spline插值算法

例5.6.1给定以下数据, 求出三次样条函数，并计算函数分别在-0.15，-0.05，0.05，0.18，0.25处的近似值，并作图。

x y 解：编程如下: clear

x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3];y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72]; pp=spline(x,y); pp.coefs

xx=[-0.15,-0.05,0.05,0.18,0.25]; yy=ppval(pp,xx) %or:yy=spline(x,y,xx) fnplt(pp,'k') hold on plot(x,y,'o') hold on plot(xx,yy,'r*') 运行结果: ans =

-36.3850 21.8592 -5.1164 1.5000 -36.3850 0.0282 -0.7390 1.0600 227.6995 -10.8873 -1.8249 0.9500 -143.0047 23.2676 -1.2059 0.8600 -143.0047 1.8169 0.0484 0.8400 yy =

最邻近插值和双线性插值算法的比较

摘要：图像缩放是数字图像处理的一个基本内容，为了更好地对数字图像细节进行描述，本文简单介绍了图像处理中的空间变换、最邻近插值算法，重点分析了双线性插值算法，并通过MATLAB仿真进行图像的缩放，比较实验结果，从而验证双线性插值算法效果较好。

关键词：图像缩放；空间变换；最邻近插值；双线性插值；

0 引言

数字图像处理的对象因其涉及到社会的各个领域，倍受到越来越多的关注，而图像缩放作为数字图像处理中的基本操作尤为重要，在社会的很多领域都需要对图像进行放大和缩小。本文主要比较了空间变换、最邻近插值算法和双线性插值算法。

1 图像处理中的空间变换

图像的空间变换[1]，也称几何变换或几何运算，包括图像的平移、旋转、镜像变换、转置、缩放等。几何运算可改变图像中各物体之间的空间关系，这种运算可以跛看成是将各物体在图像内移动。

空间变换可如下表示：设(u，v)为源图像上的点，(x，y)为目标图像上的点，则空间变换就是将源图像上(u，v)处的颜色值与目标图像上(X，y)处的颜色对应起来

(u，v) 并具有以下关系：

x=X(u，v)，y=Y(u，v) （即由(u，v)计算对应(x，y)）

一，分形插值算法

——分形图的递归算法

1，分形的定义

分形（Fractal）一词，是法国人B.B.Mandelbrot 创造出来的，其原意包含了不规则、支离破碎等意思。Mandelbrot 基于对不规则的几何对象长期地、系统地研究，于1973 年提出了分维数和分形几何的设想。分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的几何学，用以描述自然界中普遍存在着的不规则对象。分形几何有其显明的特征，一是自相似性；分形作为一个数学集合, 其内部具有精细结构, 即在所有比例尺度上其组成部分应包含整体, 而且彼此是相似的。其定义有如下两种描述：

定义 1 如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff 维数H D 恒大于其拓扑维数

r D ，则称该集合为分形集，简称分形。

定义 2 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。

对于定义 1 的理解需要一定的数学基础， 不仅要知道什么是Hausdorff 维 数，而且要知道什么是拓扑维数，看起来很抽象，也不容易推广。定义 2 比较 笼统的说明了自然界中的物质只要局部和局部或者局部和整体之间存在自相似 性，那么这个物质就是分形。正是这一比较“模糊”的概念被人们普遍接

数学

第１９卷第１１期计算机辅助设计与图形学学报

ＶｏＩ．１９．Ｎｏ．１１２００７年１１月

ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＣＯＭＰＵＴＥＲ．ＡＩＤＥＤＤＥ．ＳＩＧＮ＆ＣＯＭＰＵＴＥＲＧＲＡＰＨＩＣＳ

ＮＯＶ．。２００７

开圆弧样条的保形插值算法

舒振宇１’２’

汪国昭１’

