Rolle定理证明

维普资讯

3 8

高等数学研究STU DI N ES I COLLEGE M ATH EM ATI CS

V o1 .5. o.3 N Se p., 2 002

利用 Rol l e定理证明时求原函数的若干方法王顺凤 (京气象学院数学系江苏南京 2 0 4 )南 1 0 4证明“ ∈( 6使厂(一 0是微分中值定理应用中的重要题型，常可以用 Rol理来证 j n, ) )”常 l e定明，即将问题转化为求厂(的原函数 F(, F(利用 Rol理来证明 F ( (厂( ) (, ) )对 ) l e定 )即 )在 n 6内存在零点。所以，找原函数 F(是利用这一方法解决问题的关键。对于命题“ ∈ ( 6使 )寻 )了 n,)/ (= 0或 ( ) )= (= 一0” )的证明也常常采用上面的方法。这一方法是学生普遍感到困难的地方，是

教学的难点。文针对这一问题进行了探讨，结了原函数 F(的四种求法，举例说明了在利用本总 )并R l ol理证明上述这类命题时的应用。 e定一

、

观察法

根据函数的求导法则及经验直接观察函数厂(的原函数 F(。 z) )

例 1设厂(在[,]连续， (, )可导，厂( ) ) 0 1上在 01内且 0一厂( ),明

1

无税收条件下的MM定理 1.1 假设条件

假设1：无摩擦市场假设

? 不考虑税收；

? 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； ? 无关联交易存在；

? 不管举债多少，公司和个人均无破产风险；

? 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；

不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等；

? 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； ? 投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。

假设2：一致预期假设

? 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且

对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。

1.2 MM定理第一命题及其推论

MM定理第一命题：

有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。

第一命题的含义：

即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。这说明未来具有完全相同的盈利能

学习目标: (1)理解什么是定理和证明. (2)知道如何判断一个命题的真 假.

学习重点: 理解证明要步步有据.

问题1 请同学们判断下列命题哪些是真命题？哪些 是假命题？

(1)在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行 线中的一条，那么也垂直于另一条； (2)如果两个角互补，那么它们是邻补角； (3)如果 a b ,那么a=b; (4)经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 平行； (5)两点确定一条直线.

1、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践 中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真 假的原始依据，这样的真命题叫做公理。 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用 逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以 进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的 真命题叫做定理。

公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。

定理问题1中的(1)(4)(5)它们的正确性是经过推 理证实的，这样得到的真命题叫做定理(theorem). 定理也可以作为继续推理的依据. 问题2 你能写出几个学过的公理和定理吗？

公理举例： 1、直线公理： 经过两点有且只有一条直线。 2、线段公理： 两点的所有连线中，线段最短。 3、平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条 直线与

第五章 相交线与平行线

5.3 平行线的性质5.3.2 命题、定理、证明(1)

创设情境 引入新知

问题情境一：下列语句在表述形式上，哪些是 对事情作了判断？(1)对顶角相等. √ (2)画一个角等于已知角. (3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角 互补. √ (4)a、b两条直线平行吗？ (5)如果两条直线都与第三条直线平行，那么 这两条直线也互相平行. √ (6)等式两边加同一个数，结果仍是等式. √

归纳新知 形成概念

—命题一、命题的概念判定一件事情的语句，叫做命题. 问题： (1)你能举出1 ~ 2个命题的例子吗？ (2)你能发现命题在结构上的共同特征吗？

归纳新知 形成概念

—命题二、命题的构成命题由题设和结论组成. 题设是已知项， 结论是由已知项推出的事项.

例如， 两直线平行，同位角相等.题设 结论

归纳新知 形成概念

—命题三、命题的书写形式数学中的命题常可以写成“如果 那么 ”的形式，这时“如果”后接的部 分是题设，“那么”后接的部分是结论. 例如， “两条平行线被第三条直线所截， 同旁内角互补”可以写成 “如果两条直线被第三条直线所截， 那么同旁内角互补”.

创设情境 引入新知

命题 “对顶角相 等”是假命 下列语句是命题吗？它们的共

篇一：勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明（看前5个就可以了）

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11

a2?b2?4?ab?c2?4?ab

22， 整理得 a2?b2?c2.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

1ab

等于2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、

C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,

∴ ∠D

篇一：弦切角定理

幻灯片1

幻灯片2

画一个圆O和一条切线L，

切点为A，AE是圆的一条弦，直线L上有一点D，如图

A

L

F

D

·

角EAD，角EAF

O

E

幻灯片3

新知：

弦切角定理：

弦切角等于它所夹弧所对的圆周角， 等于它所夹弧的度数的一半.

