最大线性无关组怎么求例题

第十二讲 向量组的最大线性无关组

一、考试内容与考试要求

考试内容

向量组的最大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；向量的内积；向量空间及其相关概念；n维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；规范正交基．

考试要求

（1）理解向量组的最大线性无关组的概念，会求向量组的最大线性无关组； （2）理解向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩；

（3）理解向量组等价的概念；

（4）了解内积的概念，了解规范正交基；

（5）了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；

（6）了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．

注 考研数学二、三不考向量空间等概念，对数学一的考生要求掌握向量空间的有关内容．

二、知识要点

引入 当方程组Ax?o（Ax?b）有无穷解时，可以用有限个解表示出来，这有限个解就是解集的基础解系，一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组．

向量组的秩：是这有限个解的个数，也就是最大无关组中向量的个数，或基础解系中解向量的个数．

复习 首先简单复习本讲需要用到的一些知识。

线性表示：??k1?1?k2?2???km?m，对k1,k2,?km没有要求，且

R(

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文

向量组线性相关与线性无关的判别方法

摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的

线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.

关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩

1 引言

在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.

2 向量组线性相关和线性无关的定义

定义 设向量组?1,?2,?,?m都为n维向量，如果数域P中存在一组不全为零的数

k1,k2km,使k1?1?k2?2?

西南交大线性代数习题参考答案

2 第一章 行列式

§1 行列式的概念

1． 填空

(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。

(2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。

(3) n 阶行列式由 项的代数和组成，

其中每一项为行列式中位于不同行

不同列的 n 个元素的乘积，若将

每一项的各元素所在行标按自然顺

序排列，那么列标构成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的

符号为 号；若为偶排列，该

项的符号为 号。

(4) 在6阶行列式中， 含152332445166a

a a a a a 的项的符号为 ，含324314516625a

a a a a a 的项的符号为 。

2． 用行列式的定义计算下列行列式的值

(1)

11222332330000a a a a a

3 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为

，所以行列式的值为 。

(2) 12,121,2

1,11,12,100000

0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L

求最大公因数

说出下列各组数的最大公因数。(口答)第一组： 12和4 4 第二组： 1和10 1

13和39 1399和98 1

8和64 8 7和13 1

倍数关系：最大公因数是小的数。

互质关系：最大公因数是1。

第三组： 12和18 6

30和20 10

24和36 12

一般关系：??????

1、口答。

24的因数有： 1、2、3、4、6、8、12、24 。 36的因数有： 1、2、3、4、6、9、12、18、36。 24和36的最大公因数是： 12 。

2、用短除法分解质因数。 24 36 24=2×2×2×3 相同的质因数相 乘的积，就是他 36=2×2×3×3

们的最大公因数。

填 一 填

甲数= 2×3×5 乙数= 2×5×7 甲数和乙数的最大公因数是：。

短除法:

2

12 18

……用公因数2去除 ……用公因数3去除 ……除到公因数只有1为止

3 6 2

9 3

12和18的最大公因数是：2×3=6

(六)方法： 一、列举法：

找 最 大 公 因 数

1.先找各个数的因数。 2.找出两个数公有的因数。 3.确定最大公因数。 二、用倍数关系找： 如果两个数是倍数关

求最大公因数

说出下列各组数的最大公因数。(口答)第一组： 12和4 4 第二组： 1和10 1

13和39 1399和98 1

8和64 8 7和13 1

倍数关系：最大公因数是小的数。

互质关系：最大公因数是1。

第三组： 12和18 6

30和20 10

24和36 12

一般关系：??????

1、口答。

24的因数有： 1、2、3、4、6、8、12、24 。 36的因数有： 1、2、3、4、6、9、12、18、36。 24和36的最大公因数是： 12 。

2、用短除法分解质因数。 24 36 24=2×2×2×3 相同的质因数相 乘的积，就是他 36=2×2×3×3

们的最大公因数。

填 一 填

甲数= 2×3×5 乙数= 2×5×7 甲数和乙数的最大公因数是：。

短除法:

2

12 18

……用公因数2去除 ……用公因数3去除 ……除到公因数只有1为止

3 6 2

9 3

12和18的最大公因数是：2×3=6

(六)方法： 一、列举法：

找 最 大 公 因 数

1.先找各个数的因数。 2.找出两个数公有的因数。 3.确定最大公因数。 二、用倍数关系找： 如果两个数是倍数关

线性规划常见题型及解法

一、求线性目标函数的取值范围

?x?2?例1、 若x、y满足约束条件?y?2，则z=x+2y的取值范围是 （ ）

?x?y?2?A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]

