线性代数的公式总结

线性代数

①A?B?B?A

②?A?B??C?A??B?C?

③c?A?B??cA?cB ?c?d?A?cA?dA ④c?dA???cd?A

⑤cA?0?c?0或A?0。 AT??T?A

T ?A?B??AT?BT

?cA?TT?cAT。

?? ?AB??BTAT

??n?n?1??21??Cn2?n?n?1? 2D?a21A21?a22A22???a2nA2n

T转置值不变A?A

逆值变A?1?1 AcA?cnA

?,?1??2,???,?1,???,?2,?

A???1,?2,?3?，3阶矩阵 B???1,?2,?3? A?B?A?B

A?B???1??1,?2??2,?3??3?

A?B??1??1,?2??2,?3??3 A?A0??AB 0B?BE?i,j?c???1

有关乘法的基本运算

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj 线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B， A?B1?B2??AB1?AB2 ?cA?B?c?AB??A?cB? 结合

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第一章 行列式

1．逆序数 1.1 定义

n个互不相等的正整数任意一种排列为：i1i2???in，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不

同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用?数字的个数之和。 1.2 性质

一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ?2证明如下：

设排列为a1?alab1?bmbc1?cn，作m次相邻对换后，变成a1?alabb1?bmc1?cn，再作m?1次相邻对换后，变成a1?albb1?bmac1?cn，共经过2m?1次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于?2故原命题成立。

2．n阶行列式的5大性质

性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。

性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）?倍后再加到另一行（列），其值不变。

行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。

评 注 对性质4的重要拓展： 设n阶同型矩阵，

n?i1i2???in?表示，??

线性代数全公式

基本运算

①A?B?B?A

②?A?B??C?A??B?C?

③c?A?B??cA?cB ?c?d?A?cA?dA ④c?dA???cd?A

⑤cA?0?c?0或A?0。 AT??T?A

T ?A?B??AT?BT

?cA?TT?cAT。

?? ?AB??BTAT

??n?n?1??21??Cn2?n?n?1? 2D?a21A21?a22A22???a2nA2n

转置值不变AT?A 逆值变A?1?1 AcA?cnA

?,?1??2,???,?1,???,?2,? A???1,?2,?3?，3阶矩阵 B???1,?2,?3? A?B?A?B

A?B???1??1,?2??2,?3??3?

A?B??1??1,?2??2,?3??3 A?A0??AB 0B?BE?i,j?c???1

有关乘法的基本运算

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj 线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B， A?B1?B2??AB1?AB2 ?cA?B?c?AB??A?cB?

第一章

1．逆序数 1.1 定义

行列式

n个互不相等的正整数任意一种排列为：i1i2???in，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后

次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用??i1i2???in?表示，

??i1i2???in?等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。

1.2 性质

一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ?22．n阶行列式的5大性质

性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。

性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）?倍后再加到另一行（列），其值不变。

行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。

评 注 对性质4的重要拓展： 设n阶同型矩阵，以，

???1??1。

A??aij?; B??bij??A?B??aij?bij?，而行列式只是就某一列分解，所

nA?B应当是2个行列式之和，即A?B?A?B

。

评 注 韦达定理的一般形式为：

anx?an?1xnn?1?an?2xn?2nan?1a

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

?A可逆 ??r(A)?n ??A的列（行）向量线性无关 ?A的特征值全不为0 A?0???Ax??只有零解 ?? ?x??，Ax?? ????Rn,Ax??总有唯一解 ?AT?A是正定矩阵 ?A?E ??A?p1p2???ps pi是初等阵??存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E注：全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间. ?A不可逆 ?r(A)?n A?0????A的列（行）向量线性相关 ??0是A的特征值 ??Ax??有非零

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

?A可逆 ??r(A)?n ??A的列（行）向量线性无关 ?A的特征值全不为0 A?0???Ax??只有零解 ?? ?x??，Ax?? ????Rn,Ax??总有唯一解 ?AT?A是正定矩阵 ?A?E ??A?p1p2???ps pi是初等阵??存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E注：全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间. ?A不可逆 ?r(A)?n A?0????A的列（行）向量线性相关 ??0是A的特征值 ??Ax??有非零

线性代数公式大全

1、行列式

1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)i?jAij4. 设n行列式D：

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1?(?1)?Aij?(?1)i?jMij

n(n?1)2D； D；

将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2?(?1)将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D； 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)n(n?1)2n(n?1)2将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D；

；

③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； ④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)⑤、拉普拉斯展开式：

n(n?1)2；

AOACCAOA??AB、??(?1)m?nAB CBOBBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

?A可逆 ??r(A)?n ?A的列（行）向量线性无关 ??A的特征值全不为0 ??Ax??只有零解 ? ?x??，Ax?? A?0?? n???R,Ax??总有唯一解 ??ATA是正定矩阵 ??A?E ?A?pp???p p是初等阵12si???存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. ○

n?A不可逆 ?r(A)?n ??A?0??A的列（行）向量线性相关

?0是A的特征值 ???Ax??有

线性代数 第 1 次课

章节§1.1二阶与三阶行列式 §1.2全排列及其逆序数 名称 §1.3 n阶行列式的定义 目的要求 掌握二阶与三阶行列式的计算 理解n阶行列式的定义 序号 主 要 内 容 与 时 间 概 算 1 2 3 4 共计 主要内容 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式 全排列及其逆序数 理解n阶行列式的定义 时间概算 20分钟 15分钟 15分钟 45分钟 95分钟 重点 用对角线法则进行二阶、三阶行列式的计算. 难点 理解n阶行列式的定义. 方法 板书 手段 课堂 二元线性方程组消元法. 三阶行列式的课堂练习计算结果 思 考 题 作 业 题 《最新线性代数习题全解》同济四版配套辅导. 王治军 主编 中国建材参考 工业出版社2003.8 资料 《线性代数》重点内容重点题 杨泮池 赵彦晖 褚维盘 编著 西安交通大学出版社，2004.3

提 问 本次课内学员基本掌握了本次课的内容, 达到了教学目的. 容总结 x已知f(x)?121xx3112x213,求x3的系数. 2x 练习册 练习一 线性代数 第 2 次课

章节§1.4对

《线性代数》模拟试卷（一）

一. 一. 填空题(20/5)

1.已知A是5阶方阵,且|A|?2,则|A*|?____________.

2.设A?(aij)1?3,B?(bij)3?1,则B?A??______________.

3.设?1?(3,3,3),?2?(?1,1,?3),?3?(2,1,3),则?1,?2,?3线性_____关.

4.若A100?0,则(I?A)?1?_____________.

?12?5.设|A|?0,??2为A的特征值,则A有一特征值为_________,?A??3?有一特征值为__________.

二. 二. 选择填空(20/5)

?.1.设A,B为n阶对称矩阵,则下面四个结论中不正确的是?2?1A.A?B也是对称矩阵B.AB也是对称矩阵D.AB??BA?也是对称矩阵

C.Am?Bm(m?N?)也是对称矩阵

?A?0?2.设A和B都是n阶可逆矩阵,则(?2)??1????0B?A.(?2)2n|A||B|?1B.(?2)n|A||B|?1C.?2|A?||B|D.?2|A||B|?1

3.当n个未知量m个方程的齐次线性方程组满足条件??.

?时,此方程组一定有非零解.A.n