无穷级数答案唯一嘛

第十一章 无穷级数

(A)

用定义判断下列级数的敛散性

1．

???n?1?11??1；3．???n?n?。 n?2?n?1 ；2．?5?n?12n?2n?2?n?1?3??判断下列正项级数的敛散性

????nen4n!2n?3n?14．?；5．?n；6．?；7．?；8．?； n??nn?32n100en?1n?1n?1n?1n!n?1??n???1??n?9．??。 ?；10．?n2n?1n?1?3n?1??nn求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛

11．???1?n?1?n?1n2n?1；12．???1?n?2?n1；13．1.1?1.01?1.001?1.0001??； lnn14．

1234?2?2?2??； 22?13?14?1求下列幂级数的收敛半径和收敛区间

15．?n?1??3n??xn1nnx；16．???1?n；17．?n!x；18．?n?x?1?；

nnn?1n?12nn?1n?n19．?n?112n?1x2n?1n2n；20．?nx；

n?13?求下列级数的和函数

21．?nxn?1?n?1；22．?n?1?122n?1； xn?1将下列函数展开成x?x0的幂的级数

ex?ex23．shx?，x0?0；

第十一章 无穷级数

A

1、根据级数发散与收敛性定义与性质判断级数收敛性 1）???n?1?n?

n?1 2） 111?3?3?5?15?7?...?1(2n?1)(2n?1?...

3）sin(?)?sin(2?n?66)?...?sin(6)...

2、用比较法或极限形式的比较法判定级数收敛性。 1）sin(??2)?sin(?223)???sin(2n)?

2）??1n ?a?1?

n?11?a 3）??n?1(n?1)(1n?4) 4） 1?1?21?31?n1?22?1?32?...1?n2...

1

3、用比值审敛法判定级数收敛性 1）??ntan?1

n?12n?

?2）?n23n n?1

?3）?2nn n?1n3

4、用根值法判定级数收敛性 ?1）?(nn3n?1)

n?1 2）

??1n n?1?ln(n?1)?

5、下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛1）1?112?3?14?... 2）

??(?1)nnn?1

n?13 2

?3）

?(?1)n13?2n n?1

6、求下列幂级数的收敛性半径和收敛域域。1) 1?x?x2nxn22?

第九章 无穷级数

一、教材分析

函数是微积分研究的对象，表示函数、研究函数的方法和工具很多，无穷级数就是我们表示函数、研究函数性态，及进行数值计算的一种有效的工具。无穷级数是逼近理论中的重要内容之一，也是微积分学的重要组成部分。如某些用初等方法难以解决的定积分的计算等也有重要的应用。

级数之所以是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数来表示；另一方面又可将函数表示为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。 二、教学要求

1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。 2. 了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p-级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。

3. 了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。

4. 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求）。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求幂级数的和函数（只要求作简单训练）。

5. 会利用e，sinx，cosx，l

第九章 无穷级数

一、教材分析

函数是微积分研究的对象，表示函数、研究函数的方法和工具很多，无穷级数就是我们表示函数、研究函数性态，及进行数值计算的一种有效的工具。无穷级数是逼近理论中的重要内容之一，也是微积分学的重要组成部分。如某些用初等方法难以解决的定积分的计算等也有重要的应用。

级数之所以是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数来表示；另一方面又可将函数表示为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。 二、教学要求

1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。 2. 了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p-级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。

3. 了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。

4. 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求）。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求幂级数的和函数（只要求作简单训练）。

5. 会利用e，sinx，cosx，l

教学过程：

一、 复习导入，明确目标

1、通过上节课学习，大家对课文有了一些了解，相信大家能够经得起老师的考验。 课文主要写了一件什么事？这里的“唯一的听众”指的是谁？

2、上节课，同学们提出了很多问题，经过大家共同努力，解决了一些，谁还记得还大家共同努力，解决了一些，谁还记得还有什么问题没有解决？（课文写的是我从不会拉小提琴到能够参加各种演出，为什么要以《唯一的听众》为题？）

对于这个问题，我可不可以理解为大家认为文中的主人公是“我”，而不是那位老妇人呢？好，今天这节课我们就来探讨这个问题。 课件出示：你认为这篇课文的中心人物是谁？

【设计意图：这样导入，既检查了学生的听课状态，又培养了学生语言概括能力育语言表达能能力，同时拉近了课文与学生的距离。为下文学习奠定基础。】 二、 精读课文，解疑合究

1、请同学们再次走进课文，深入思考，看看看文中的主人公究竟是谁，说说理由。 2、研读。

这位唯一的听众，她不曾给过作者拉小提琴技巧的指导，也不曾给他讲解过拉琴的窍门。那么，她是怎么帮助作者的呢？用她的语言和神态，到底是什么神奇的语言和神态，这么的有魔力，能将一位音乐白痴变成小提琴能手？我们一起走进这位神秘的老人。 感悟一：老人的语言

