组合数学卢开澄第四版课后答案

1 1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5；

解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，

由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。

当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。

所以这样的序列有90对。

（2）：由题意知，|a-b|≤5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；

由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。

当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对

所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520

1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和

1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|?5；

解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，

由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。 当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。 所以这样的序列有90对。 （2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。 当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对

所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520

1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c)

1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|?5；

解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，

由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。 当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。 所以这样的序列有90对。 （2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。 当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对

所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520

1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c)

习 题 四

4.1. 若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂，即a = xm，则称这个群为循环群。若群的元素交换律成立，即a , b G满足 ab = ba

则称这个群为阿贝尔(Abel)群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。

[证].设循环群(G, )的生成元是x0?G 。于是，对任何元素a , b G，m，n?N，使得a= x0m , b= x0n ,从而 ab = x0m x0n

= x0m +n (指数律)

= x0n +m (数的加法交换律)

= x0n x0m (指数律) = ba

故 运算满足交换律；即(G, )是交换群。

4.2. 若x是群G的一个元素，存在一个最小的正整数m，使xm=e，则称m为x的阶，试证：

2m-1

C={e,x,x, ,x} 是G的一个子群。 [证].(1)非空性C ：因为e?G；

(2)包含性CG：因为x ?G，根据群G的封闭性，可知x2, ,xm-1, (xm=)e?G，故CG；

(3)封闭性a , b C a b C： a , b C，k，l

【第 1 页 共 42 页】 第三章

3.12.一年级有100名学生参加中文，英语和数学的考试，其中92人通过中文考试，75人通

过英语考试，65人通过数学考试；其中65人通过中，英文考试，54人通过中文和数学考试，45人通过英语和数学考试，试求通过3门学科考试的学生数。

[解].令：A 1={通过中文考试的学生}

A 2={通过英语考试的学生}

A 3={通过数学考试的学生}

于是 |Z| =100，|A 1|=92，|A 2|=75，|A 3|=65

|A 1∩A 2|=65，|A 1∩A 3|=54，|A 2∩A 3|=45

此题没有给出：

有多少人通过三门中至少一门；

有多少人一门都没通过。

但是由 max{ |A 1|,|A 2|,|A 3| }=max{92,75,65}=92

故可以认为：

至少有92人通过三门中至少一门考试，即100≥|A 1∪A 2∪A 3|≥92

至多有8人没通过一门考试，即0≤|1A ∩2A ∩3A | ≤8

于是，根据容斥原理，有

|A 1∪A 2∪A 3|=(|A 1|+|A 2|+|A 3|)-(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)+|A 1∩A 2∩A 3|

即 |A 1∩A 2∩A 3|=|A 1

第三章

3.12.一年级有100名学生参加中文，英语和数学的考试，其中92人通过中文考试，75人通

过英语考试，65人通过数学考试；其中65人通过中，英文考试，54人通过中文和数学考试，45人通过英语和数学考试，试求通过3门学科考试的学生数。 [解].令：A1={通过中文考试的学生} A2={通过英语考试的学生} A3={通过数学考试的学生}

于是 |Z| =100，|A1|=92，|A2|=75，|A3|=65

|A1∩A2|=65，|A1∩A3|=54，|A2∩A3|=45

此题没有给出：

?有多少人通过三门中至少一门； ?有多少人一门都没通过。

但是由 max{ |A1|,|A2|,|A3| }=max{92,75,65}=92

故可以认为：

?至少有92人通过三门中至少一门考试，即100≥|A1∪A2∪A3|≥92

?至多有8人没通过一门考试，即0≤|A1∩A2∩A3| ≤8 于是，根据容斥原理，有

|A1∪A2∪A3|=(|A1|+|A2|+|A3|)-(|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|)+|A1∩A2∩A3| 即 |A1∩A2∩A3|=|A1∪A2∪A3|-(

1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|?5；

解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，

由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。 当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。 所以这样的序列有90对。 （2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。 当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对

所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520

1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c)

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§3.1 容斥原理引论第三章 容斥原理和鸽巢原理 §1 容斥原理引论例 [1,20]中2或3的倍数的个数 [解] 2的倍数是：2,4,6,8,10, 12,14,16,18,20。 10个

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§3.2 容斥原理3的倍数是：3,6,9,12,15, 18。 6个 但答案不是10+6=16 个，因为6, 12,18在两类中重复计数，应减 去。故答案是：16-3=13

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§3.2 容斥原理容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 [DeMorgan定理] 论域U,补集 AA {x | x U 且x A} ,有

(a)

A B A B

(b) A B A B

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§3.2 容斥原理证：(a)的证明。 设 x A B ,则 x A B x A B 相当于 x A和 x B 同时成立，亦即x A B x A B

(1)

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§3.2 容斥原理反之，若 x A B,即x A和x B

故 x A和x B.亦即x A B x A B

１.１ 从?1，2，???，50?中找两个数?a,b?，使其满足

（1） |a?b|?5；

（2）|a?b|?5

a?b?5a?b??5解：（1）根据|a?b|?5 可得 或 则有

45种45种 共有90种。

b?5?a?b?5（2）根据|a?b|?5 得 {

a,b?(1,2,???,50) 则：当b?5时，有

b?1 ， 1?a?6， 则有 6种

b?2 ， 1?a?7， 则有7种

b?3 ， 1?a?8， 则有8种

b?4 ， 1?a?9， 则有 9种

b?5 ， 1?a?10， 则有10种

当5?b?45时，有

b?6 ， 1?a?11， 则有 11种

b?7 ， 2?a?12， 则有 11种

. . . . . . . . .

b?45 ， 40?a?50，

绪 论

【0-1】 1m3水中溶解0.05kmol CO2，试求溶液中CO2的摩尔分数，水的密度为100kg/m3。

解 水1000kg/m3?1000kmol/m3 18 CO2的摩尔分数x?0.05?8.99?10?4 10000.05?18【0-2】在压力为101325Pa、温度为25℃条件下，甲醇在空气中达到饱和状态。试求：(1)甲醇的饱和蒸气压pA；(2)空气中甲醇的组成，以摩尔分数yA、质量分数?A、浓度cA、质量浓度?A表示。

解 (1)甲醇的饱和蒸气压pA

lgpA?7.19736?1574.99 p25?238.86A?16.9kPa

(2) 空气中甲醇的组成 摩尔分数 yA?质量分数 ?A?浓度 cA?16.9?0.167

101.3250.167?32?0.181

0.167?32?(1?0.167)?29pA16.9??6.82?10?3 kmol/m3 RT8.314?298质量浓度 ?A?cAMA=6.82?10?3?32?0.218 kg/m3

【0-3】1000kg的电解液中含NaOH质量分数10%、NaCl的质量分数10%、H2O的质量分数80%，用真空蒸发器浓缩，食盐结晶分离后的浓缩液中含NaOH