数学建模选址问题常见模型

学校选址问题

摘 要

本文针对某地新开发的20个小区建设配套小学问题建立了0-1规划模型和优化模型。为问题一和问题二的求解，提供了理论依据。

模型一：

首先：根据目标要求，要建立最少学校的方案列出了目标函数：

s??xi

i?116然后：根据每个小区至少能被一所学校所覆盖，列出了20个约束条件;

最后：由列出的目标函数和约束函数，用matlab进行编程求解，从而得到，在每个小区至少被一所学校所覆盖时，建立学校最少的个数是四所，并且一共有22种方案。

模型二：

首先：从建校个数最少开始考虑建校总费用，在整个费用里面，主要是固定费用，由此在问题一以求解的条件下，进行初步筛选，得到方案1,4,8的固定成本最少。

然后：在初步得出成本费用最少时，对每个这三个方案进一步的求解，求出这三个方案的具体的总费用，并记下这三套方案中的最小费用。

其次：对这三套方案进行调整，调整的原则是：在保证每个小区有学校覆盖的条件下，用多个固定成本费用低的备选校址替换固定成本费用高的备选校址。在替换后，进行具体求解。

再次：比较各种方案的计算结果，从而的出了如下结论： 选用10,11,13,15,16号备选校址的选址方案，花费最少，最少花费为13378000元。

长 沙 学 院

数学建模课程设计说明书

题系

(

部

目 )

选址问题 数学与计算机科学 数学与应用数学

专业(班级) 姓学指起

名 号

导止

教日

师

期 2015、6、1——2015、6、5

课程设计任务书

课程名称：数学建模课程设计

设计题目：选址问题

已知技术参数和设计要求：

选址问题（难度系数1.0）

已知某地区的交通网络如下图所示，其中点代表居民小区，边代表公路，边上的数字为小区间公路距离（单位：千米），各个小区的人数如下表所示，问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民人均就诊时所走的路程最近？

v560

30v3 20v4

20 2518 3015v6v215 v1v7

各个小区的人数 1 2 3 4 5 6 7 小区 5359 8960 9600 7890 6731 7694 8136 人数 各阶段具体要求：

1．利用已学数学方法和计算机知识进行数学建模。

2．必须熟悉设计的各项内容和要求，明确课程设计的目的、方法和步骤。 3．设计中必须努力认真，独立地按质按量地完成每一阶段的设计任务。 4．设计中绝对禁止抄袭他人的设计成果。

5．每人在设计中必须遵守各组规定的统一设计时间及有关纪律。 6．所设计的程

学校选址问题

摘要

本文为解决学校选址问题，建立了相应的数学模型。 针对模型一

首先，根据已知信息，对题目中给出的数据进行处理分析。在保证每个小区,学生至少有一个校址可供选择的情况下，运用整数规划中的0-1规划法，列出建校方案的目标函数与其约束条件，通过LINGO软件，使用计算机搜索算法进行求解。得出建立校址的最少数目为4个。再运用MATLAB软件编程，运行得到当建校的个数为4个时，学

首先，对文中给出的学校建设成本参数表和各校区1到6年级学龄儿童的平均值（样本均值）进行分析，可知20个小区估计共有4320个学龄儿童，当每个学校的平均人数都小于600时，至少需要建设8个学校；其次，模型一得到最少的建校数目为4个，运用MATLAB软件编程，依次列出学校个数为4、5、6、7、8时的最优建校方案，分别算出其最优建校方案下的总成本；最后，通过对比得出，最低的建校总成本为1650万，即选取校址10、11、13、14、15、16建设学校。

最后，我们不但对模型进行了灵敏度分析， ，保证了模型的有效可行。

关键词： MATLAB 灵敏度 0-1规划 总成本 选址

1 问题重述

当代教育的普及，使得学校的建设已成为不得不认真考虑的问题。 1.1已知信息

1、某地新开发

长 沙 学 院

数学建模课程设计说明书

题系

(

部

目 )

选址问题 数学与计算机科学 数学与应用数学

专业(班级) 姓学指起

名 号

导止

教日

师

期 2015、6、1——2015、6、5

课程设计任务书

课程名称：数学建模课程设计

设计题目：选址问题

已知技术参数和设计要求：

选址问题（难度系数1.0）

已知某地区的交通网络如下图所示，其中点代表居民小区，边代表公路，边上的数字为小区间公路距离（单位：千米），各个小区的人数如下表所示，问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民人均就诊时所走的路程最近？

v560

30v3 20v4

20 2518 3015v6v215 v1v7

各个小区的人数 1 2 3 4 5 6 7 小区 5359 8960 9600 7890 6731 7694 8136 人数 各阶段具体要求：

1．利用已学数学方法和计算机知识进行数学建模。

2．必须熟悉设计的各项内容和要求，明确课程设计的目的、方法和步骤。 3．设计中必须努力认真，独立地按质按量地完成每一阶段的设计任务。 4．设计中绝对禁止抄袭他人的设计成果。

5．每人在设计中必须遵守各组规定的统一设计时间及有关纪律。 6．所设计的程

仓库选址问题

摘要

随着全球经济的一体化，物资流通的范围已经不仅仅局限在国家内部，而是也走向来了世界各地。面对多种多样的物资运输方案，就需要我们从中选择一种最节约费用的方案来实施。基于此，本文针对美国超级医疗设备公司选址问题给出了两种数学模型。全文首先对给出的题目进行数学分析，分析数据之间的直观联系和潜在联系，把数据从现实问题中抽离出