师：用波浪线画

无穷级数

无穷级数自测题B

一、选择题：

1．设级数?un收敛，则必收敛的级数为（ ）。

n?1?A．?(?1)n?1?nunn B．?un C．?(u2n?1?u2n) D． ?(un?un?1)

n?1??2??n?1?n?12．已知?nun?收敛，?n(un?un?1)收敛，则?un（ ）。

n?1n?1A．为无穷大 B．收敛 C．发散 D．敛散性不能确定

??3．设级数?an绝对收敛，则?(1?)nan（ ）。

n?1n?11nA．发散 B．条件收敛 C．敛散性不能判定 D．绝对收敛

?4．级数?(?1)nn?21?nsin?n （ ）。

A．发散 B．条件收敛 C．绝对收敛 D．敛散性不能判定

?5．若级数?an(x?1)n在x=-1条件收敛，则其在x=-2处（ ）。

n?1A．条件收敛 B．绝对收敛 C．发散 D．不能确定

?16．级数?n?1?n0x1?x2。 dx （ ）

A．为无

第四章 无穷级数

4.1.基本概念与内容提要

级数?an与?can收敛性相同。若级数?an与?bn都收敛，则级数?(an?bn)也收敛，

n?1n?1n?1n?1n?1???????????且?(an?bn)??an??bn。若级数?an与?bn都发散，则级数?(an?bn)不一定发散。

n?1n?1n?1n?1?n?1n?1若级数?an收敛，?bn发散，则级数?(an?bn)必发散。

n?1n?1n?1??由级数?(an?bn)收敛不能得到级数?an与?bn收敛。

n?1n?1n?1???等比级数?qn?1,当q?1时收敛且?qn?1?n?1n?1???1;当q?1时发散。 1?q?11P级数?p，当p>1时收敛，当0?p?1发散。其中调和级数?发散。

n?1nn?1n??1级数?发散，其中k为正常数。级数?(an?an?1)收敛?liman存在。

n??n?1n?1n?k如果级数?an收敛，则liman?0。如果liman?0，则级数?an必发散。

n?1n??n????n?1改变一个级数的任意有限项，不改变其敛散性，但在收敛时原级数的和改变。收敛级数

加括号后仍收敛于原级数和。若加括号后所得级数发散，则原级数也发散。

正项级数审敛法：

1.

篇一：唯一的听众的课文原文

唯一的听众的课文原文

[北师大版第十一册课文]

用父亲和妹妹的话来说，我在音乐方面简直是一个白痴。这是他们在经受了我数次“折磨”之后下的结论。我拉出的小夜曲，在他们听起来，就像是锯桌腿的声音。我感到十分沮丧。我不敢在家里练琴。我终于发现了一个绝妙的去处，楼区后面的小山上有一片树林，地上铺满了落叶。

一天早晨，我蹑手蹑脚地走出家门，心里充满了神圣感，仿佛要去干一件非常伟大的事情。林子里静极了。沙沙的脚步声，听起来像一曲悠悠的小令。我在一棵树下站好，庄重地架起小提琴，像参加一个隆重的仪式，拉响了第一支曲子。

尽管这里没有父亲的妹妹的评论，但我感到懊恼，因为我显然将那把“锯子”带到了林子里。我不由得诅咒自己：“我真是个白痴！”

当我感觉到身后有人而转过身时，我吓了一跳，一位极瘦极瘦的老妇人静静地坐在一张木椅上，双眼平静地望着我。我的脸顿时烧起来，心想，这么难听的声音一定破坏了这林中和谐的美，一定破坏了这位老人正独享的幽静。

我抱歉地冲老人笑了笑，准备溜走。老人叫住我，说：“是我打搅了你吗？小伙子。不过，我每天早晨都在这里坐一会儿。”有一束阳光透过叶缝照在她满头银丝上，“我猜想你一定拉得非常好，只可惜我的耳朵聋了。如果不介意我在场的话，

第十二章

第十二章 无穷级数

章主要内容小结

一、数项级数的审敛法

1、利用部分和数列的极限判别级数的敛散性； 2、正项级数的审敛法 若limun?0，则级数

n???un?1?n发散；否则由比值法、根值法、比较法及其极限形式判别；

对一般项出现阶乘、及n次幂形式，多用比值法，limun?1n??un???1,收敛??????1，发散；

???1，失效????1,收敛?对一般项出现n次幂形式，多用根值法，limnun?????1，发散；

n?????1，失效?对一般项可经缩小与放大处理后化成p级数或几何级数形式，则用p级数或几何级数作为比较标准，采用

比较法或极限形式，对比值法与根值法中??1的情况，也可用比较法、求部分和法、积分判别法做；

注意：能用比值法判别收敛的级数一定可用根值法判别收敛，因为可以证明当limun?1存在时，limnunn??n??un也存在，且limnun?limn??un?1，反之不一定成立。

n??un3、任意项级数审敛法

?un?1?n为收敛级数，若

?un?1?n收敛，则

?un?1?n绝对收敛；若

?un?1??n发散，则

?un?1?n条件收敛；

莱布尼兹判别法：un?un?1?0，且limun?0则交错级数

n??

第八章 无穷级数

本章知识结构导图

定义法判别级数的收敛性常数项级数正项级数及收敛性判别法交错级数、绝对收敛、条件收敛幂级数的概念，收敛半径，收敛区域的求法无穷级数幂级数幂级数的性质级数在近似计算中的举例函数的幂级数展开无穷级数在经济学中的应用：银行复利问题 §8.2 常数项级数

一、常数项级数的概念

在初等数学中知道: 有限个实数u1,u2,?,un相加, 其结果是一个实数. 本章将在这个基础上继续推广, 讨论“无限个实数相加”所可能出现的情形及其有关特性.

一、定义：

第1页, 共31页

【定义 1】 设有一个无穷数列 u1,u2,?,un,?, 则称

u1?u2???un?? (1)

为常数项级数或无穷级数（也常简称级数）, 其中un称为常数项级数(1)的通项. 常数项级数(1)也常写作

?un?1?n或简单写作

?un.

作常数项级数(1)的前n项之和

Sn?u1?u2???un??uk

k?1nSn称为级数(1)的第n个部分