线性回归分析中的回归平方和

三大产业对我国国内生产总值增长影响的实证分析

【摘要】经济发展是以经济增长为前提的，而经济增长与产业结构变动又有着密不可分的关系。本文采用1978年至2010年的统计数据，通过建立多元线性回归模型，运用最小二乘法，研究三大产业增长对我国国内生产总值的拉动，从而得出调整产业结构对转变经济发展方式，促进我国经济可持续发展的重要性。

【关键字】国内生产总值 三大产业 最小二乘法 产业结构 可持续发展

一、文献综述

国内生产总值（Gross Domestic Product，简称GDP)是指在一定时期内（一个季度或一

年），一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标。它不但可反映一个国家的经济表现，还可以反映一国的国力与财富。经济增长通常是指在一个较长的时间跨度上，一个国家人均产出（或人均收入）水平的持续增加。经济增长率的高低体现了一个国家或地区在一定时期内经济总量的增长速度，也是衡量一个国家或地区总体经济实力增长速度的标志，它构成了经济发展的物质基础，而产业结构的调整与优化升级对于经济增长乃至经济发展至关重要。

一个国家产业结构的状态及优化升级能力，是经济发展的重要动力。十六大报告提出，推进产业结构

§ 8.3 线性回归分析 一、回归分析原理 回归分析实际上就是建立某种数学模型并做检验。假定： 一列(或多列)数据的变化同另一列数据的变化呈某种函数关 系，衡量数据联系强度的指标，并通过指标检验其符合的程度， 就称为回归分析。

回归分析包括：一元回归、多元回归以及线性回归和非线 性回归： 一元回归：Y(因变量)取值：y1 y2 y3… X(自变量)取值：x1 x2 x3 … 建立一元线性回归方程： Y=BX+C(方程中的 B 为回归系 数，C为常数) 或者是非线性回归方程：Y=f(X)

多元回归：Y(因变量)取值： y1 y2 y3… X1(自变量1)取值: x11 x12 x13 … X2(自变量2)取值: x21 x22 x23 … ……

Xn(自变量n)取值: xn1 xn2 xn3 …

建立多元线性回归方程：Y=B1X1+B2X2…+ BnXn + B0(方 程中的Bi为回归系数) 或者是非线性回归方程：Y=f(X1 X2…Xn)

二、回归分析的概念 假定测量数据为: 因变量 自变量1 自变量2 … 自变量n y1 x11 x21 … xn1 y2 x12 x22 … xn2 … … … ym x1m x2m … xnm 建立因变量与

线性回归分析和方差分析报告

信计12 徐文豪 2110902039

本报告以教材第二章课后习题2.4和第三章课后习题3.6为主体，给出对应的解答、sas代码和结果分析。

2.4 某公司管理人员为了了解某化妆品在一个城市的月销售量Y（单位：箱）与该城市中适合使用该化妆品的人数X1（单位：前人）以及他们人均月收入X2（单位：元）之间的关系，在某个月中对15个城市做了调查，得上述各量的观测值如下表所示：

162 274 2450 120 180 3254 223 375 3802 131 205 2838 67 86 2347 169 265 3782 81 98 3008 192 330 2450 116 195 2137 55 53 2560 252 430 4020 232 372 4427 144 236 2660 103 157 2088 212 370 2605

假设Y与X1，X2之间满足线性回归关系

yi??0??1xi1??2xi2??i，i?1,2,,15 其中?i(i?1,2,15)独立通分布于N(0,?2)。

（1）求回归系数?0,?1,?2的最小二乘估计和误差方差?2的估计，写出回归方程

SPSS—回归—多元线性回归结果分析（二） 2011-10-27 14:44

，最近一直很忙，公司的潮起潮落，就好比人生的跌岩起伏，眼看着一步步走向衰弱，却无能为力，也许要学习“步步惊心”里面“四阿哥”的座右铭：“行到水穷处”，”坐看云起时“。