”（祈扛大学散学系图形图像研克所杭州３１００２７）

２’（浙扛★学宁渡理工学院信息处理与优化技术研究所宁被３１５１００

（１ｉｔｔｌｅｒａｉｎ－ｓｚｙ＠５０ｈｕｅｏｍ）

摘要提出一种Ｇ１圆弧样条插值算法．该算法选取部分满足条件的型值点构造初始圆，然后过剩下的型值点分

别构造相邻初始圆的公切圆．在此过程中，让所有型值点均为相应圆弧的内点，且每段圆弧尽量通过２个型值点．在型值点列满足较弱的条件下，曲线具有在事先给定首末切向的情况下圆弧总段数比型值点个数少且保形的特点．

关键词圆弧样条：插值；保形

中图法分类号ＴＰ３９１．７２

ＯｐｅｎＳｈａｐｅ－ＰｒｅｓｅｒｖｉｎｇＩｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｂｙＣｉｒｃｕｌａｒＡｒｃ

Ｓｈｕ

Ｚｈｅｎｙｕｌ，２）Ｗａｎｇ

Ｇｕｏｚｈａｏ‘）

１）（ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＧｒａｐｈｉｃｓａｎｄＩｍａｇｅＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ＤｅｐａｒｔⅢｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｚｈａｊｌ

实验四 IDW和Spline空间插值对比与克里格方法

内插生成曲面

IDW和Spline空间插值对比

实验目的：

通过练习熟练掌握如何利用IDW内插方法和Spline内插方法进行GDP空间分布特征的分析，以及两种插值方法的适用条件，并以此来加强对空间插值的认识。

实验内容：

用IDW法和Spline法内插生成GDP曲面

实验数据与要求：

数据：GDP为某地区的统计GDP数据，bound为该地区的边界数据。

要求：1)经济发展具有一定的连带效应和辐射作用。以该地区各区域年GDP数据为依据，采用IDW和Spline内插方法创建该地区GDP空间分异栅格图。

2）分析每种插值方法中主要参数的变化对内插结果的影响。 IDW：P=2和P=5。 Spline：规则样条法，Weight = 0和Weight = 0.01；张力样条法，Weight = 0和Weight =5。 3）分析两种内插方法生成的GDP空间分布图的差异性，简单说明形成差异的主要原因。

实验过程与步骤：

（1）运行ArcMap，点击Tools菜单下的Extensions，选择Spatial Analyst，点击Close按钮

（2）单击File菜单下的Open命令，选择E:\

插值就是已知一组离散的数据点集，在集合内部某两个点之间预测函数值的方法。

一、一维插值

插值运算是根据数据的分布规律，找到一个函数表达式可以连接已知的各点，并用此函数表达式预测两点之间任意位置上的函数值。

插值运算在信号处理和图像处理领域应用十分广泛。

1．一维插值函数的使用

若已知的数据集是平面上的一组离散点集(x,y)，则其相应的插值就是一维插值。MATLAB中一维插值函数是interp1。

y=interp([x,]y,xi,[method],['extrap'],[extrapval])，[]代表可选。 method：'nearest'，'linear'，'spline'，'pchip'，'cubic'，'v5cubic'。

此m文件运行结果：

放大π/2处：

2．内插运算与外插运算

（1）只对已知数据点集内部的点进行的插值运算称为内插，可比较准确的估测插值点上的函数值。 （2）当插值点落在已知数据集的外部时的插值称为外插，要估计外插函数值很难。

MATLAB对已知数据集外部点上函数值的预测都返回NaN，但可通过为interp1函数添加'extrap'参数指明也用于

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

姓名：樊元君 学号：2012200902 日期：2012.10.25

1.实验目的：

掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式。

2.实验内容：

分别写出拉格郎日插值法与牛顿插值法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一组插值节点，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。 已知下列函数表

求x=0.5635时的函数值。

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

3.程序流程图：

● 拉格朗日插值法流程图：

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

●牛顿插值法流程图：

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

4.源程序：

● 拉格朗日插值法：

function [] = LGLR(x,y,v)

x=input('X数组=：');

y=input('Y数组=');

v=input('插值点数值=：');

n=length(x);

u=0;

for k=1:n

t=1;

for j=1:n

if j~=k

t=t*(v-x(j))/(x(k)-x(j));

end

end

u=u+t*y(k);

end

disp('插值结果=');

为了降低定标器的硬件复杂度并提高液晶显示图像的质量,提出了一种行列采用不同插值算法的图像缩放引擎设计方法。在论述四点三次卷积插值算法和线性插值算法基础上,提出了行列不同计算点数的缩放引擎系统架构.

