复旦大学出版高等数学上册答案详解

1. 解: (1)相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;

x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.

(2)相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.

(3)不相等.

因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.

2. 解: (1)要使函数有意义,必须 400x x -≥??≠? 即

40x x ≤??≠?

所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞ .

(2)要使函数有意义,必须 30lg(1)0

10x x x +≥??-≠??->? 即

301x x x ≥-??≠??

所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).

(3)要使函数有意义,必须 210x -≠ 即 1x ≠±

所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ .

(4)要使函数有意义,必须

12sin 1x -≤≤ 即

11sin 22x -≤≤ 即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π66k x k +≤≤+,(k 为整数). 也即ππππ66k x k -+≤≤+ (k 为整数). 所以函

高等数学复旦大学出版社习题答案

习题十三

1. 求下列函数在所示点的导数：

(1)f t sint π ，在点t ； 4 cost 解： πf 4

(2)g x,y x y ，在点 x,y 1,2 ； 22 x y

解：g 1,2 1 21 4

usinv u (3)T ucosv

v v u 1 ，在点 ； v π

10 1 解：T 0 1

1 0

u x2 2y (4) v x2 2xy在点 3, 2 .

2w 3xy 2y

6

解： 6

36 2 6 2

w w w,,2. 设w f x,y,z ,u g x,z ,v h x,y ，求. x y z

解： w w w v w w u w v w w u , x x v x y u y v x z u z

13.

若r r, r2, , f r , rn n 3 . r

解：

r 1111 x,y,z , r2 2 x,y,z , 3 x,y,z , f r f r x,y,z , rn nrn 2 x,y,z rrrr

高等数学复旦大学出

高等数学复旦大学出版社习题答案

习题五

． 求下列各曲线所围图形的面积：

（1） y=1

2

2 与x2+y2=8(两部分都要计算)；

解：如图D1=D2

y=1 22

解方程组得

交点A(2，2) x2+y2=8

(1)

2

D x2 1x2 dx=π+21= 02 3

∴ D+D4

12=2π+3

,

D44

3+D4=8π 2π+3=6π 3

（2） y=1

x

y=x及x=2；

22

解： D1= x 1dx= 1x2 lnx =3 ln2. 1 x 2 12

(2)

（3） y=ex，y=e x与直线x=1； 解：D= 1

ex e x)dx=e+

10(e2．

(3) （4） y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．(b>a>0)；

解：D= lnb

ylnaed

y=b

a．

(4)

1

高等数学复旦大学出版社习题答案

（5） 抛物线y=x和y= x 2；

y=x解：解方程组 得交点 (1，1)，( 1，1)

y= x2 2

2

22

D=

1

2

( x2+2 x2)dx=4 ( x+1)dx=．

0 1

1

8

3

(5) π9

（6） y=sinx，y=cosx及直线x=x=π；

44

4

解：D=2 (sinx cosx)dx =2[ cosx sinx] 4=4．

4

习题三

1. 验证：函数f(x)?lnsinx在[,π5π]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的?，使66f?(?)?0.

π5ππ5ππ5π]上连续，在(,)上可导，且f()?f()??ln2，666666π5ππ5π即在[,]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点??(,),使f?(?)?0.

6666cosxππ5ππ

?cotx?0得x??(,),故取??，可使f?(?)?0. 事实上，由f?(x)?sinx2662

证：f(x)?lnsinx在区间[,2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足定理结论中的?？

?x2, 0?x?1,⑴ f(x)?? [0,1] ；

?0, x?1, ⑵ f(x)?x?1, [0,2] ；

?sinx, 0?x?π,⑶ f(x)?? [0,π] .

1, x?0, ?解：⑴ f(x)在[0,1]上不连续，不满足罗尔定理的条件.而f?(x)?2x(0?x?1)，即在（0，1）内不存在?，使f?(?)?0.罗尔定理的结论不成立.

⑵ f(x)???x?1, 1?x

1 高等数学上（修订版）黄立宏 习题一答案

详解

1. 设{1},{2}00A x x B x x =<<≤≤,求,A B A B ,B\A .

解:

{1}{2}{1}000{1}{2}{2}000\{2}\{1}{12}{0}

00A B x x x x x x A

A B x x x x x x B B A x x x x x x =<<≤≤=<<==<<≤≤=≤≤==≤≤<<=≤≤

2. 设{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{2,4,6},{1,3,5}X A B C ====,求,A B C A B C , C X A ，C X A ∪C X B , C X A ∩C X B .

解: {1,2,3}{2,4,6}{1,3,5}A B C X ==

{1,2,3}{2,4,6}{1,3,5}A B C ==?

C X A =X\A ={1,2,3,4,5,6}\{1,2,3}={4,5,6}

C X B =X\B ={1,2,3,4,5,6}\{2,4,6}={1,3,5}=C

C X A ∪C X B ={4,5,6}∪{1,3,5}={1,3,4,5,6}

C X A ∩C X B ={4,5,6}∩{1,3,5}={5}.

3. 判定下列命题是否正确?若不正确,请举出反例.

