刚体的平面运动例题

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在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始 终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。

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9.1 刚体平面运动概述和运动分解刚体上每一点都在与固定 平面M平行的平面内运动。 若作一平面N与平面M平行, 并以此去截割刚体得一平 面图形 S 。 可知该平面图 形S始终在平面N内运动。 因而垂直于图形S的任一条 直线A1A2必然作平动。 A1A2 的运动可用其与图形 S的交点 A的运动来替代。 A1 N A S

A2

M

刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动。

9.1 刚体平面运动概述和运动分解平面图形 S 在其平面上的位置完 全可由图形内任意线段 O'M 的位置来 确定，而要确定此线段的位置，只需 确 定 线 段 上 任 一 点 O' 的 位 置 和 线 段 O'M 与固定坐标轴 Ox 间的夹角 即可。 点 O' 的坐标和 角都是时间的函数， 即 y S M

O'O

x

xO f1 (t ), yO f 2 (t ), f3 (t )这就是平面图形的运动方程。

平面图形的运动方程可由两部分组成：一部分是平面图形按 点O'的运动方程xO' = f1(t), yO' = f2

第7章 刚体的平面运动 7.1 主要内容

7.1.1 刚体平面运动

刚体作平面运动的充要条件是：刚体在运动过程中，其上任何一点到某固定平面的距离始终保持不变。

刚体的平面运动可以简化成平面图形在平面上的运动。运动方程：

xO??f1(t)??yO??f2(t)? ??f3(t)??其中基点O'的坐标xO' 、yO'和角坐标? 都是时间t的单值连续函数。如果以O'为原点建立平动动系O'x'y '，则平面运动分解为跟随基点（动系）的平动和相对于基点（动系）的转动。7.1.2 研究平面运动的基本方法

1．分析法——建立运动方程式

2．运动分解法---基点法和绕两平行轴转动的合成。 (1)基点法——本章重点

(2)绕两平行轴转动的合成——常用于研究行星轮系统的传速比。 7.1.3 平面运动刚体上点的速度分析的三种方法

1．基点法——应用速度合成定理 2．速度投影定理（由基点法推论） 3．瞬心法（由基点法推论）

7.1.4 用基点法分析平面运动刚体上各点的加速度

1．ae?a基点

2．平动动系：科氏加速度aC?0 3．应用加速度合成定理

7.2 基本要求

1. 熟悉刚体平面运动的特征，正确理解有关平面运动的各种概念。 2. 能熟练应用基点法、瞬

理论力学习题集（A） 第九章 刚体的平面运动 第九章 刚体的平面运动

9-1 如图所示，圆柱A缠以细绳，绳的B端固定在天花板上。圆柱静止落下，其轴心的速度为v?其中g为常量，h为圆柱轴心到初始位置的距离。如圆柱半径为r，求圆柱的平面运动方程。

23gh，3gt212答案：xA?0,yA?gt,??

33r

9-2 杆AB的A端沿水平线以等速v运动，运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R，如图所示。如杆与水平线间的交角为θ，试以角θ表示杆的角速度。

sin2?答案：??

Rcos?

9-3 如图所示，在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄OA的转速

nOA?40r/min， OA＝0.3m。当筛子BC运动到与点O在同一水平线上时，∠BAO＝90°。求此瞬时筛

子BC的速度。答案：vBC?2.512m/s

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理论力学习题集（A） 第九章 刚体的平面运动 第九章 刚体的平面运动

9-1 如图所示，圆柱A缠以细绳，绳的B端固定在天花板上。圆柱静止落下，其轴心的速度为v?其中g为常量，h为圆柱轴心到初始位置的距离。如圆柱半径为r，求圆柱的平面运动方程。

23gh，3gt212答案：xA?0,yA?gt,??

33r

9-2 杆AB的A端沿水平线以等速v运动，运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R，如图所示。如杆与水平线间的交角为θ，试以角θ表示杆的角速度。

sin2?答案：??

Rcos?

9-3 如图所示，在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄OA的转速

nOA?40r/min， OA＝0.3m。当筛子BC运动到与点O在同一水平线上时，∠BAO＝90°。求此瞬时筛

子BC的速度。答案：vBC?2.512m/s

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第7章 刚体的平面运动

7-1 刚体平面运动通常分解为哪两个运动，它们与基点的选取有无关系？求刚体上各点的加速度时，要不要考虑科氏加速度？

7-2 平面图形上两点A和B的速度vA和vB间有什么关系？若vA的方位垂直于AB，问vB的方位为何？

7-3 已知O1A?O2B，问在图所示瞬时，?1与?2，?1与?2是否相等？

题7-3图

7-4 如图所示O1A的角速度为?1，板ABC和杆O1A铰接。问图中O1A和AC上各点的速度分布规律对不对？

7-5 如图所示，车轮沿曲面滚动。已知轮心O在某一瞬时的速度vO和加速度aO。问车轮的角加速度是否等于aOcos?R？速度瞬心C的加速度大小和方向如何确定？

题7-4图

题7-5图

7-6 椭圆规尺AB由曲柄OC带动，曲柄以角速度?O绕O轴匀速转动。如

OC?BC?AC?r，并取C为基点，求椭圆规尺AB的平面运动方程。 答：xC =r cos?Ot，yC =r sin?Ot，? = –?Ot。

题7-6图

题7-7图

7-7 半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。如曲柄OA以匀角加速度? 绕O轴转动，且当运动开始时，角速度?O=0，转角?=0，求动齿轮以中心A为基点的平

