等比数列乘以等差数列求和

高中数学第一轮复习学案 数 列

第01讲 数列的概念和简单表示法

广东高考考试大纲说明的具体要求：

① 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）; ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数.

（一）基础知识回顾：

1.数列的概念:按照一定______排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的______.

数列的第一项a1也称为_______项，an是数列的第n项，也叫数列的_______项。

如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式来表示，即an?f(n)，那么这个式子就叫做这个数列的___________.数列的通项公式就是相应函数的解析式。

数列{an}中，Sn?a1?a2???an，叫做数列{an}的_____________.

2.数列的分类：项数有限的数列称为_________数列，项数无限的数列称为_________数列。

递增数列：对于任意的n?1,n?N，都有an?1?an； 递减数列：对于任意的n?1,n?N，都有an?1?an； 常数列：对于任意的n?1,n?N，都有an?1?an。 3.常见数列：分别写出以下几个数列的一个通项公式：

（1）1,2,3,4,5

专题9 等差数列与等比数列

一、高考考点

1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列. 2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求问题.

3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求 4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.

5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程.

6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。

二、知识要点 （一）、等差数列

1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.

认知：｛

－

｝为等差数列

－

※

；求 ；解决关于 或 的

；求 ；解决有关 或 的问题.

=d (n∈N且d为常数)

※

=d (n 2, n∈N且d为常数)

｝为等差数列的主要依据.

此为判断或证明数列｛

2.公式

（1）通项公式： 引申： 认知：｛

)

=

=

+（n－1）d：

+（n－m）d （注意：n=m+(n－m

专题九 等差数列与等比数列 一、高考考点

1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列. 2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求 3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求 4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.

5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程. 6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。 二、知识要点 （一）、等差数列

1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差. 认知：｛

－

｝为等差数列

=d (n

－

※

；求 ；解决关于

或

或 的问题.

；求 ；解决有关 的问题.

=d (n∈N且d为常数)

※

2, n∈N且d为常数)

此为判断或证明数列｛ 2.公式 （1）通项公式： 引申： 认知：｛

=

=

｝为等差数列的主要依据.

+（n－1）d：

+（n－m）d （注意：n=m+(n－m) ） ｝为等差数列

点12 等差数列、等比数列的性质运用

　　　难点12 等差数列、等比数列的性质运用
　　等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.
　　●难点磁场
　　(★★★★★)等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________.
　　●案例探究
　　［例1］已知函数f(x)= (x<－2).
　　(1)求f(x)的反函数f-－1(x);
　　(2)设a1=1, =－f－-1(an)(n∈N*),求an;
　　(3)设Sn=a12+a22+...+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
　　命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目.
　　知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.
　　错

数列教案

1．数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项， ，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作an； 数列的一般形式：a1，a2，a3， ，an， ，简记作 an 。

例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;

(2)2010年各省参加高考的考生人数。

（2）通项公式的定义：如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个

公式就叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，

②：1

数列①的通项公式是an= n（n 7，n N ）， 数列②的通项公式是an= 说明：

① an 表示数列，an表示数列中的第n项，an= f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= ( 1)=

n

1111

2345

1

（n N ）。 n

1,n 2k 1

(k Z)；

1,n 2k

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，

（3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4

专题四 数列

第1课时 等差数列与等比数列

??S1， n＝1，

1．an与Sn的关系：Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝?

?Sn－Sn－1， n≥2.?

2．等差数列和等比数列 定义 通项公式 等差数列 an－an－1＝常数(n≥2) an＝a1＋(n－1)d (1)定义法 (2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n≥1)?{an}为等差数列 等比数列 an＝常数(n≥2) an－1an＝a1qn1(q≠0) －(1)定义法 (2)中项公式法：a2an＋2(n≥1) n＋1＝an·(an≠0)?{an}为等比数列 (3)通项公式法：an＝c·qn(c、q均是不为0(3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为常判定方法 数)?{an}为等差数列 (4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、的常数，n∈N*)?{an}为等比数列 B为常数)?{an}为等差数列 (5){an}为等比数列，an>0?{logaan}为等差数列 (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 性质 (2)an＝am＋(n－m)d (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 na1＋annn－Sn＝＝na1＋d 2

第1讲 等差数列与等比数列

高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.

真 题 感 悟

1.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( )

A.a n ＝2n －5

B.a n ＝3n －10

C.S n ＝2n 2－8n

D.S n ＝12

n 2－2n 2.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f

3.(2019·全国Ⅰ卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1＝13

，a 24＝a 6，则S 5＝________.

高三 好材料!数学

与等差(比)数列有关的基本运算一般是求数列中某一项 或几项的值的问题，通常利用数列的通项公式或数列的前n 项和公式列出方程组，求出a1、d(q)或者根据已知条件进行 简单代换.

高三 好材料!数学

[例1] 设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=4, a4a5a6=212. (1)求首项a1和公比q的值； (2)若Sn=210-1,求n的值.

高三 好材料!数学

[思路点拨] (1)可列出关于a1、q的方程组解之. (2)通过a4a5a6=a可得a5,再由a3即可求得q及a1.

高三 好材料!数学

[自主解答] (1)法一：∵{an}是等比数列， ∴4=a3=a1q2 212=a4a5a6=a 3 q3+4+5=a 3 q12 1 1 由①②可解得q2=4. 又∵{an}为正项等比数列. ∴q=2. ① ②

将q=2代入①或②可得a1=1.

高三 好材料!数学

法二：由题设有a4a5a6=a3=212 a5=24=16(a5>0), 5 a5 2 ∴ =q =4 q=2,代入a3=a1q2=4, a3 解得a1=1. a1 qn-1 n (2)由Sn=210-1,Sn= =2 -1, q-1 得2n-1=210-1 2n=210

第23课时：第三章 数列——等差数列、等比数列的性质及应用

一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用

二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解

决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力． 三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程： （一）主要知识：

有关等差、等比数列的结论

1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍为等差数列． 2．等差数列{an}中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq 3．等比数列{an}中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq

4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,??仍为等比数列． 5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an?bn}仍为等差数列．

?an??1?6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an?bn}、??、??仍为等比数列．

?bn??bn?（二）主要方法：

1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以

等比数列的前n项和（第一课时）

各位老师，下午好！

今天我说课的内容是《等比数列的前n项和》第一课时。 首先，我对本节教材进行分析。 一、 教材分析

等比数列的前n项和是高中必修5第二章第五节内容。它是等差数列和等比数列的延续，与前面学习的函数也有着密切的联系。它是从实际问题中抽离出来的数学模型，在分期付款等实际问题中有广泛地应用。同时，在公式推导过程中蕴含着分类讨论等丰富的数学思想。

二、教学目标

依据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标： 1、

知识与技能目标：理解等比数列前n项求和公式的推导方法，

能够利用公式解决一些简单问题。 2、

过程与方法目标：通过公式推导，提高数学建模意识，体会特

殊到一般的思维方式。 3、

情感与态度价值目标：同过经历对公式地探索，激发学生求知

欲，鼓励学生大胆尝试，并从中获得成功的体验。

三、教学重点与难点

本着课程标准，在吃透教材的基础上，我确立如下教学重点与难点： 重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用。此推导过程中蕴含了分类讨论，递推、转化等重要思想，是解决一般数列求和问题的关键，所以非常重要。为此，我给出了三种方法来推导公式，加深学生理解，突出重点。

难点：等比数