幻灯片4

?

?

?

?

?

?

幻灯片5

学案反馈：

? 优秀个人：李星辰 朱凡 耿絮媛

? 许艳平 王甜 葛蕊

学习目标 1、 理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，能运用它们解决有关问题。 2、 通过弦切角定理的证明，了解分情况证明数学命题的思想和方法。 3、 体会分类、转化的思想方法。 重点：弦切角的概念，弦切角定理及 其推论。 难点：弦切角定理的证明。

? 存在问题：合作2、3没有把弦切角定义及定理中的条件分析清楚。

?

幻灯片6

合作 · 探究 · 交流 · 纠错

(一）讨 论 目 标：

1、每位同学都能理解弦切角的定义、定理。

2.通过积极参与和积极探究,培养分析问题和解决问题的能力

(二)重点讨论的问题：

2，3

·

(三)讨论要求：

1.先组内 “ 强帮弱” 、最后集体讨论争取解决基本问 题， 为展示点评做好准备；同时用红色笔记住疑惑。

2.力争全部达成目标，且A层多拓展,B层注重总结，C层力争全部掌握。

在交流中融情在讨论中提升

幻灯片7

要求

篇一：弦切角定理及推论

弦切角定义

顶点在圆上，一边和圆相交，另

图示

一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。

弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠

TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：

（1） 圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角

B点应在A点左侧

（2） 圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的

劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴ ∠CEA=∠CAB∴ （

篇一：正弦定理的几种证明

正弦定理的几种证明

内蒙古赤峰建筑工程学校 迟冰 邮编（024400）

正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题（测量）的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养学生的探索精神，体验数学的探索活动过程，也有利于教师根据不同的教学质量要求和学次，进行适当的选择。

正弦定理的内容：

在?ABC中的三边和三角分别是

a

sinA=b

sinB=c

sinC:a,b,c和A,B,C则：

一向量法

证明：在?ABC中做单位向量

i?AB?i?(AC?CB)

|sinA?|i||CB|sinCi

⊥AC,，则：?c

sinC

a

sinA?

:bsinBa

sinA?b

sinB?c

sinC 同理可证：即正弦定理可证

证明：在?ABC中做高线CD,

则在Rt?ADC和Rt?BDC中

CD=bsinA,

CD=asinB

即bsinA=asinB

a

sinA=b

sinB,同理可证：ac

sinA=sinC,

即正弦定理可证

三外接圆法

证明：做

?ABC的外接圆O,过点C连接圆心与圆交于点设圆的半径为R

∴?CAD为Rt?,且b?RsinD,且a∠D?∠B

∴b?2RsinB,即b

sinB?2R

同理:ac

sinA?2R,sinC?2R

∴ac

sinA?b

si

篇一：余弦定理的证明方法大全(共十法)

余弦定理的证明方法大全(共十法)

一、余弦定理

余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在?ABC中,已知AB?c,BC?a,CA?b,则有

a2?b2?c2?2bccosA, b2?c2?a2?2cacosB, c2?a2?b2?2abcosC.

二、定理证明

为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:

在?ABC中,已知AB?c,AC?b,及角A,求证:a2?b2?c2?2bccosA. 证法一:如图1,在?ABC中,由CB?AB?AC可得:

CB?CB?(AB?AC)?(AB?AC)

?AB?AC?2AB?AC

?b2?c2?2bccosA

图1

2

2

即,a2?b2?c2?2bccosA.

证法二:本方法要注意对?A进行讨论.

(1)当?A是直角时,由b2?c2?2bccosA?b2?c2?2bccos90??b2?c2?a2知结论成立. (2)当?A是锐角时,如图2-1,过点C作CD?AB,交AB于点D,则

在Rt?ACD中,AD?bcosA,CD?bsinA.

从而,BD?AB?AD?c?bcosA.

在Rt?BCD中,由勾股定理可得:BC2?BD2?CD2

?(c?bcosA

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

abba aaca a cbc ab bcb cbbca a abb做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11a2?b2?4?ab?c2?4?ab22， 整理得 a2?b2?c2.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

1ab2等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、

C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, GDb∴ ∠AHE = ∠BEF.

a∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, c∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. H∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

c∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 b正方形. 它的面积等于c2.

a∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, AE∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 9