同济版高等数学第五章课后答案

习题5—1(A)

1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：

（1）如果函数)(x f 仅在区间],[b a 上有界，它在],[b a 上未必可积，要使其可积，它在

],[b a 上必须连续；

（2）如果积分?b

a x x f d )(（

b a <）存在，那么n

a b i n a b a f x x f n i n b a --+=∑?=∞→)(lim d )(1； （3）性质5也常称为积分不等式，利用它（包括推论）结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；

（4）定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”)(ξf 还是被积函数在积分区间上的平均值.

答：（1）前者正确．如狄利克雷函数???∈∈=c Q

x Q x x D ，，，01)(在区间][b a ，（其中a b >）上有界，但是它在区间][b a ，上不可积，事实上：将][b a ，任意分成n 个小区间][1i i x x ，-

)21(n i ，，， =，

（其中b x a x n ==，0）记第i 个小区间长度为i x ?，先在][1i i x x ，-上取i ξ为有理数，则a b x x D n i i n i i i -=?=?∑∑=→=

高等数学课件第五章同济六版

第五章

第节二 微积的基本公式分一、引例 二积分、限的上函数其导及 数、牛三顿 莱–尼兹公式布

YNAGHOZUUNI VRESIY机T 动目 录页上 下页返 结束

回

高等数学课件第五章同济六版

一引例在变、速线运动中,直 已知置函位数与 度函数速

间有关系:之s( t ) v(t )物体在时间隔间 经内过的程路

为

TT2

1v( t )dt s T(2 ) (Ts1)

种积这与原分函数关的在系一条件下定有具普性 .遍YNAGZOU UNHIERSVIYT动机 录 目页上 下页 回 结束返

高等数学课件第五章同济六版

二、积上限分函的数及其数定理导1. 若 积分则上限函数x y (f)x ( x) f t( d)t y a (x)

证: x ,x h a[ , ]b, 则 o a有 x b x x x( h ) x( ) 1 x h ft )(d t f (t ) d t x h a hh a 积 分值定理 中x h1 (tf) d t f ( ) ( x x h) h x

x)

习题9?1

1? 设有一平面薄板(不计其厚度)? 占有xOy面上的闭区域D? 薄板上分布有密度为? ??(x, y)的电荷? 且?(x, y)在D上连续? 试用二重积分表达该板上全部电荷Q?

解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度?(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分?

Q????(x,y)d??

D 2? 设I1???(x2?y2)3d?? 其中D1?{(x? y)|???x?1? ?2?y?2??

D1 又I2???(x2?y2)3d?? 其中D2?{(x? y)|0?x?1? 0?y?2}?

D2试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系?

解 I1表示由曲面z?(x2?y2)3与平面x??1? y??2以及z?0围成的立体V的体积? I2表示由曲面z?(x2?y2)3与平面x?0? x?1? y?0? y?2以及z?0围成的立体V1的体积?

显然立体V关于yOz面、xOz面对称? 因此V 1是V位于第一卦限中的部分? 故 V?4V1? 即I1?4I2? 3? 利用二重积分的定义证明?

习题6?2?

1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为

311. A??(x?x)dx?[2x2?1x2]1?00326 (2)

解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 A??0(e?ex)dx?(ex?ex)|10?1?

解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1? e]? 所求的面积为

e?dy?e?(e?1)?1? A??1lnydy?ylny|1?1ee1 (3)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 A??[(3?x2)?2x]dx?32?

?331 (4)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为

32? A??(2x?3?x2)dx?(x2?3x?1x3)|3??1?1333 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) y?1x2与x2?y2?8(两部分都要计算)?

2 解?

22

习题6?2?

1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为

311. A??(x?x)dx?[2x2?1x2]1?00326 (2)

解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 A??0(e?ex)dx?(ex?ex)|10?1?

解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1? e]? 所求的面积为

e?dy?e?(e?1)?1? A??1lnydy?ylny|1?1ee1 (3)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 A??[(3?x2)?2x]dx?32?