第２４卷　第４期２００９年８月

液　晶　与　显　示

ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＬｉｕｉｄＣｒｓｔａｌｓａｎｄＤｉｓｌａｓｑｙｐｙ

Ｖｏｌ．２４，Ｎｏ．４，Ａｕ．２００９ｇ

文章编号：（）１００７２７８０２００９０４０５９７０５

基于行列不同插值算法的图像缩放引擎的设计

蔡泽锋，闾晓晨，郑学仁

（华南理工大学电子与信息学院微电子学系，广东广州　５：１０６４１，Ｅｍａｉｌｋｃｚｆｋ＠１６３．ｃｏｍ）

摘　要：为了降低定标器的硬件复杂度并提高液晶显示图像的质量，提出了一种行列采用不同插值算法的图像缩放引擎设计方法。在论述四点三次卷积插值算法和线性插值算法基础上，提出了行列不同计算点数的缩放引擎系统架构。在该架构中，水平缩放采用四点三次卷而垂直缩放采用优化的两点线性插值算法。相比双三次插值算法的实现，减少积插值算法，

明显节省了实现电路的硬件开销。另外，详细论述了放大单元及相应了９个乘法器的使用，

的滤波器的设计，并将设计结果综合下载到现场可编程门阵列（芯片。ＦＦ

插值及其误差 x sin x cos x tan x 1.567 0.999 992 8 0.003 796 3 263.411 25 1.568 0.999 996 1 0.002 796 3 357.611 06 1.569 0.999 998 4 0.001 796 3 556.690 98 1.570 0.999 999 7 0.000 796 3 1255.765 59 用表中的数据和任一插值公式求： （1）用tan x表格直接计算tan 1.569 5。

（2）用sin 1.569 5和cos 1.569 5来计算tan 1.569 5。并讨论这两个结果中误差变化的原因。

插值：求过已知有限个数据点的近似函数。 1 插值方法

下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插

值、Hermite 插值和三次样条插值。 1.1 拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式

用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数

f?x?在区间?a,b?上n?1个不同点x0,x1,yi?f?xi??i?0,1,,xn处的函数值

,n?，求一个至多n次多项式 ?anxn（1）

?n?x??a0

第3 1卷第 1期2 0 1 3年 1月

佛山科学技术学院学报 (自然科学版 )J o u r n a l o f F o s h a n Un i v e r s i t y( Na t u r a l S c i e n c e Ed i t i o n )

Vo 1 . 3 1 No . 1

J a n .2 0 1 3

文章编号： 1 0 0 8— 0 1 7 1 ( 2 0 1 3 ) 0 1— 0 0 3 3— 0 6

一

种基于线性插值的流形学习算法顾艳春(佛山科学技术学院电子与信 g -工程学院，广东佛山 5 2 8 0 0 0 )

摘要：作为一种有效的非线性降维方法，流形学习在众多领域引起了广泛关注并取得了长足发展。但当样本点

较为稀疏时，样本点的局部邻域很难满足流形学习局部同胚的前提条件，此时流形学习算法往往效果变差甚至失效。一种有效的解决方法是增加一些新的插值点。为此，提出了一种基于三角形重心线性插值技术的流形学

习算法。实验结果表明，插值算法能改善样本点的局部结构。将插值算法应用到经典的流形学习算法如 L TS A 后，实验结果证实了算法的有效性和稳定性。关键词：流形学习；数据降维；重心；插值中图分类号： T P 3 0 1