切比雪夫不等式证明过程

切比雪夫不等式证明一、

试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。

分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.

解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB(1000,1/2).因此 500 2 1

1000=×==npEX, 250) 2

答题完毕，祝你开心! 1 1( 2 1

1000)1(= ××= =pnpDX, 而所求的概率为

}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP }100{< =EXXP 975.0 100 1 2 = ≥ DX . 二、

切比雪夫(Chebyshev)不等式

对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,

恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}

越小，P{|X-EX|<ε

篇一：经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式 篇一

mathwang

几个经典不等式的关系

一 几个经典不等式

（1）均值不等式

设a1,a2,？an?0是实数

a?a?？?a12n ？?？

111n?+？?a1a2an

其中ai?0,i?1,2,？n.当且仅当a1?a2?？?an时，等号成立。

n

（2）柯西不等式

设a1,a2,？an,b1,b2,？bn是实数，则

？a

21

22?a2?？?an?？b12?b22?？?bn2?？?a1b1?a2b2?？?anbn?

2

当且仅当bi?0(i?1,2,？，n)或存在实数k，使得ai?kbi(i?1,2,？，n)时，等号成立。

（3）排序不等式

设a1?a2?？?an，b1?b2?？?bn为两个数组，c1，c2，？，cn是b1，b2,？，bn的任一排列，则

a1b1?a2b2?？?anbn?a1c1?a2c2?？?ancn?a1bn?a2bn?1?？?anb1 当且仅当a1?a2?？?an或b1?b2?？?bn时，等号成立。

（4）切比晓夫不等式

对于两个数组：a1?a2?？?an，b1?b2?？?bn，有

a1b1?a2b2?？?anbn?a1?a2?？?an?？b1?b2?？?bn?a1bn?a2bn?

切比雪夫不等式及其应用

王林（2013080201031）

指导教师：吕恕

摘要：切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它是证明切比雪夫大数定律的重要

工具和理论基础。从切比雪夫不等式的证明切入，然后利用切比雪夫不等式证明了切比雪夫大数定律，最后给出了切比雪夫不等式的一些应用，讨论了切比雪夫不等式的概率边界问题。 关键词：切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 实际应用

0.引言

切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它不但用于理论证明，而且用于随机变量取值概率的估计，且其推广形式有许多方面的应用。

1.切比雪夫不等式

设随机变量X存在数学期望E(X)和方差D（X)，则对任意实数?有：P{X-E(X)}??}? 证明：（1）设X为离散型随机变量，其分布列为P(X=Xi）=Pi（i=1,2,3...)则P{|X-E(X)|??}=

D(X)?2

|Xi?E(X)|???Pi?1?2?(Xi?E(X))2Pi?i?1?D(X)

?2（2）设X为连续性随机变量，其概率密度为P（X),由于E(X),D(X)均存在

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

二维切比雪夫不等式

作者：唐建航

来源：《学习导刊》2013年第10期

摘要：本文根据一维切比雪夫不等式推导出二维切比雪夫不等式 关键字：概率论 切比雪夫不等式 二维切比雪夫不等式

概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变量的“几乎所有”值都会“接近”平均.切比雪夫不等式对任何分布形状的数据都适用.本文简述了二维切比雪夫不等式. 定义一 对于两个随机变量和 记

称作随机变量和的协方差，如果，， 则

称作随机变量和的相关系数.

定理一 切比雪夫不等式 设是某一概率空间，，是非负随机变量.那么，对任意， 证明：注意到

其中是集合的示性函数. 于是，根据数学期望的性质 从而切比雪夫不等式得证.

定理二 已知随机变量，.且其数学期望为和.那么存在

证明 我们知道，对于某一概率空间，是某一随机变量，其值域为如果设，则显然可以表示为

其中为概率空间

第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式本次课讲授第三章第4—8节，方差，协方差、 相关系数与大数定理； 下次课讲授第四章第1-4节：正态分布的密度与 期望方差。 下次上课前完成作业9,上课时交作业P37---40

页重点：方差与协方差 难点：方差协方差与独立相关系数之间的关系

第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式概括各类情况的均值公 式 定义：E ( X ) xi P ( xi ) xP ( x ) i 1