?331 (4)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为

32? A??(2x?3?x2)dx?(x2?3x?1x3)|3??1?1333 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) y?1x2与x2?y2?8(两部分都要计算)?

2 解?

22

第五章 定积分及其应用

本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题.

第1节 定积分的概念与性质

1.1 定积分问题举例 1.1.1

曲边梯形的面积

曲边梯形? 设函数y?f(x)在区间?a,b?上非负、连续? 由直线x?a,x?b,y?0及曲线y?f(x)所围成的图形称为曲边梯形? 其中曲线弧y?f(x)称为曲边?

求曲边梯形的面积的近似值?

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形?每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积? 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值? 具体方法是? 在区间?a,b?中任意插入若干个分点（图5-1）

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b,

把?a,b?分成n个小区间

?x0,x1?,?x1,x2?, ?x2,x3?,?,?xn?1,xn?,

它们的长度依次为?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1.?

经过每一个分点作平行于y轴的直线段? 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形?在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i, 以?xi?1

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 62

第五章 定 积 分

§5—1 定积分概念

一、填空题

1． f(x)在[a,b]上可积的充分条件是 。

2． limn???k?1nk用定积分表示可表示成 。

??nn3． 由定积分的几何意义知4． 定积分

???sinxdx= ，?sinxdx= 。

???a?aa2?x2dx的几何意义是 。

二．判断题。

1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。 （ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。 （ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。 （ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 62

第五章 定 积 分

§5—1 定积分概念

一、填空题

1． f(x)在[a,b]上可积的充分条件是 。

2． limn???k?1nk用定积分表示可表示成 。

??nn3． 由定积分的几何意义知4． 定积分

???sinxdx= ，?sinxdx= 。

???a?aa2?x2dx的几何意义是 。

二．判断题。

1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。 （ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。 （ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。 （ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b

第五章 不定积分

一、 本章提要

1. 基本概念 原函数，不定积分． 2. 基本公式

不定积分的基本积分公式（13个）；分部积分公式． ３．基本方法

第一换元积分法（凑微分法）；第二换元积分法；分部积分法；简单有理函数的积分方法．

二、 要点解析

问题1 应用第二换元积分法应注意什么问题？

解析 用第二换元积分法计算不定积

?f(x)dx关键是要选择合适的变换函数

x??(t)，使得新的被积函数f(?(t))??(t)具有原函数G(t) ，再从x??(t)中得出 t???1(x)代入G(t)，即得f(x)的原函数．上述条件与结论用定理描述为：

定理（第二换元法）若函数x??(t)在某个区间上满足： （1）??(t)可导且 ??(t)?0；

（2）x??(t)的反函数 t??(x)存在； （3）f(?(t))??(t)有原函数G(t)．则有

?1?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?G(?1 ???t?1 ??(t) ?1(x))?C．

上述定理的证明是显然的，只需证明右端的导数是左边的被积函数即可，事实上，

?(G(??1(x))?C)??G?(t)t?x?G(t)

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

习题12 1

1. 试说出下列各微分方程的阶数: (1)x(y′)2 2yy′+x=0; 解 一阶. (2)x2y′ xy′+y=0; 解 一阶.

(3)xy′′′+2y′+x2y=0; 解 三阶.

(4)(7x 6y)dx+(x+y)dy=0; 解 一阶.

d2QdQQ

(5)L+R+=0;

dtCdt

解 二阶. (6)

dρ

+ρ=sin2θ. dθ

解 一阶.

2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: (1)xy′=2y, y=5x2; 解 y′=10x.

因为xy′=10x2=2(5x2)=2y, 所以y=5x2是所给微分方程的解. (2)y′+y=0, y=3sin x 4cos x; 解 y′=3cos x+4sin x.

因为y′+y=3cos x+4sin x+3sin x 4cos x=7sin x cos x≠0, 所以y=3sin x 4cos x不是所给微分方程的解. (3)y′′ 2y′+y=0, y=x2ex;

解 y′=2xex+x2ex, y′′=2ex+2xex+