(1)若A ∪B=A ∪C ,则B=C;

高等数学习题09答案(复旦大学出版社)

习题九

1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程： (1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点t

π; 4

解：x 2asintcost,y bcos2t,z 2ccostsint

π π π π

曲线在点t 的切向量为 T x ,y ,z a,0, c

4 4 4 4 πabc时， x ,y ,z

2224

abcx y z . 切线方程为 a0 c

当t

法平面方程为 a x

a b c

0 y ( c) z 0. 2 2 2

a2c2

0. 即 ax cz

22

5. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程： (1)z = x2+y2,点M0(1,2,5);

解：（1）令u x2 y2 z，则 ux

m0

2xm0 2, uy

m0

2ym 4, uz

m0

1.

故曲线在点M0(1,2,5)的法向量为 n 2,4 , 1

故曲面在点M0(1,2,5)的切平面方程为

z-5=2(x-1)+4(y-2).

即

高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解

高等数学上（修订版）黄立宏（复旦出版社）

习题五答案详解

1． 求下列各曲线所围图形的面积：

1（1） y=2 与x2+y2=8(两部分都要计算)；

2解：如图D1=D2

y=12

解方程组 2 得交点A(2，2)

22 x+y=8

(1)

2

12 D1= 8 x x2 dx=π+2 3 0 4

∴ D1+D2=2π+,

3

44

D3+D4=8π 2π+=6π ．

33 1

（2） y=与直线y=x及x=2；

x

113

解： D1= x dx= 2 lnx = ln2.

2 12 1 x (2)

（3） y=ex，y=e x与直线x=1；

11

x x解：D= e edx=e+2． () 0e

2

2

(3) （4） y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．(b>a>0)； 解：D=

lnbylna

edy=

b

a．

高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解

(4)

（5） 抛物线y=x2和y= x2 2；

2

解：解方程组 y=x y= x2

2

得交点 (1，1)，( 1，1) D= 1

x2 ( x2+2 )dx=4 1

高等数学（上）

第一章 函数与极限

1.

?6?设

?4??

4???|sinx|,|x|??3?(x)????0,|x|?3?, 求

????????????、???、????、?(2).

??1?()?sin?662

2??2?()?sin?442??2?(?)?sin(?)?4??2??04

22. 设f?x?的定义域为?0,1?，问：⑴f?x?； ⑵f?sinx?；

⑶f?x?a??a?0?； ⑷f?x?a??f?x?a? ?a?0?的定义域是什么？

1?； （1）0?x?1知－1?x?1,所以f(x)的定义域为?－1，22(2)由0?sinx?1知2k??x?(2k?1)?(k?Z),?2k?,(2k?1)??所以f(sinx)的定义域为

?－a,1?a?所以f(x?a)的定义域为?0?x?a?1?－a?x?1?a(4)由?知?从而得0?x?a?1a?x?1?a??1?a,1?a?当0?a?时，定义域为21当a?时，定义域为?2(3)由0?x?a?1知－a?x?1?a

3. 设

?1?f?x???0??1?x?1x?1x?1，g?x??e，求f?g?x??和g?f?x??，

x并做出这两个函数的图形。

高等数学上,复旦大学出版社,第四版,教材习题答案详解

高等数学上（复旦大学出版社，第四版）教材习题答案

第四章，一元函数积分学。

第三节 不定积分与原函数求法，

习题

4-3，答案

5.0 用分部积分，求下列不定积分。

东风冷雪

1.0

2x sinxdx

x2dcosx (x2cosx 2xcosxdx)

(xcosx 2 xdsinx) xcosx 2xsinx 2 sinxdx x2cosx 2xsinx 2cosx c

22

2.0

高等数学上,复旦大学出版社,第四版,教材习题答案详解

xxedx

xde x (xe x e xdx)

xe x e x c

3.0

xlnxdx

1122lnxdx (xlnx 22

11 x2lnx x2 c24

x2*1dx) x

4.0

2x arctanxdx

1131x33arctanxdx xarctanx 131x(1 x2) xxarctanx 13111xarctanx (x2 ln|1 x2|)13121xarctanx x ln|1 x2| c

5.0

arccosxdx

x*arccosx x*arccosx 2 x*arccosx c

高等数学上,复旦大学出版社,第四

高等数学（上）

第一章 函数与极限

1.

?6?设

?4??

4???|sinx|,|x|??3?(x)????0,|x|?3?, 求

????????????、???、????、?(2).

??1?()?sin?662

2??2?()?sin?442??2?(?)?sin(?)?4??2??04

22. 设f?x?的定义域为?0,1?，问：⑴f?x?； ⑵f?sinx?；

⑶f?x?a??a?0?； ⑷f?x?a??f?x?a? ?a?0?的定义域是什么？

1?； （1）0?x?1知－1?x?1,所以f(x)的定义域为?－1，22(2)由0?sinx?1知2k??x?(2k?1)?(k?Z),?2k?,(2k?1)??所以f(sinx)的定义域为

?－a,1?a?所以f(x?a)的定义域为?0?x?a?1?－a?x?1?a(4)由?知?从而得0?x?a?1a?x?1?a??1?a,1?a?当0?a?时，定义域为21当a?时，定义域为?2(3)由0?x?a?1知－a?x?1?a

3. 设

?1?f?x???0??1?x?1x?1x?1，g?x??e，求f?g?x??和g?f?x??，

x并做出这两个函数的图形。