若X连续，则令P ( xi X xi x ) P ( xi ) f ( xi ) xi , E ( X ) xi P ( xi ) xi f ( xi ) xi xf ( x )dxi 1 i 1

x

Y g( X )时，E (Y ) E[ g( X )] g( x ) P ( x ) g( x ) f ( x )dx

Z g( X , Y )时，E g( X , Y ) g( xi , y j ) P ( xi , y j )i j

x

g( x , y ) f ( x , y )dxdy

回顾： 1.原点矩 定义1

第四章 微积分中值定理与证明 4.1 微分中值定理与证明

一 基本结论

1．零点定理：若f(x)在[a,b]连续，f(a)f(b)?0，则???(a,b)，使得f(?)?0． 2．最值定理：若f(x)在[a,b]连续，则存在x1,x2使得f(x1)?m,f(x2)?M．其中

m,M分别是f(x)在[a,b]的最小值和最大值．

3．介值定理：设f(x)在[a,b]的最小值和最大值分别是m,M，对于?c?[m,M]， 都存在???[a,b]使得f(?)?c．（或者：对于?c?(m,M)，都存在???(a,b)使得

f(?)?c）

4．费玛定理：如果x0是极值点，且f(x)在x0可导， 则 f?(x0)?0．

5．罗尔定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，f(a)?f(b)，则???(a,b)使得

f?(?)?0．

6．拉格朗日定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，，则???(a,b)使得

f(b)?f(a)?(b?a)f?(?)．

) 7．柯西定理：f(x)，g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g?(x)?0，则???(a,b使得

f(b)?f(a)f?(?)?．

g(b)?g(a)g?(?)8．泰勒公

第1篇：不等式证明,均值不等式

1、设a,b?R，求证：ab?(ab)?aba?b2?abba

2、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)＞6abc

3、(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a

24、设a,b?R?，且a?b?1，求证：(a?)?(b?)?

5、若a?b?1，求证：asinx?bcosx?

16、已知a?b?1，求证：a?b?

7、a,b,c,d?R求证：1＜?441a21b225 2221 8abcd+++＜2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c

111

18、求证2?2?2???2＜2 123n

1111????＜1

9、求证：?2n?1n?22n

10、求下列函数的最值

（1） 已知x＞0，求y?2?x?

（2） 已知x＞2，求y?x?4的最大值（-2） x1的最小值（4） x?

2111（3） 已知0＜x＜，求y?x(1?2x)的最大值（） 2216

11、若正数a,b满足ab?(a?b)?1则a?b的最小值是（）

（2?2333）

12、已知正数a,b求使不等式(a?b)?k(a?b)成立的最小k值为（）（4）

1

3、求函数y?

14、二次函数f(x)?x?ax?x?a的两根x1,x2

自己原创的。

河南开封市高级中学jason_1108@

利用排序不等式证明AM-GM不等式AM-GM不等式若a1,a2, ,an>0，则

a1+a2+ +an≥n

等号当且仅当a1=a2= =an时成立a1a2 an

证明：令G=a1a2 an，则原不等式等价于

a1+a2+ +an≥nG

构造数列

A=

B= aaaaa a,, ,2GGGnGG2Gn,, ,a1a1a2a1a2 an

显然，两组数列中的元素有着一一对应的关系，即A中第K大的元素在B中所对应的元素是第K小的元素。所以，A、B两组数列中的元素对应相乘再相加所得结果是两组数列的反序和，即为n。

另一方面，A、B两组数列错位相乘为两组数列的乱序和，即乱序和是a1+a2+ +an。G

由排序不等式，乱序和大于等于逆序和，即

a1+a2+ +an≥nG

原不等式得证。

高中数学几个重要不等式的证明。

四、排序不等式

【】

（一）概念9： 设有两组实数

a1，a2， ，an （1） b1，b2， ，bn （2） 满足

a1 a2 an （3） b1 b2 bn （4） 另设

,cn （5） c1，c2，是实数组（2）的一个排列，记

逆序积和S a1bn a2bn 1 anb1 乱序积和S' a1c1 a2c2 ancn 似序积和S'' a1b1 a2b2 anbn 那么

S S' S'' 且等式成立当且仅当 a1 a2 an

或者

b1 b2 bn

证明【9】：

1，预备知识

引理1（Abel变换） 设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令

k

B0 0，Bk 那么

n

b,

i

i 1

n 1

akbk anBn (ak 1 ak)Bk

k 1

k 1

事实上：

n

n

akbk

k 1

a

k 1n 1

k

(Bk Bk 1) an(Bn Bn 1) an 1(Bn 1 Bn 2) a1B1

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文

不等式证明的若干方法

作者：金克川 指导老师：杨翠

摘要 无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等式的证明则是不等式知识的

重要组成部分.在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯.

关键词 不等式 比较法 数学归纳法 函数

1引言 在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和

高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的