函数单调性与最值知识导图

06函数的单调性与最值

函数的单调性与最值

06函数的单调性与最值

知识网络定义 函数的概念 三要素 表示 定义域 对应法则 值域 单调性 对称性 函数的 基本性质 奇偶性 周期性 最值 函数常见的 几种变换 基本初等 函数

列表法 解析法 图象法 观察法、判别式法、分离常数法、 单调性法、最值法、重要不等式、 三角法、图象法、线性规划等

1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性. 2.复合函数单调性：同增异减. 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x). 2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立. f (x+T)=f (x);周期为T的奇函数有： f (T)=f (T/2)=f (0)=0. 二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、 线性规划、导数、利用单调性、数形结合等. 平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.

函 数

正(反)比例函数; 一次(二次)函数; 幂、指、对函数;单调性：同增异减 定义、图象、 性质和应用

复合函数抽象函数 函数与方程 函数的应用 常见函数模型

赋值法函数零点、二分法、一元二次方程根的分布

幂、指、对函数模型；分段函数；对

函数的单调性与最值

一、函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1

设f(x)在某个区间(a，b)内有导数，若f(x)在区间(a，b)内，总有f′(x)>0[f′(x)<0]，则f(x)在区间(a，b)上为增函数(减函数)；反之，若f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)，则f′(x)≥0[f′(x)≤0]．请注意两者的区别所在．

1．下列函数在其定义域上是增函数的是( )

A．y＝tan x

B．y＝－3x C．y＝3x

D．y＝ln |x|

自左向右看图象是________ 解析：y＝tan x只在其周期内单调递增，y＝－3x在R上单调递减，y＝3x在R上单调递增，y＝ln |x|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

答案：C

2．(2013·海淀区一模)已知a＞0，下列函数中，在区间(0，a)上一定是减函数的是( )

A．f(x)＝ax＋b B．f(x)＝x2－2ax＋1 C．f(x)＝ax D．f(x)＝logax

解析：a＞0时，函数f(x)＝ax＋b，为增函数；对于函数f(x)＝ax，当0＜a＜1时，在R上为减函数，当a＞1时，在R上为增函数；对于f(x)＝logax,0＜a＜1时，在(0，＋∞)上为减函数；当a＞1时在(0，＋∞)上为增

§2.2 函数的单调性与最值

1.以选择或填空题的形式考查函数的单调性；2.考查求函数最值的几种常用方法；3.利用函数的单调性求参数的取值范围．

1.从数、形两种角度理解函数的单调性与最值；2.判断复合函数的单调性；3.含参函数的最值，对参数进行讨论．

1． 函数的单调性 (1)单调函数的定义

增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变定义 量x1，x2 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 (2)单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2． 函数的最值

前提 条件 结论 [难点正本 疑点清源] 1． 函数的单调性是局部性质

函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. M为最大值 (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x

含答案

第二讲 函数的单调性与最值

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

若函数f(

x)在区间D上是________或________，则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间.

2.函数的最值

含答案

1. f(x)＝x2－2x (x∈[－2,4])的单调增区间为__________；f(x)max＝________. 2x

2.函数f(x)＝[1,2]的最大值和最小值分别是________________.

x＋1

3.已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)、B(－3,2)在其图象上，则不等式－2<f(x)<2的解集为________________________________________________________________. 4.下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是( ) 1A.f(x)＝

xC.f(x)＝e2

B.f(x)＝(x－1)2

D.f(x)＝ln(x＋1)

1

第2讲 函数的单调性与最值

一、选择题

1.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为( ) A.－2

B.2

C.－6

D.6

aa

解析 由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－2，＋∞)，令－2＝3，∴a＝－6. 答案 C

2.(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) 1A.y＝

1－xC.y＝ln(x＋1) 解析 ∵y＝

1

B.y＝cos x D.y＝2－x

与y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数，且y＝cos x在(－1，1)1－x

?

y＝2－x＝?

1?x

?在(－1，1)上是减?2?

