数学奥林匹克冬令营参赛资格

2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训

测试题D（李胜宏供题）

学校

姓名

营员证号

一 . 求证: ?[2003n]|n?1,2,??中有无穷多个平方数. 二 . 求所有函数f:R?R,在零点连续 ,且 f(x?2f(y))?f(x)?y?f(y) 三 . 如果素数p和自然数n满足 n?p?证明: p|?(Cnj)2

j?0n4n, 3CDP,?DAP的四 . 设ABCD为凸四边形, AC交BD于P ，?ABP,?BCP,?内心依次为I1,I2,I3,I4.

求证: I1,I2,I3,I4四点共圆当且仅当四边形ABCD有内切圆.

2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训

测试题D解答（李胜宏供题）

1. 求证:[2003n]|n?1,2,?中有无穷多个平方数. 引理: x2?2003y2??1992有无穷多组正整数解.

证明:首先有92?2003?1??1992??2?312.令x0?9,y0?1,p?31.设(u,v)是

22x2?2003y2?1的一组正整数解,则若xn?2003yn??2p2(xn?0,yn?0).令

?? xn?1?uxn?2003vyn,yn?1?vxn?uyn,则

2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训

测试题C （陶平生供题）

学校 姓名 营员证号

一、四面体ABCD，它的内切球O与面ABD切于E，与面BCD切于F，

证明：∠AEB=∠CFD.

二、如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3分别外切⊙O于A1、B1、C1，并且前三个圆还分别与△ABC的两条边相切.

求证：三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点. B1

B 三、设实数a≥b≥c≥d＞0，求函数

AA1C1Cf(a,b,c,d)?(1?cdab)(1?)(1?)(1?)的最小值. a?bb?cc?dd?aA与n个黑子○B（n≥3）A○A??○A○B○B??○B，四、n个白子○，依次不留间隙地排成一行：○

现作如下操作：每次将相邻的两子取出（并保持此两子的先后次序），放在其它棋子旁的空位上（仍在同一行）.

证明：经过n次这样的操作，可使它们排成黑白相间的一行，且不留间隙. （附：当n=3时，操作如图所示）

初始状态 ○A○A○A○B○B○B 第一次操作后 第二次操作后 第三次操作后

A○B○B○B○A○A ○

○A○B○B ○A○B○A

○B○A○B○A○B○A

2005年中国东

教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)

2006中国数学奥林匹克

（第二十一届全国中学生数学冬令营）

第一天

福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分

一、 实数a1,a2,?,an满足a1?a2???anmax(ak)?1?k?n2?0，求证：

2n3n?1??ai?ai?1?．

i?1证明 只需对任意1?k?n，证明不等式成立即可． 记dk?ak?ak?1,k?1,2,?,n?1，则

ak?ak，

ak?1?ak?dk，ak?2?ak?dk?dk?1,?,an?ak?dk?dk?1???dn?1， ak?1?ak?dk?1,ak?2?ak?dk?1?dk?2,?,a1?ak?dk?1?dk?2???d1，

把上面这n个等式相加，并利用a1?a2???an?0可得

nak?(n?k)dk?(n?k?1)dk?1???dn?1?(k?1)dk?1?(k?2)dk?2???d1?0．

由Cauchy 不等式可得

(nak)??(n?k)dk?(n?k?1)dk?1???dn?1?(k?1)dk?1?(k?2)dk?2???d1?

22?k?12???i??i?1n?k?i?1

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2006中国数学奥林匹克

（第二十一届全国中学生数学冬令营）

第一天

福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分

一、 实数a1,a2,?,an满足a1?a2???anmax(ak)?1?k?n2?0，求证：

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i?1证明 只需对任意1?k?n，证明不等式成立即可． 记dk?ak?ak?1,k?1,2,?,n?1，则

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把上面这n个等式相加，并利用a1?a2???an?0可得

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由Cauchy 不等式可得

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1月16日，我怀着无限的期待和好奇，在班主任彭老师的关心和叮嘱下，在吕红涛老师的带领下，开启了这一段为期5天的冬令营之旅。近7小时的赶路，我们终于到达了哈尔滨，第一次来到哈尔滨的我，对于眼前的一切都是激动又好奇的。入住了商大酒店，当天晚上，冬令营的负责人就为我们开展了破冰活动，为的是增进同学们彼此的友谊，互相学习。知识竞赛上，我主动举手上台参赛，虽然答出的问题也有不完善的，但是在这一过程中我也懂得了很多知识，也认识了很多来自不同学校的新朋友。