接着上一期的“多元线性回归解析”里面的内容，上一次，没有写结果分析，这次补上，结果分析如下所示： 结果分析1：

由于开始选择的是“逐步”法，逐步法是“向前”和“向后”的结合体，从结果可以看出，最先进入“线性回归模型”的是“price in thousands\ 建立了模型1，紧随其后的是“Wheelbase\ 建立了模型2，所以，模型中有此方法有个概率值，当小于等于0.05时，进入“线性回归模型”（最先进入模型的，相关性最强，关系最为密切）当大于等 0.1时，从“线性模型中”剔除

结果分析：

1：从“模型汇总”中可以看出，有两个模型，（模型1和模型2）从R2 拟合优度来看，模型2的拟合优度明显比模型1要好一些 （0.422>0.300）

2：从“Anova\可以看出“模型2”中的“回归平方和”为115.311，“残差平方和”为153.072，由于总平方和= 回归平方和+残差平方和，由于

一元线性回归分析和多元线性回归分析

一元线性回归分析

1.简单介绍

当只有一个自变量时，称为一元回归分析（研究因变量y和自变量x之间的相关关系）；当自变量有两个或多个时，则称为多元回归分析（研究因变量y和自变量x1，x2，…，xn之间的相关关系）。如果回归分析所得到的回归方程关于未知参数是线性的，则称为线性回归分析；否则，称为非线性回归分析。在实际预测中，某些非线性关系也可以通过一定形式的变换转化为线性关系，所以，线性回归分析法成为最基本的、应用最广的方法。这里讨论线性回归分析法。

2.回归分析法的基本步骤

回归分析法的基本步骤如下： （1） 搜集数据。

根据研究课题的要求，系统搜集研究对象有关特征量的大量历史数据。由于回归分析是建立在大量的数据基础之上的定量分析方法，历史数据的数量及其准确性都直接影响到回归分析的结果。 （2） 设定回归方程。

以大量的历史数据为基础，分析其间的关系，根据自变量与因变量之间所表现出来的规律，选择适当的数学模型，设定回归方程。设定回归方程是回归分析法的关键，选择最优模型进行回归方程的设定是运用回归分析法进行预测的基础。 （3） 确定回归系数。

将已知数据代入设定的回归方程，并用最小二乘法原则计算出回归系数，确定

1 线性回归

1.1 原理分析

要研究最大积雪深度x与灌溉面积y之间的关系，测试得到近10年的数据如下表：

使用线性回归的方法可以估计x与y之间的线性关系。 线性回归方程式：

对应的估计方程式为

线性回归完成的任务是，依据观测数据集(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)使用线性拟合估计回归方程中的参数a和b。a,b都为估计结果，原方程中的真实值一般用α和β表示。

为什么要做这种拟合呢？

答案是：为了预测。比如根据前期的股票数据拟合得到股票的变化趋势（当然股票的变化可就不是这么简单的线性关系了）。 线性回归的拟合过程使用最小二乘法，

最小二乘法的原理是：选择a,b的值，使得残差的平方和最小。

为什么是平方和最小，不是绝对值的和？答案是，绝对值也可以，但是，绝对值进行代数运算没有平方那样的方便，4次方又显得太复杂，数学中这种“转化化归”的思路表现得是那么的优美！ 残差平方和Q，

求最小，方法有很多。代数方法是求导，还有一些运筹学优化的方法（梯度下降、牛顿法），这里只需要使用求导就OK了，

为表示方便，引入一些符号，

最终估计参数a与b的结果是：

自此，针对前面的例子，只要将观测数据带入上面表达式即可计算得到拟合之后的a和b。不妨试

多元线性回归、逐步回归

关键词：非线性回归、多元线性回归、逐步回归、散点图程序、残差图程序、MATLAB 练习1

在M文件中建立函数y?a(1?be?cx)，其中a、b、c为待定的参数。 程序7

fun=inline('b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*x))','b','x'); 练习2

选取指数函数y?aebt对例1进行非线性回归：

（1）在同一坐标系内作出原始数据与拟合结果的散点图。 （2）预测照射16次后的细菌数目

（3）给出模型参数的置信度为95%的置信区间，并给出模型交互图形。 程序8

[a,b]=solve('5.8636=log(a)+b','2.7081=log(a)+15*b')%求解初值 x=1:15;

y= [352 211 197 160 142 106 104 60 56 38 36 32 21 19 15]; fun=inline('b(1)*exp(b(2)*x)','b','x');%建立函数 b0=[440.9771,-0.2254];