上不具备单调性.∴A，B，C不满足题意.只有函数. 答案 D

3.定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a2；当a

B.1

C.6

D.12

解析 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2， 当1

∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数. ∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6. 答案 C

4.已知函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝?1?f?－2?，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小

导数与函数极值和最值

1.函数的单调性与导数

2.函数的极值 (1)函数的极值的概念：

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小， f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 f′(x)<0 f′(x)>0 ___________,右侧__________,则点a 极小值点 叫做函数y=f(x)的_________,f(a)叫做 极小值 函数y=f(x)的________.

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它 在点x=b附近其他点的函数值都大，

f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 f′(x)>0 f′(x)<0 _________,右侧_________,则点b叫极大值点 做函数y=f(x)的__________,f(b)叫做 函数y=f(x)的________.极小值点、极 极大值 极值点 大值点统称为________,极大值和极小 极值 值统称为_______.

(2)求函数极值的步骤： ①求导数f′(x); ②求方程f′(x)=0的根； ③检查方程根左右两侧值的符号，如果

左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值 _______,如果左负右正，那么f(x)在这

个根处取___

含答案

第二讲 函数的单调性与最值

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

若函数f(

x)在区间D上是________或________，则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间.

2.函数的最值

含答案

1. f(x)＝x2－2x (x∈[－2,4])的单调增区间为__________；f(x)max＝________. 2x

2.函数f(x)＝[1,2]的最大值和最小值分别是________________.

x＋1

3.已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)、B(－3,2)在其图象上，则不等式－2<f(x)<2的解集为________________________________________________________________. 4.下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是( ) 1A.f(x)＝

xC.f(x)＝e2

B.f(x)＝(x－1)2

D.f(x)＝ln(x＋1)

1

第三节 函数的单调性与最值

1. (2010?北京)给定函数：①y=x

11，②y=log(x+1)，③y=|x-1|，④y=2x+1，其中在区间(0,1)22上单调递减的是( )

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④

2. 函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别是( ) A. (-∞，0]，(-∞，1] B. (-∞，0]，[1，+∞) C. [0，+∞)，(-∞，1] D. [0，+∞)，[1，+∞)

3. 已知f(x)=???3a?1?x?4a,(x?1)是(-∞，+∞)上的减函数，那么实数a的取值范围是

logx,(x?1)?a( )A. (0,1) B. ?0?

?1??3??11??1?C. ? D. 1? ???73??7?4. (2011?杭州学军中学月考)设M为实数区间，a＞0且a?1，若“a∈M”是“函数

f(x)=loga|x-1|在(0,1)上单调递增”的一个充分不必要条件，则区间M可以是( )

A. (1，+∞)

高三数学第一轮复习 学案 8月 日

第十一讲 导数在函数的单调性、极值、最值中的应用 姓名_________

一、知识梳理： 1．单调性与导数

1）① 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数； 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数。 ② f(x)在区间?a,b?上是增函数?f?(x) 0在

?a,b?上恒成立；

f(x)在区间?a,b?上为减函数?f?(x) 0在?a,b?上恒成立。

2）求函数f(x)的单调区间的步骤：

① ；② ；③ ．④ ． 2．极值与导数

1） 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极大值; 2)如果左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极小值； 3)如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处 。

注意: ①极值是一个局部概念,不同与最值; ②函数的极值不是唯一的; ③极大值与极小值

2014-2015学年度第一学期南阳五中高二数学导学案（文）

§4.1.1导数与函数的单调性

学习目标

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法

学习过程

一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处） 复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性。 对于任意的两个自变量x1，x2∈I，

当x1＜x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么函数f(x)在区间I上单调递增。 当x1＜x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么函数f(x)在区间I上单调递减。 复习2： C'?0；(xn)'?nxn?1；(sinx)'?cosx；(cosx)'??sinx；(lnx)'?1； x(logax)'?复习3：

1；(ex)'?ex；(ax)'?axlna； xlna[f(x)?g(x)]'?f?(x)?g?(x)f(x)f?(x)g(x)?g?(x)f(x)[]??g(x)g2(x)[f(x)g(x)]'?f?(x)g(x)?g?(x)f(x)

二、新课导学

探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：

问题：我们知道，曲线y?f(x)在点x0的切线的斜率就是函数y?f(x)在该点的导数f?(x0)。从函数y?x?4x?3的图