1.3.1单调性与最大(小)值教案

《高一数学导学案》 1.3.单调性与最大（小）值

永康明珠学校 熊伟

第二课时

学习目标:

1.理解函数的最大（小）值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最大（小）值．

2.借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想．

一、自主学习

画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

（1）f(x)??2x?3，x?R （2）f(x)??2x?3，x?[?1,2]

（3）f(x)?x2?2x?1

（4）f(x)?x2?2x?1 x?[?2,2]

（5）y?2x （6）y?2x x?[?2，0）?(0,2]⑴指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

⑵请给出最大值的定义（课本３０页）.

1

⑶函数最大值的几何意义是什么？

⑷类比函数最大值的定义，给出函数最小值的定义及几何意义．

二、合作探讨

１、函数y??2x?4，x?(?1,3]有最大值吗？若有，最大值是多少？

函数y??2x?4，x?(?1,3]有最小值吗？若有，最小值是多少？

２、f(x)??x2?6x?8,x?[0,4]的最大值是_________,最小值是_______

高中数学新课程标准教材

数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )

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高中数学教案

文讯教育教学设计高中数学《单调性与最大(小)值》说课稿

教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本说课稿资料适用于高中数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。

一、教材分析

1.教学内容

本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。

2. 教材的地位和作用

函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。

3.教材的重点﹑难点﹑关键

教学重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。明确单调性是一个局部概念.

教学难点：领会函数单调性的实质与应用，明确单调性是一个局部的概念。

第2页共10页

高中数学教案

§1.3.1 单调性与最大（小）值（1）

1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；

3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

2729

引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

复习1：观察下列各个函数的图象.

探讨下列变化规律：

① 随x 的增大，y 的值有什么变化？

② 能否看出函数的最大、最小值？

③ 函数图象是否具有某种对称性？

复习2：画出函数()2f x x =+、2()f x x =的图象.

小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：单调性相关概念

思考：根据()2f x x =+、2()(0)f x x x =>的图象进行讨论：随x 的增大，函数值怎样变化？当x 1>x 2时，f (x 1)与f (x 2)的大小关系怎样？

问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

新知：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.

新知：如果函数f (x )在某个区间D 上

3.3数导研在究函中的数用应3.3.1函数单调性与导 数

v 观察、一P2: h h2t( ) 49.t 2 6 5t. 1 0h (' t) .9t 8 65.

0a

bt

0 a t 运b动从起员跳最高到点，以及从最点高入水到 两这时间的段运动态状什有区别？么1()运动从员跳到最高点，起离面水的度高h随时间的增t加而 加增即，h(t是增函)数。应地，v相t() h '(t ) 0 .2)(最高点到入从水运，员动离水面的高h随时度间t增加的而减小 ，h即()是t减数。函应地，v(t相) h (t') 0.

思考：这种况是情否有一具性呢般？

y

y xy

y x2

xO

xO

y

y x3

y

y 1xx

OxO

y函数单调加增f ( x>0)

f(x) 0

=数函单减调少f ( x<) 0 f x)<( f0f x)(<0 ( x)<0f ( x)<0

f (x)>0f x()>0f (x)0>0x

Ox

数单函性的判调定定：一理地般函，的单数性调与其导数的函正有如负下系关：

某在区间(个 a b,内 如)果f ´x) > 0,(函数则在个这间区

函数的单调性与最值

一、函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1

设f(x)在某个区间(a，b)内有导数，若f(x)在区间(a，b)内，总有f′(x)>0[f′(x)<0]，则f(x)在区间(a，b)上为增函数(减函数)；反之，若f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)，则f′(x)≥0[f′(x)≤0]．请注意两者的区别所在．

1．下列函数在其定义域上是增函数的是( )

A．y＝tan x

B．y＝－3x C．y＝3x

D．y＝ln |x|

自左向右看图象是________ 解析：y＝tan x只在其周期内单调递增，y＝－3x在R上单调递减，y＝3x在R上单调递增，y＝ln |x|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

答案：C

2．(2013·海淀区一模)已知a＞0，下列函数中，在区间(0，a)上一定是减函数的是( )

A．f(x)＝ax＋b B．f(x)＝x2－2ax＋1 C．f(x)＝ax D．f(x)＝logax

解析：a＞0时，函数f(x)＝ax＋b，为增函数；对于函数f(x)＝ax，当0＜a＜1时，在R上为减函数，当a＞1时，在R上为增函数；对于f(x)＝logax,0＜a＜1时，在(0，＋∞)上为减函数；当a＞1时在(0，＋∞)上为增

06函数的单调性与最值

函数的单调性与最值

06函数的单调性与最值

知识网络定义 函数的概念 三要素 表示 定义域 对应法则 值域 单调性 对称性 函数的 基本性质 奇偶性 周期性 最值 函数常见的 几种变换 基本初等 函数

列表法 解析法 图象法 观察法、判别式法、分离常数法、 单调性法、最值法、重要不等式、 三角法、图象法、线性规划等

1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性. 2.复合函数单调性：同增异减. 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x). 2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立. f (x+T)=f (x);周期为T的奇函数有： f (T)=f (T/2)=f (0)=0. 二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、 线性规划、导数、利用单调性、数形结合等. 平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.