解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将

y 2 O 2 B y =2 x x + y =2 A l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值

2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A

x=2 二、求可行域的面积

?2x?y?6?0?例2、不等式组?x?y?3?0表示的平面区域的面积为 （ ）

?y?2? A、4 B、1 C、5 D、无穷大

解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC

的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B

y x＋y – 3 = 0 M A O B y =2 C x 2x + y – 6= 0 = 5 三、求可行域中整点个数

例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

y ?x?y?2?x?y?2?解：|x|＋|y|≤2等价于???x?y?2???x?y?2(x?0,y?0)(x?0,y?0)

线性代数

第一章 行列式

典型例题

一、利用行列式性质计算行列式

二、按行（列）展开公式求代数余子式

12343344??6，试求A41?A42与A43?A44.

15671122 已知行列式D4?三、利用多项式分解因式计算行列式

1112?x21．计算D?1313xbcbxc2．设f(x)?bcxbcd2323.

1519?x2dd，则方程f(x)?0有根x?_______. dx四、抽象行列式的计算或证明

1.设四阶矩阵A?[2?,3?2,4?3,?4],B?[?,2?2,3?3,4?4]，其中?,?,?2,?3,?4均为四维列向量，且已知行列式|A|?2,|B|??3,试计算行列式|A?B|. 2.设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|??(3A)?1?2A*O?2??.

OA??1，试计算行列式23.设A是n阶(n?2)非零实矩阵，元素aij与其代数余子式Aij相等，求行列式|A|.

?210??,矩阵B满足ABA*?2BA*?E,则|B|?_____. 1204.设矩阵A??????001??5.设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵

A?(?1,?2,?3),B?(?1??2??3,?1?2?24?3,?1?3?2?

《数学实验》在线习题3

Matlab程序设计部分 一. 分

析

向

量

组

a1?[1T2a23?]?,?T[a31T?2，0],a4?[1?2?1]T，a5?[246]T的线性相关性，找出它们的最大无关组，并将其

余向理表示成最大无关组的线性组合。

解， a1=[1 2 3]';

a2=[-1 -2 0]'; a3=[0 0 1]'; a4=[1 -2 -1]'; a5=[2 4 6]'; A=[a1,a2,a3,a4,a5] ; [R,S]=rref(A) r=length(S)

R =

1.0000 0 0.3333 0 2.0000 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 1.0000 0 S =

1 2 4 r =

3

线性相关 a1,a2,a3,a4,a5 最大无关组是a1,a2,a4

其余向量的线性组合是a3=1/3a1+1/3a2 a5=2a1

二. 计算行列式

《数学实验》在线习题3

Matlab程序设计部分 一. 分

析

向

量

组

a1?[1T2a23?]?,?T[a31T?2，0],a4?[1?2?1]T，a5?[246]T的线性相关性，找出它们的最大无关组，并将其

余向理表示成最大无关组的线性组合。

解， a1=[1 2 3]';

a2=[-1 -2 0]'; a3=[0 0 1]'; a4=[1 -2 -1]'; a5=[2 4 6]'; A=[a1,a2,a3,a4,a5] ; [R,S]=rref(A) r=length(S)

R =

1.0000 0 0.3333 0 2.0000 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 1.0000 0 S =

1 2 4 r =

3

线性相关 a1,a2,a3,a4,a5 最大无关组是a1,a2,a4

其余向量的线性组合是a3=1/3a1+1/3a2 a5=2a1

二. 计算行列式

程序一

function dx=Lorenz(t,x); dx(1,1)=10*(x(2)-x(1)); dx(2,1)=x(1)*(30-x(3))-x(2); dx(3,1)=x(1)*x(2)-8/3*x(3); dx(4,1)=0; dx(5,1)=0; dx(6,1)=0;

function lambda_1=lyapunov_wolf1(data,N,m,tau,P)

% 该函数用来计算时间序列的最大Lyapunov 指数--Wolf 方法 % m: 嵌入维数 % tau:时间延迟 % data:时间序列 % N:时间序列长度

% P:时间序列的平均周期,选择演化相点距当前点的位置差，即若当前相点为I，则演化相点只能在|I－J|>P的相点中搜寻

% lambda_1:返回最大lyapunov指数值

%************************************************************************** % ode计算整数阶系统的时间序列

%*****************************************************************