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理论力学第 四 节 用 基 点 法 求 平 面 内 各 点 的 加 速 度

第八章

刚体的平面运动

例十三 图示曲柄连杆机构中，曲柄 绕轴 转 图示曲柄连杆机构中，曲柄OA绕轴 绕轴O转与水平方向成60 动的角速度为ω 某瞬时OA与水平方向成 o角， 动的角速度为 0。某瞬时 与水平方向成 而连杆AB与曲柄 垂直。滑块 在圆弧槽内滑 与曲柄OA垂直 滑块B在圆弧槽内滑 垂直。 而连杆 与曲柄 此时半径O 与连 动，此时半径 1B与连 间成30 线AB间成 o角。如 间成

OA = r, O B = 2r 1AB = 2 3r

试求该瞬时滑块B的 试求该瞬时滑块 的 切向加速度。 切向加速度。(习题9-18) 习题 - ) 动画鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系

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理论力学 例十九加 速 度 分 析

第八章

刚体的平面运动

四连杆机构中曲柄OA长 ， 连杆AB长 ， 四连杆机构中曲柄 长 r, 连杆 长 2r, 摇 在图示瞬时，四连杆机构中的点O、 杆O1B长 2 3r 。在图示瞬时，四连杆机构中的点

第七章 刚体力学

§7.5 刚体平面运动的动力学§7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程 §7.5.2 作用于刚体上的力 §7.5.3 刚体平面运动的动能 §7.5.4 滚动摩擦力偶矩 §7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度

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结束

第七章 刚体力学

§7.5 刚体平面运动的动力学§7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程平面运动 = 平动+定轴转动1.求质心的运动 刚体作平面运动，受力必是平面力 F m a 根据质心运动定律 i c 直角坐标系中的分量式

(7.5.1)

F

ix

macx

F

iy

macy

Fi — 所有外力的矢量和,上页

m — 刚体的质量.下页 返回 结束

第七章 刚体力学 2. 刚体绕质心的转动 在质心系中刚体作定轴转动. 选质心坐标系 Cx’y’z’ ,设z’为过质心而垂直于固 定平面的轴. 在质心系中

M 外i ' M 惯

dLz ' dt

M外i’ — 外力对质心的力矩, M惯 — 惯性力对质心力矩. 又 M惯= 0dL'z d( I zc z ) I zc z dt dt上页 下页

上海电力学院 工程力学习题册

15.1 图中给出一种平面铰接机构，已知杆O1A的角速度是?1，杆O2B的角速度是?2，转向如图所示。在图示瞬时，杆O1A铅直，杆AC和O2B水平，而杆BC对铅直线成偏角30，又O2B?l，O1A?瞬时点C的速度。

?3l。试求该

BB30。O2O2?2CAC?AvAO1?1 ?vB??2vB?vA?vCBO1?1??vCAvC图10.14b

解：1 分析运动

O1A、O2B杆作定轴转动， AC、BC杆作平面运动。 2 分析速度 O1A：vA?3l?1

O2B：vB?l?2

???AC： vC?vA?vCA （a） ???BC： vC?vB?vCB （b） 由式（a）、（b）得：

??? ? vC?l3?1i?(?1??2)j

??

15.2 平面机构如图所示，已知O1A?r，以?0匀速转动，O2B?BC?l，图示时O1A水平，O1B在铅直方

1

第6章 刚体的平面运动分析

6－1 图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度?绕轴O转动，当运动开始时，角速度?0= 0，转角?0= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。 s 解：xA?(R?r)co? yA?(R?r)sin?

?为常数，当t = 0时，?0=?0= 0

（1） （2）

??12?t 2（3）

起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记?OAP??，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过

?A????

因动齿轮纯滚，故有CP0?CP，即 R??r? ??RR?r?， ?A?? rr??

习题6-1图

（4）

将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为：

?2?x?(R?r)costA?2??2 ??yA?(R?r)sint

2??1R?r2??A?2r?t?

6－2 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角? 表示杆的角速度。

解：杆AB作平面运动

第六章 刚体的平面运动

本章要点

一、刚体平面运动的描述

1 刚体的平面运动方程：xA?xA(t)，yA?yA(t)，???(t).

2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动）。其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。 二、平面运动刚体上点的速度

1 基点法：平面图形内任一点B的速度，等于基点A的速度与B点绕基点转动速度的矢量和，即

vB?vA?vBA，

?，方向垂直于AB，指向与图形的转动方向相一致。 其中vBA的大小为vBA?AB2投影法

速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即

[vB]AB?[vA]AB

3瞬心法

任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。

平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。绕定轴转动时，转动中心是一