来转化为纯粹的数学符号，然后借助于数学分析中求解重心坐标的公式

(

、

Dix--第i个地点的x坐标；Diy--第i个地点的y坐标；Vi--运到第i个地点

或从第i个地点运出的货物量两点间距离公式和数理统计中求解加权平均值的方法对数据进一步整合。在此基础上，将之转化为MATLAB计算语言进行数据操作，一方面，借助于MAYLAB绘图工具将题中给出的数据再现于图中，直观明了，便于从图中发现些隐含信息；另一方面，利用MATLAB程序设计中的循环结构进行必要的编程和计算。由于每种方案的均相等，所以只需比较一下每种方案的总成本（外向运输成本和内向运输成本）即可，总成本最低的城市即为最佳选址点，利用方案比较法最终得出结论。 关键词：重心法、加权平均值法

一、问题重述

美国超级医疗设备公司在亚利桑那州的菲尼克斯和墨西哥的蒙

仓库选址问题

摘要

随着全球经济的一体化，物资流通的范围已经不仅仅局限在国家内部，而是也走向来了世界各地。面对多种多样的物资运输方案，就需要我们从中选择一种最节约费用的方案来实施。基于此，本文针对美国超级医疗设备公司选址问题给出了两种数学模型。全文首先对给出的题目进行数学分析，分析数据之间的直观联系和潜在联系，把数据从现实问题中抽离出

来转化为纯粹的数学符号，然后借助于数学分析中求解重心坐标的公式

(

、

Dix--第i个地点的x坐标；Diy--第i个地点的y坐标；Vi--运到第i个地点

或从第i个地点运出的货物量两点间距离公式和数理统计中求解加权平均值的方法对数据进一步整合。在此基础上，将之转化为MATLAB计算语言进行数据操作，一方面，借助于MAYLAB绘图工具将题中给出的数据再现于图中，直观明了，便于从图中发现些隐含信息；另一方面，利用MATLAB程序设计中的循环结构进行必要的编程和计算。由于每种方案的均相等，所以只需比较一下每种方案的总成本（外向运输成本和内向运输成本）即可，总成本最低的城市即为最佳选址点，利用方案比较法最终得出结论。 关键词：重心法、加权平均值法

一、问题重述

美国超级医疗设备公司在亚利桑那州的菲尼克斯和墨西哥的蒙

选择应急中心位置

摘要

随着国家经济的不断发展，国家工业化和城市化的不断深入，重大自然灾害，重大事故灾难，重大卫生事件和重大社会安全问题时有发生。维持社会治安，保护人民生命财产安全显得尤为重要。如何在第一时间赶到事发现场？是否在第一时间赶到现场？这两问题直接决定了应急抢救的成效。

选择应急中心位置属于最佳选址问题。选址问题的应用非常广泛，应急中心选址只是他的一个应用领域。在生产生活，物流，甚至军事中都有着重要的作应用。例如：工厂，仓库，垃圾处理中心，物流中心，导弹仓库等的选址。选址问题是一种重要的长期决策，它的好坏直接影响到服务方式，服务质量，服务效率，服务成本。因此能影响到利润和市场竞争力，甚至决定了企业的命运。所以选址问题的研究有着重大的经济社会和军事意义。

选址问题研究的典型例如Weber问题，中值问题，覆盖问题，中心问题，多目标选址，竞争选址，不受欢迎的选址，选址-分配，选址-路线等。随着选址理论的发展，很多种中心选址的方法被开发出来，归结起来主要可分为五种方法：解析方法，最优化线性方法，启发方法，仿真方法以及综合因素评价法，遗传算法，随即分析，模糊数学分析等等。 【1】

机场选址问题

摘 要

针对机场选址问题，文章共建立了三个模型用以解决该类问题。为了计算出任意两城市之间的距离，我们利用公式（1）将利用题目中所给的大地坐标得出了任意两点之间的距离，见附录2。

对于问题1，我们主要利用0-1变量法，从而对问题进行了简化。我们设了第i个城市是否建支线机场的yi以及第i个城市是否是以第j个支线机场为最近机场的x?i,j?。然后将任意两点之间的距离与该城市的总人数之积，再乘以0-1变量x?i,j?，最后得出每一个所有城市到最近机场的距离与该城市人口的乘积，然后利用LINGO进行编写程序，进行最优化求解，最后得出的结果见表1和表2，各大城市以及支线机场的分布见图2。

对于问题2， 该问题是属于多目标规划的问题，目标一是居民距离最近机场的距离最短，目标二是每个机场覆盖人口数尽可能相等。我们在第一题的基础上，又假设了一些正、负偏差变量，对多个目标函数设立优先级，把目标函数转化为约束条件，进而求得满足题目要求的结果。

对于问题3， 我们分析到影响客流量的因素是GDP跟居民人数，所以通过所搜集的资料分析我们给予这两个因素以不同的权重。然后同样采取问题2中所给的反求机场覆盖的方法，求的各个机场所覆盖的客流量，再让其在平均

物流预选址问题 ........................................................................................................................ 2 摘要 .......................................................................................................... 错误！未定义书签。 一、问题重述 ............................................................................................................................ 2 二、 问题的分析 ...................................................................................................................... 3

2.1 问题一：分析确定合理

评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如 2005 年全国赛 A 题长江水质的评价问题， 2008 年 B 题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。

层次分析模型

层次分析法 (AHP) 是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。

运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：

步骤 1 建立层次分析结构模型

深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层 ( 目标 — 准则或指标 — 方案或对象 ) ，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。

步骤 2 构造成对比较阵

对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比 较 ，借助 1~9 尺度， 构造比较矩阵；

步骤 3 计算权向量并作一致性检验

由判断矩阵计算被比较元