开营第一天，我们在科技馆参加了开营仪式，随后参加了科普讲座，观看特效球幕电影，4D电影，电影中的地震，追杀，淋雨，简直让人身临其境，叹为观止。又体验了很多神奇的科学实验，如科技馆里的音回旋，太阳能小车，运动交响球等，都对我以后的小发明带来了许多启发。充实快乐的第一天让我有些疲乏，但是这一天的经历，却是难忘又耐人寻味的。接下来的几天，最让我难忘的，就是哈尔滨极地馆和太阳岛雪博会了。这是我一直以来很想去的两个地方，在极地馆里，我见到了各种珍稀动物，还有神奇的海洋之心”。观看海狮，海象的精彩表演，我激动地一直都没有放下相机，大家也看得连声叫好。太阳岛雪博作文会上，寒冷的天气并没有打消我们对冰雪的热情

这个寒假我过得充实快乐，我跟我的朋友一起参加了乐趣冬令营，课程丰富多彩，但我最喜欢的是每周的户外活动日。

今天是快乐星期四”，是我们最开心的一天，有得吃、有得喝、有得玩，还不用写作业，真爽。

我们排着整齐的队伍有序的跟着老师的脚步前进，几分钟后就到达户外的篮球场。在老师的安排下，我们开始游戏环节。第一个游戏是抢凳子”，我们集中精神听音乐，当音乐停的时候，如果没抢到凳子坐的就出局，到最后的时候剩下我跟另一个同学，我好紧张，一不留神凳子就被对方坐了，这个游戏真刺激真好玩。我们还玩作文了老鹰抓小鸡”，玩了一上午，我们又开心又疲惫。

下午，我们去学习做曲奇饼干。老师给每个同学都准备了面粉、黄油、鸡蛋、称、小碗、铲子、齿型花嘴，还有一个像三角形的袋子。跟着烘培师傅的步骤，大家开始动手了。首先我们把黄油、鸡蛋放进去，开始和面粉，揉得差不多的时候这一团面糊放进三角形袋子里，再用力的往下挤，不同的花样团就出来了。最后放进烤箱里，20分钟后，香喷喷的曲奇饼干就做好了。

看着漂亮又好吃的曲奇饼干，我差点流口水，但是我舍不得吃，我把它带回家跟弟弟妈妈一起分享，真是快乐的一天。

南充高中2015年“优秀初中生科技冬令营”

数学试题（一）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个. 设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足方程（ ）

A．50(1?x)2?196 B．50?50(1?x)2?196

C．50?50(1?x)?50(1?x)2?196 D．50?50(1?x)?50(1?2x)?196 A2．如图P为?AOB边OA上一点，?AOB=30?，OP=10cm， P以P为圆心，5cm为半径的圆与直线OB的位置关系是（ ） A．相离

B．相交

C．相切

D．无法确定

OB3．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，?，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是( )

A．图① B．图②

C．图③

D．图④

4．若函数y?12(x2?100x?196?x2?10

篇一：奥林匹克格言

奥林匹克格言（Olympic Motto），又称奥林匹克口号或奥林匹克座右铭，是奥林匹克运动宗旨之一。其内容是：“更快、更高、更强”（英文：“Faster，Higher，Stronger”，拉丁文：“Citius，Altius，Fortius”）。

“更快、更高、更强”的内涵是非常丰富的。它充分表达了奥林匹克运动不断进取、永不满足的奋斗精神和不畏艰险、敢攀高峰的拼搏精神。在比赛场上，面对强手，发扬勇往直前的大无畏精神，敢于斗争，敢于胜利。对自己则是永不满足，不断战胜自己，超越自己，实现新的目标，达到新的境界。对自然要敢于征服，克服大自然给人类带来的各种各样的限制，挣脱自然对我们的束缚而取得更大的自由。

顾拜旦本人在推崇“更快、更高、更强”的同时，又大力主张把“团结、和平、进步”作为奥林匹克运动所追求的最根本的目标。“团结、友谊、和平、进步”现今已不仅是奥林匹克运动以及世界体坛的宗旨，而＿日还成了全人类所需要、向往和追求的共同目标。

信念

“参与比取胜更重要”是奥林匹克运动广为流传的名言，是奥林匹克的信念。这是顾拜旦于1908年7月24日，在伦敦举行第4届奥运会期间英国政府所举行的招待宴会上发表重要讲话时，所引用在圣保罗组织的运动员颁

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初中数学奥林匹克竞赛教程

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初中数学竞赛大纲（修订稿）

数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。

本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养??，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。

《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的