2014年高考数学压轴题

20．（本小题满分13分） 解：

3a?x?a?1-,当x??2a,或x?a时，是单调递增的。??x?2ax?2aa?0,f(x)??

?x?a3a??-1?,当?2a?x?a时，是单调递减的。?x?2a?x?2a（Ⅰ）由上知，当a?4时，f(x)在x?[0,4]上单调递减，其最大值为f(0)?-1?3a?1

2a2 当a?4时，f(x)在[0,a]上单调递减，在[a,4]上单调递增。令f(4)?1-3a1?f(0)?,解得：a?(1,4],即当a?(1,4]时，g(a)的最大值为f(0); 4?2a2当a?(0,1]时，g(a)的最大值为f(4)

3a?1-,当a?(0,1]时??4?2a 综上，g(a)???1,当a?(1,??)时??2（II）由前知,y=f（x）的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两点P(x1,y1),Q(x2,y2)满足题目要求,则P,Q分别在两个图像上,且f'(x1)?f'(x2)??1.

?3a?(x?2a)2,当x??2a,或x?a时? ??3af'(x)??,当?2a?x?a时2(x?2a)??0?a?4??不妨设

3a?3a???1,x1?(0,a),x2?(a,8]?3a?(x1?2a

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2010年高考数学压轴题系列二

1. (本小题满分12分)

已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ? a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n)

2. (本小题满分12分)

已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v?[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .

(1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=?3. (本小题满分14分)

已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (1) 求证：| ac | ? 4;

(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.

4．（本小题满分15分）

设定义在R上的函数f(x)?a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a

备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列一

1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

（Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由.

解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2?2px?p?0?，将M?1,2?代入方程得p?2

? 抛物线方程为: y2?4x………………………………………………（1分）

由题意知椭圆、双曲线的焦点为F??1,0?1,F2?1,0?, ? c=1…………………（2分） 对于椭圆，2a?MF1?MF2??1?1?2?22??1?1?2?4?2?22 ? a?1?2? a?1?22??2?3?22………………………………（4分）

? b2?a2?c2?2?22? 椭圆方程为： x23?22?y22?22?1对于双曲线，2a??MF1?MF2?22?2

? a??2?1? a?2?3?22? b?2?c?2?a?2?22?2? 双曲线方程为： x23?22?y222?

备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列一

1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

（Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由.

解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2?2px?p?0?，将M?1,2?代入方程得p?2

? 抛物线方程为: y2?4x………………………………………………（1分）

由题意知椭圆、双曲线的焦点为F??1,0?1,F2?1,0?, ? c=1…………………（2分） 对于椭圆，2a?MF1?MF2??1?1?2?22??1?1?2?4?2?22 ? a?1?2? a?1?22??2?3?22………………………………（4分）

? b2?a2?c2?2?22? 椭圆方程为： x23?22?y22?22?1对于双曲线，2a??MF1?MF2?22?2

? a??2?1? a?2?3?22? b?2?c?2?a?2?22?2? 双曲线方程为： x23?22?y222?

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1. (本小题满分12分)

已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ? a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) 解: (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,

∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x的减函数,

∴ 当n ? a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n ? n n – ( n + a)n. 2分

又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] ,

∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n + 1 )[ nn – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分

( n + 1

1.已知数列{an}满足a1?1，a2?1，且[3?(?1)n]an?2?2an?2[(?1)n?1]， 2（n=1,2,3,?）.（1）求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式； （2）令bn?a2n?1?a2n，记数列{bn}的前n项的和为Tn，求证：Tn<3.

11,a5?5,a6? 48*当n为奇数时，不妨设n=2m1，m?N，则a2m?1?a2m?1?2， {a2m?1}为等差数列，

解：（1）分别令n=1，2，3，4可求得a3?3,a4?a2m?1=1+2(m1)=2m1, 即an?n。

当n为偶数时，设n=2m，m?N，则2a2m?2?a2m?0， {a2m}为等比数列，

*1n11m?11a2m??()?m，故an?()2，

2222?n(n?2m?1m?N*)1?综上所述，an??1n （2）bn?a2n?1?a2n?(2n?1)?n

*2?()2（n?2mm?N)?21111Tn?1??3?2?5?3???(2n?1)?n

222211111Tn?1?2?3?3???(2n?3)?n?(2n?1)?n?1 22222111111两式相减：Tn??2(2?3??

