复变函数考试题

复变函数与积分变换试题

课程代码：02199

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设f(z)?z2?3iz?2，则f(z)的零点个数为( ) A．0 B.1 C.2

D.3

2．函数f(z)?z2在复平面上( ) A．处处不连续

B.处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点z=0可导 D.处处连续，仅在点z=0解析

3．2sini=( ) A．(e?1?e)i B.(e?1?e)i C．(e?e?1)i

D．e?e?1

4．设C是正向圆周z?2，则

??dz=( Cz2) A．0 B．?2?i C．?i

D．2?i

0的正向简单闭曲线，则??z55．设C是绕点z0?dz? ( ) C(z?z30)A．2?i B．20?z30i C．2?z50i

D．0

6．C1，C1与z?2?1,则12?i?C?ez2分别是正向圆周z?dz?1??sinzdz?( 1z?22?iC2z?2A．2?i

B．cos2

浙02199# 复变函数与积分变换试卷 第1页(共4页)

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《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题（一） 判断题（20分）

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 22sinz?cosz? _________. 2.

3.函数sinz的周期为___________.

2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则{Re zn}与{Im zn}都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）.( ) 5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若zlim?zf(z)0存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C

?Cf(z)dz?0.(

复变函数

一、选择题

1. 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)且u(x,y)是区域D内的调和函数,则当v(x,y)在D内是（ C ）时, f(z)在D内解析. A. 可导函数 2、复积分?

B.调和函数

C.共轭调和函数

dz的值为（ B ） n(z?a)C(A) 0 (B) 0;2?i (C) 不存在 (D) 2?i

3、z?0是f(z)?sinz的奇点类型是（ D ） z(A) 一阶极点 (B) 本性奇点 (C) 不是奇点 (D) 可去奇点

4、计算(e1??i2)的结果是（ B ）

(A) i (B) ?i (C) 0 (D) ?i

5、下列函数在Sz处处解析的是（ C ）

(A) f(z)=ez (B) f(z)=z (C) f(z)=ez (D) f(z)=zRe z

6．当x〈0, y?0时,argz=( C ).

yyA

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则

{Re zn}{Im zn}与

都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C

?C

复变函数测验题

第一章 复数与复变函数

一、

选择题

1．当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（ ） 1?i（A）i （B）?i （C）1 （D）?1 2．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?，那么z?（ ） 61331?i （D）??i 2222（A）?1?3i （B）?3．复数z?tan??i(3?i （C）??????)的三角表示式是（ ） 2?[cos(??)?isin(??)] （B）sec?[cos(（A）sec22??3?3???)?isin(??)] 22?[cos(（C）?sec3?3?????)?isin(??)]（D）?sec?[cos(??)?isin(??)] 2222224．若z为非零复数，则z?z与2zz的关系是（ ）

2222（A）z?z?2zz （B）z?z?2zz

22（C）z?z?2zz （D）不能比较大小

５．设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x?11?yi,z2?x?11?yi且有z1?z2?12，的轨迹是（ ）

（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线

西安交通大学考试题复变函数 (A卷)

一、解答下列各题（每题6分，共60分）

1． 求Ln(?1?i)的值以及相应的主值。

2． 设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)为解析函数，求m,n,l的值。

3． 判定函数f(z)?x2?2yi在何处可导，何处解析？

4． 求?e2zdz，其中C为自－i到i的右半圆周。

C

ez?15． 求?dz，其中C为z?2的正向。 3?2zC

3zzcoszedz，其中C为包围0的光滑闭曲线。 6．求??C

7．若幂级数?cnzn的在点z??1?2i条件收敛，求该级数的收敛半径。

n?1?

1的奇点，并指出奇点的类型。

z2(ez?1)?i9．判定级数?2?cosin是否收敛。

n?1n

ez10．求f(z)?2在有限远奇点处的留数。

z?2z

1二（10分）将函数f(z)?在以i为中心的园环域内展开成洛朗级数。

z(1?z)2

??2xsinxdx。 三（10分）用留数计算广义积分?01?x2

114四（10分）判定命题limz4sin?0是否正确，并求?zsindz，其中C为z?1?z?0zzC8．求f(z)?的正向。

五（10分）求一个函数w?f(z)，使得它把右半带形区域

{z

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u