函 数

正(反)比例函数; 一次(二次)函数; 幂、指、对函数;单调性：同增异减 定义、图象、 性质和应用

复合函数抽象函数 函数与方程 函数的应用 常见函数模型

赋值法函数零点、二分法、一元二次方程根的分布

幂、指、对函数模型；分段函数；对

利用导数判断函数的单调性

日照实验高中2007级数学导学案---导数

利用导数判断函数的单调性

证法一：(用以前学的方法证)任取两个数 x1,x2∈(0,+∞)设 x1<x2. f(x1)-f(x2)=

1 1 x2 x1 = x1 x2 x1 x2

教师备课 学习笔记

∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0

∵x1<x2,∴x2-x1>0, ∴

x2 x1 >0 x1 x2∴f(x)=

∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 证法二：(用导数方法证) ∵f′(x)=(

1 在(0,+∞)上是减函数. x

1 1 - )′=(-1)·x 2=- 2 ,x>0, x x 1 1 <0. ∴f′(x)<0,∴f(x)= 2 在(0,+∞)上是减函数. 2 x x

∴x2>0,∴-

例 4 求函数 y=x2(1-x)3 的单调区间. 解：y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x) 令 x(1-x)2(2-5x)>0,解得 0<

【精品】高中数学1[1].3.1单调性与最大(小)值优秀学生寒假必做作业练习一新人教A版必修1

1、3、1单调性与最大（小）值 练习一

一、选择题

1、函数y＝＝x2－6x＋10在区间（2，4）上是（ ）

A、递减函数

B、递增函数 D、选递增再递减、 C、先递减再递增

2、函数f（x）＝－x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4）上是增函数，则a的范围是（ ）

A、a≥5 B、a≥3 C、a≤3 D、a≤－5

3、若函数f(x)在区间（a，b）上为增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数f(x)

在区间（a，c）上（ ）

A、必是增函数

B、必是减函数 D、无法确定增减性 C、是增函数或是减函数

4、设函数f (x)＝ax2＋bx＋c对任意实数t都有f (2＋t)＝ f (2－t)成立，在函数值f

(－1)，f (1)，f (2)，f (5)中的最小的一个不可能是 ( )

A、f (－1) B、f (1) C、f (2) D、f (5)

＋5、已知ｘ，ｙ∈Ｒ，且11 1,则ｘ＋４ｙ的取值范围是（ ） xy

A、［8，＋∞］ B

利用导数判断函数的单调性

日照实验高中2007级数学导学案---导数

利用导数判断函数的单调性

证法一：(用以前学的方法证)任取两个数 x1,x2∈(0,+∞)设 x1<x2. f(x1)-f(x2)=

1 1 x2 x1 = x1 x2 x1 x2

教师备课 学习笔记

∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0

∵x1<x2,∴x2-x1>0, ∴

x2 x1 >0 x1 x2∴f(x)=

∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 证法二：(用导数方法证) ∵f′(x)=(

1 在(0,+∞)上是减函数. x

1 1 - )′=(-1)·x 2=- 2 ,x>0, x x 1 1 <0. ∴f′(x)<0,∴f(x)= 2 在(0,+∞)上是减函数. 2 x x

∴x2>0,∴-

例 4 求函数 y=x2(1-x)3 的单调区间. 解：y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x) 令 x(1-x)2(2-5x)>0,解得 0<

含答案

第二讲 函数的单调性与最值

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

若函数f(

x)在区间D上是________或________，则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间.

2.函数的最值

含答案

1. f(x)＝x2－2x (x∈[－2,4])的单调增区间为__________；f(x)max＝________. 2x

2.函数f(x)＝[1,2]的最大值和最小值分别是________________.

x＋1

3.已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)、B(－3,2)在其图象上，则不等式－2<f(x)<2的解集为________________________________________________________________. 4.下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是( ) 1A.f(x)＝

xC.f(x)＝e2

B.f(x)＝(x－1)2

D.f(x)＝ln(x＋1)

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