2012高考数学压轴题2(原创集) 原创作者：末日

已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：f??x?=g??f?x???，其中?为非零常数.若数列{Ln}满足：L1=f(a) , Ln+1=g(Ln). (1).证明：Ln=f??n-1a?(2).若数列{Xn}满足：X1=tan?，Xn+1Xn2-Xn+1+2Xn=0,求数列{Xn}通项公式.

5(3).若数列{an} , {bn}满足：an+1=3an-4an3, ，bn+1=4bn3-3bn，a12+b12=1,证明：an2+bn2=1

解答(1).证明：i：由题意，当n=1时，L1= f(a)=f(?1-1a) ii：假设当n=k时（k≥1），L=fk 由题意：∵f??x?=g??f?x???

Lk?1?g?L?kk-1=?g?f?????aa?成立，则当n=k+1时 ??1-k??f??a?=?k-1+1-1∴ L?=fk?an=f??n-1a? 成立

（2）. 方法1：证明：∵ Xn+1Xn2-Xn+1+2Xn=0∴xn+1=2xn2xf（x）?tan x , g（x）? 设函数 21

导数应用题

1. 某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数，且2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件．

(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；

(2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．

40解：(1)设日销售量为，则＝10，∴k＝10 e.则日销售量为，

.∴y＝，其中35≤x≤41. ∴日利润y＝(x－30－t)·

(2)y′＝，令y′＝0得x＝31＋t.

①当2≤t≤4时，33≤31＋t≤35.∴当35≤x≤41时，y′≤0.

5∴当x＝35时，y取最大值，最大值为10(5－t)e.

35<t＋31≤36 ，t＋31]上单调递增，②当4<t≤5时，函数y在[35，在[t＋31,41]上单调递减．

9t∴当x＝t＋31时，y取最大值10e－.

∴当2≤t≤4时，x＝35时，日利润最大值为10(5－t)e5元．

9t当4<t≤5时，x＝31＋t时，日利润最大值为10e－元．

2. 如图，ABCD是正方形空

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2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一

1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

（Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由.

解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2?2px?p?0?，将M?1,2?代入方程得p?2

? 抛物线方程为: y2?4x………………………………………………（1分）

由题意知椭圆、双曲线的焦点为F??1,0?1,F2?1,0?, ? c=1…………………（2分） 对于椭圆，2a?MF1?MF2??1?1?2?22??1?1?2?4?2?22 ? a?1?2? a?1?22??2?3?22………………………………（4分）

? b2?a2?c2?2?22? 椭圆方程为： x23?22?y22?22?1对于双曲线，2a??MF1?MF2?22?2

2010年备考最新6套数学压轴题之一

1.（本小题满分12分）

已知a?R，函数f(x)?ax?lnx?1，g(x)??lnx?1?e?xx（其中e为自然对数的底数）．

（1）判断函数f(x)在区间?0,e?上的单调性；

（2）是否存在实数x0??0,e?，使曲线y?g(x)在点x?x0处的切线与y轴垂直? 若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由． 解（1）：∵f(x)?ax?lnx?1，∴f?(x)??ax2?1x?x?ax2．

令f?(x)?0，得x?a．

①若a?0，则f?(x)?0，f?x?在区间?0,e?上单调递增.

②若0?a?e，当x??0,a?时，f?(x)?0，函数f?x?在区间?0,a?上单调递减， 当x??a,e?时，f?(x)?0，函数f?x?在区间?a,e?上单调递增， ③若a?e，则f?(x)?0，函数f?x?在区间?0,e?上单调递减. ……6分 （2）解：

∵g(x)??lnx?1?e?x，x??0,e?，

xg?(x)??lnx?1??e??lnx?1??exx???1?e?1?xx??lnx?1?e?1???lnx?1?e?1x?x?

x由（1）可知，当a?1时，f(x)?1x?lnx?1．

1x此