解析几何中的蝴蝶定理

几何中的蝴蝶定理

几何之蝴蝶定理

一、 基本知识点

模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：

即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。

b

S1︰S2 =a︰b ； 模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）

如图，三角形AED占三角形ABC面积的

211

×= 346

模型二：任意四边形中的比例关系 （我们把它称作蝴蝶定理）

As2

B

D

s1S3

C

S4

①S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4 ②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）

模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）

几何中的蝴蝶定理

as1s2

S3b

S4

①S1︰S3=a︰b

22

②S1︰S3︰S2︰S4= a︰b︰ab︰ab ;

2

③S的对应份数为（a+b）模型四：相似三角形性质

22

bB

ha

cCH

ah

c

BHA

A

①

abch

; ABCH

2

2

②S1︰S2=a︰A

二、 例题分析

例1、如图，AD DB，AE EF FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是多少平方厘米？

例2、有一个三角形ABC的面积为1，如图，且AD 三角形DEF的面积.

A

111

AB，BE BC，CF CA，求234

D

例3、如图，在三角形ABC中，

汤建良：《解析几何》课程教学大纲

深圳大学数学与计算科学学院

课程教学大纲

（2006年10月重印版）

课程编号 22143102

课程名称 解析几何

课程类别 专业必修

教材名称 解析几何

制 订 人 汤建良

审 核 人 刘则毅

2005年 4 月修订

- 1 -

汤建良：《解析几何》课程教学大纲

一、课程设计的指导思想

（一）课程性质 1．课程类别：专业必修课 2．适应专业：数学与应用数学专业（应用数学方向） 3．开设学期：第壹学期 4．学时安排：周学时3，总学时42 5．学分分配：3学分 （二）开设目的 解析几何是中学几何的继续与发展，既有深刻的数学理论意义，也有广泛的实际应用价值。在实际工程中的许多重要领域都有它的应用价值。通过本课程的学习，同学们还可以加深对中学三角和几何学的认识与理解，有助于解决一些初等数学问题。解析几何的一些思想方法在数学中具有普遍性。通过本课程的学习，能使学生提高数学素养，并为学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 （三）基本要求 掌握解析几何的基本理论与方法，深刻理解解

探究圆锥曲线中的存在性问题

1．求曲线（或轨迹）的方程。对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；

2．与圆锥曲线有关的最值（或极值）和取值范围问题，圆锥曲线中的定值、定点问题，探究型的存在性问题。这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。 一、是否存在这样的常数

x2例1．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆?y2?1有两个不同的

2交点P和Q． （I）求k的取值范围；

（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP?OQ与

AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y?kx?2，

?1x22?2代入椭圆方程得?(kx?2)2?1．整理得??k?x?22kx?1?0 ①

?2?2直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于??8k?4?2?1??k2??4k2?2?0， ?2???2??222?∞，?，?∞?解得k??或k?．即k的取值范围为?．

篇一：解析几何知识点总结

抛物线的标准方程、图象及几何性质：p?0

1、定义：

2、几个概念：

① p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，故p为正数；1

② ；

4

③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径：2p

3、如：AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN?l，N为垂足，BD?l，AH?l，D，H为垂足，求证：

（1）HF?DF； （2）AN?BN； （3）FN?AB；

（4）设MN交抛物线于Q，则Q平分MN；

2

（5）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2??p，x1x2?

12

p； 4

（6）1?1

|FA|

|FB|

?

2； p

（7）A,O,D三点在一条直线上

2

（8）过M作ME?AB，ME交x轴于E，求证：|EF|?1|AB|，|ME|?|FA|?|FB|；

2

1、 双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|e(e注意： |

F1F2|）的点的轨迹。

?1)的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。

PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a（2a?|F1F2

向量在解析几何中的应用

嵩明县第一中学：吴学伟 2006年12月5日星期二

解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。近年来命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其它相关知识，设计出与轨迹问题的交汇与整合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与整合。

一、向量基础知识

（1）、向量的数量积定义：ab |a||b|cos （2）、向量夹角公式：a与b的夹角为 ，则cos

ab

|a||b|

（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线 存在惟一的 R，使b a。 （4）、两向量平行的充要条件：向量a (x1,y1),b (x2,y2)平行 x1y2 x2y1 0 （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ab 0 x1x2 y1y2 0 （6）、向量不等式：|a| |b| |a b|，|a||b| |ab|

（7）、向量的坐标运算：向量a (x1,y1),b (x2,y2)，则ab x1x2 y1y2 二、向量的应用

1、利用向量证明等式

材料一：已知 、 是任意角，求证：cos( ) cos cos sin sin 。 证明：在单位圆上，以x轴为始边作角 ，终边交单位圆于A

浅谈解析几何中的对称问题

解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称；线（直线或曲线）关于点成中心对称；点关于线成轴对称；线（直线或曲线）关于线成轴对称。无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。