[beta,r,J]=nlinfit(x,y,fun,b0);%非线性拟合命令；其中，beta表示最佳回归系数的估计值，r是残差，J是雅可比矩阵

beta%输

第十一章 多元线性回归与logistic回归

一、教学大纲要求

（一）掌握内容

1．多元线性回归分析的概念：多元线性回归、偏回归系数、残差。

2．多元线性回归的分析步骤：多元线性回归中偏回归系数及常数项的求法、多元线性回归的应用。

3．多元线性回归分析中的假设检验：建立假设、计算检验统计量、确定P值下结论。 4．logistic回归模型结构：模型结构、发病概率比数、比数比。 5．logistic回归参数估计方法。

6．logistic回归筛选自变量：似然比检验统计量的计算公式；筛选自变量的方法。 （二）熟悉内容

常用统计软件（SPSS及SAS）多元线性回归分析方法：数据准备、操作步骤与结果输出。

（三）了解内容

标准化偏回归系数的解释意义。

二、教学内容精要

(一) 多元线性回归分析的概念

将直线回归分析方法加以推广，用回归方程定量地刻画一个应变量Y与多个自变量X间的线形依存关系，称为多元线形回归（multiple linear regression），简称多元回归（multiple regression）

基本形式：

??b?bX?bX?????bX Y01122kk?为各自变量取某定值条件下应变量均数的估计值，X，X，…，X

线性回归分析的数学模型

摘 要

在实际问题中常常遇到简单的变量之间的关系，我们会遇到多个变量同处于一个过程之中，它们之间互相联系、互相制约．这些问题中最简单的是线性回归．线性回归分析是对客观事物数量关系的分析，是一种重要的统计分析方法，被广泛的应用于社会经济现象变量之间的影响因素和关联的研究．由于客观事物的联系错综复杂经济现象的变化往往用一个变量无法描述，故本篇论文在深入分析一元线性回归及数学模型的情况下，又详细地介绍了多元线性回归方程的参数估计和其显著性检验等．全面揭示了这种复杂的依存关系，准确测定现象之间的数量变动．以提高预测和控制的准确度．

本文中详细的阐述了线性回归的定义及其线性模型的简单分析并应用了最小二乘法原理．具体介绍了线性回归分析方程参数估计办法和其显著性检验．并充分利用回归方程进行点预测和区间预测．

但复杂的计算给分析方法推广带来了困难，需要相应的操作软件来计算回归分析求解操作过程中的数据．以提高预测和控制的准确度．从而为工农业生产及研究起到强有力的推动作用．

关键词：线性回归；最小二乘法；数学模型

目 录

第一章 前言………………………………………………………………

用Excel进行一元线性回归分析

Excel功能强大，利用它的分析工具和函数，可以进行各种试验数据的多元线性回归分析。本文就从最简单的一元线性回归入手.

在数据分析中，对于成对成组数据的拟合是经常遇到的，涉及到的任务有线性描述，趋势预测和残差分析等等。很多专业读者遇见此类问题时往往寻求专业软件，比如在化工中经常用到的Origin和数学中常见的MATLAB等等。它们虽很专业，但其实使用Excel就完全够用了。我们已经知道在Excel自带的数据库中已有线性拟合工具，但是它还稍显单薄，今天我们来尝试使用较为专业的拟合工具来对此类数据进行处理。

文章使用的是2000版的软件,我在其中的一些步骤也添加了2007版的注解.

1 利用Excel2000进行一元线性回归分析

首先录入数据.

以连续10年最大积雪深度和灌溉面积关系数据为例予以说明。录入结果见下图（图1）。

图1

第二步，作散点图

如图2所示，选中数据（包括自变量和因变量），点击“图表向导”图标；或者在“插入”菜单中打开“图表（H）(excel2007)”。图表向导的图标为。选中数据后，数据变为蓝色（图2）。

图2

）：

点击“图表向导”以后，弹出如下对话框（图3

在左边一栏中选中“XY散点图”，点击“完成”按钮，立即出