于是 MA＝?____

?1（a＋b）。 2?____因为MC＝－MA，所以MC?________?

____?1（a＋b）. 2____

____ 图5－8

________???11又因－a＋b＝BD＝2MD，所以MD＝（b－a）.由于MB＝－MD，MB＝（a－b）.

22??? 例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常

向量）v。设n为垂直于S的单位向量（图5－11（a）），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为?）.

（a） （b） 图5－11

解 该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角?，所以这柱体的高为| v |cos?

向量代数与空间解析几何

第一部分 向量代数___线性运算

[内容要点]:

1. 向量的概念. 2. 向量的线性运算.

3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.

[本部分习题]

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限. A(2,?3,?5);B(0,4,3);C(0,?3,0) 2. 求点(1,?3,?2)关于点(?1,2,1)的对称点坐标. 3. 求点M(?4,3,?5)到各坐标轴的距离.

4. 一向量的起点为A(1,4,?2),终点为B(?1,5,0),求AB在x轴、y轴、z轴上的投影,并

求|AB|。

5. 已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2),计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角.

6． 已知a?{3,5,4},b?{?6,1,2},c?{0,?3,?4},求2a?3b?4c及其单位向量.

7．设a?3i?5j?8k,b?2i?4j?7k,c?5i?j?4k,求向量l?4a?3b?c在x轴上的投影以及在y轴上的分向量.

???????????????????????????第二部分 向量代数___向量的“积”

[内容要点]:

1.向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运

2015级机自7班高等数学AⅢ 自测题 班级： 姓名： 学号：

第八章 向量代数与空间解析几何

自测题 A卷

一、 填空题：（第1题5分，其余每题3分，共17分） 1.已知三点A(?2,1,?1),B(1,?3,4),C(?3,?1,1),则(1)向量AB的方向余弦为____________________,单位向量为____________________.(2)向量AB在AC上的投影为_______________,AB与AC的夹角为______________.(3)以三点为顶点的三角形的面积为__________________.

(4)过C且垂直于AB的平面方程为________________________.(5)过C且平行于AB的直线方程为________________________.2.设a??{1,1,?4},b??{2,(1)(a?b?)?(a?b?0,?2},??)?_________________.

(2)(a??b?)?(a??b?)?_________________.x2y2

第七章 空间解析几何与向量代数习题

(一)选择题

1. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量AB 的模是：（ A ） A ）5 B） 3 C） 6 D）9 2. 设a={1,-1,3}, b={2,-1,2}，求c=3a-2b是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B） {-1,-1,5}. C） {1,-1,5}. D）{-1,-1,6}. 3. 设a={1,-1,3}, b={2,-1,2}，求用标准基i, j, k表示向量c;(???) A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）-2i-j+5k 4. 求两平面x?2y?z?3?0和2x?y?z?5?0的夹角是：（ C ） A ） B） C） D）?

?2?4?35. 一质点在力F=3i+4j+5k的作用下，从点A（1,2,0）移动到点B(3, 2,-1)，求力F所作的功是：（ ??? ）

A ）5焦耳 B）10焦耳 C）3焦耳

第八章向量代数与空间解析几何

自测题 A卷

一、填空题：（第 1 题 5 分，其余每题3分，共 17 分）

1. 已知三点 A ( 2,1, 1), B (1, 3, 4), C (3,1,1), 则

(1) 向量 AB的方向余弦为 __________, 单位向量为 ____________________.

(2)向量AB 在 AC 上的投影为 _______________, AB 与 AC的夹角为 ______________ .

(3)以三点为顶点的三角形的面积为 __________________.

(4)过 C 且垂直于 AB 的平面方程为 ________________________.

(5)过 C 且平行于 AB 的直线方程为 ________________________.

2.设 a{1,1,4},b{2,0, 2},

(1) (a b)(a b)_________________.

(2) (a b )(a b)_________________.

3.曲面x2y 2z2

1 的名称是 __________ __________ _____ . 12516

4.曲线y x21

绕 y 轴旋转一周得到的旋转曲面方程是 ___

第4章 向量代数与空间解析几何

4.1 空间直角坐标系

4.1.1 坐标系

在空间中任意取定点O，从O引出三条相互垂直的数轴，它们都以点O为坐标原点，且一般具有相同的长度单位。这三条数轴分别称为x轴（横轴），y轴（纵轴），z轴（竖轴），统称为坐标轴，点O称为坐标原点。

我们常用的是右手系，即用右手握着z轴，当右手四指从x轴正向转向y轴正向时大拇指的指向就是

z轴的正向。

z O yx

图4.1

在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，z轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,z)之间的一一对应关系。有序数组(x,y,z)称为点M的坐标；x,y,z分

z III 别称为x坐标，y坐标，z坐标. II

VII VI V 图4.2

IV I o y x VIII 76

这八个卦限中坐标的对应符号为：

卦限 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ － ＋ ＋ Ⅲ － － ＋ Ⅳ ＋ － ＋ Ⅴ ＋ ＋ － Ⅵ － ＋ － Ⅶ －

高等数学教案 第八章 空间解析几乎与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数

教学目的：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点：

1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程；

4、平面与平面、平面与直线、

第七章 空间解析几何与向量代数

§7.1向量及其线性运算

7.1-1 向量概念

称只有大小的量为数量或标量，而称既有大小、又有方向的量为向量或矢量；称向量的

大小为向量的模．向量一般用一个小写的黑体字母来表示，如a , b 或 a r

，向量a 的模通常表

示为|a |或a r

．模等于1的向量称为单位向量，记作e ；模等于零的向量称为零向量，记作o 或，零向量的方向可以是任意的．向量的相等, 即a =b 意味着|a |=|b |且它们的方向相同，

即平移向量a ,b 到同一个始点后，a ,b 是重合的；a =0r

?b 意味着|a |=|b |且它们的方向相反，称?b 为b 的相反向量．

在几何上若以A ,B 分别表示一个向量a 的起点和终点，则a 也可以表示为有向线段，此时的长即表示向量a 的大小，即|a |=|AB uuu r

AB uuu r AB uuu r

|=AB .

空间向量是一个量，与其在空间的位置无关，因此像平面向量可以在平面上自由移动一样，空间向量也可以在空间中自由平移．

7.1-2 向量的线性运算

1.向量加减运算定义及性质规定两个向量的加法法则：

将两个向量a 和b 的起点移放在一起，并以a 和b 为邻边作 平行四边形，则从起点到对角顶

空间解析几何与向量代数

第一节 向量及其线性运算

一 、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

第二节 数量积 向量积 混合积

一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积

第三节 曲面及其方程

一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面

第四节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第五节 平面及其方程

一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 第六节 空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例

《空间解析几何与向量代数》- 1 -

一、

第一节 向量及其线性运算

向量概念

在研究力学、物理学以及其他应用科学时? 常会遇到这样一类量? 它们既有大小? 又有方向? 例如力、力矩、位移、速度、加速度等? 这一类量叫做向量（或矢量）?

在数学上? 用一条有