一、中心对称：即关于点的对称问题

定义：把一个图形绕某个点旋转180o 后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。这个点叫做对称中心。

性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。

1． 点关于点对称

例1． 求P （3，2）关于M （2，1）的对称点P ’的坐标。

分析：由中心对称的性质得M 点是PP ’的中点，可求P ’（1，0） 。

小结：P （x 0,y 0）???????→?的对称点，（关于点)b a M P ’（2a －x 0,2b －y 0）（依据中点坐标

几何之蝴蝶定理

一、 基本知识点

定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。

S1 : S2 = a : b

定理2：等分点结论( 鸟头定理)

如图，三角形△AED的面积占三角形△ABC的面积的

313?? 5420

定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)

1） S1∶S2 =S4∶S3 或 S1×S3 = S2×S4

上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积

2）AO∶OC = （S1＋S2）∶（S4＋S3）

梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)

1）S1∶S3 =a2∶b2

上、下部分的面积比等于上、下边的平方比

2）左、右部分的面积相等

3）S1∶S3∶S2∶S4 =a2∶b2 ∶ab∶ab

4）S的对应份数为（a+b）2

定理4：相似三

空间解析几何

基本知识 一、向量

1、已知空间中任意两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，则向量

M1M2?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)

2、已知向量a?(a1,a2,a3)、b?(b1,b2,b3)，则 （1）向量a的模为|a|???????a1?a2?a3

222（2）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3) （3）?a?(?a1,?a2,?a3) 3、向量的内积a?b

（1）a?b?|a|?|b|?cos?a,b? （2）a?b?a1b1?a2b2?a3b3

其中?a,b?为向量a,b的夹角，且0??a,b???

注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积a?b（遵循右手原则，且a?b?a、a?b?b）

??????????????????????????ia?b?a1??ja2b2??ka3 b3??b1??5、（1）a//b?a??b?????a1a2a3 ??b1b2b3（2）a?b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0 二、平面

100

1、平面的点法式方程

已知平面过点P(x0,y0,z0)，且法向量为n?(A,B,C)，则平面方程为

《解析几何》教学大纲

一． 总 则

1． 本课程的教学目的和要求：

解析几何和其他自然科学一样，是在生产实践中产生和发展起来的，有着丰富的内容和实际背景，广泛应用于工程技术，物理、化学、生物、经济及其他领域。本课程的教学目的在于培养学生运用解析方法解决几何与实际问题的能力，掌握空间几何课程的基本知识和内容，并为进一步学习后继课程作准备。 2． 本课程的主要内容： 第一章 矢量与坐标 第二章 轨迹与方程 第三章 平面与空间直线

第四章 柱面、椎面、旋转曲面与二次曲面 第五章 二次曲线的一般理论 3． 教学重点与难点：

重点：空间直线、平面、常见二次曲面和平面、一般二次曲线的理论。 难点：已知条件求轨迹。

4． 本课程的知识范围以及与相关课程的关系：

本课程主要以线性代数为工具，研究空间解析几何，即研究空间中的直线、平面、二次曲线及平面上的二次曲线。解析几何与高等代数、数学分析有着密切的关系。在数学分析中，常常用到解析几何的方法图形的许多性质，并且解析几何为代数中不少对象提供了具体的几何解释，给代数以直观的几何形象，加强了数量关系的直观鲜明性，使几何、分析、代数构成了一个不可分

盐城师范学院考试试卷

2007 - 2008 学年 第一学期

数学科学学院 数学与应用数学专业《 解析几何》试卷A

标准答案及参考标准

一、单项选择题（本大题共5小题,每小题2分,共10分）

1-5 CDAAB

二、填空题(本大题共5小题10空,每空3分,共30分)

1.

6, 1,1, 1 或 1, 1,1 . 2. 3x 3y 2 0.

3. 9, 9, 9且 9. 4. x 3y z 5 0.

x25.

y2z2

9 4

1，4 9. 三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”.本大题共5小题，每题2分，共10分）

1-5 √×√××

四、计算题（本大题共3小题，每题10分，共30分）

1. 解 任取母线

x 11 y 1 1 z 1

2

上一点M x1,y1,z1 ，则过M的纬圆方程为 x x1 y y1 2 z z 1 0, x2 y2 z 1 2 x222 ……………………4’ 1 y1 z1 1 .

又M在母线上，有 x1 11 y1 1 1 z1 1

2

t .， ……………………7’ 联立消去参数有

5x2 5y2 2z