立体几何求体积公式

立体几何中有关体积问题

一、知识归纳

1、柱体体积公式：V?S.h

2、椎体体积公式：V?13S.h 3、球体体积公式：V?433?R

二、点到平面的距离问题 求解方法：

1、几何法：等体积法求h

2、向量法： 点A到面?的距离d?AB?nn

?其中，n是底面的法向量，点B是面?内任意一点。题型分析：

1、如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC,AB?BB1AC?BC?BB1?2,D为AB中点，且CD?DA1

（1）求证：BB1?平面ABC （2）求证：BC1∥平面CA1D (3)求三棱椎B1-A1DC的体积

A1C1 B 1 AC D B

2、如图，在四棱锥E?ABCD中，?ADE是等边三角形，侧面ADE?地面ABCD,AB∥DC，且

BD?2DC?4，AD?3，AB?5.

（1）若F是EC上任意一点，求证：面BDF?面ADE (2)求三棱锥C?BDE的体积。

E F C D

AB

3、如图，在棱长为2的正方体中，E,F分别为

DD1、DB的中点。

（1）求证：EF∥平面ABC1D1 (2)求证EF?B1C （2）求三棱锥B1?EFC的体积。 D1C1

AB11 E D C F AB

文科高考数学立体几何大题求各类体积方法

【三年真题重温】

1.【2011?新课标全国理，18】如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

P∠DAB?60，AB?2AD，PD⊥底面ABCD． (Ⅰ) 证明：PA⊥BD；

(Ⅱ) 若PD?AD，求二面角A?PB?C的余弦值．

ADBCPDABC2.【2011 新课标全国文，18】如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形．?DAB?60,AB?2AD,PD?底面ABCD． (Ⅰ) 证明：PA?BD；

(Ⅱ) 设PD?AD?1，求棱锥D?PBC的高．

根据DE?PB?PD?BD，得

3．即棱锥D?PBC的高为3．

DE?223.【2010 新课标全国理，18】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,AC?BD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点. （1） 证明：PE?BC

（2） 若?APB=?ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值 【解析】命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角

等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.

4.【2010 新课标全国文，18】如图，已知四棱锥P?ABCD

立 体 几 何习题课

例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。

S

E AF B

提示：设三棱锥S-ABC,侧面SAC、SBC为 等边三角形，边长为 6 ,SA SB。取SA中 点E,AB中点F,连接AE、BE、EF。可证得： SC 平面ABE。利用： VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE C 得三棱锥体积。

(KEY: 3 ) 注意：分割法求体积。

例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。 (解法2) S法二：取AB中点D,连接SD,CD。易得△ABC 为等腰直角三角形， ACB=90o。则有SD⊥AB, CD⊥AB。又SA=SB=SC,∴S在底面的射影为底 面的外心，即点D,∴SD⊥平面ABC。 C ∴由VS-ABC= 1 S SD得三棱锥体积。 3 △ABC

AD B

例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求D1到截面C1BD的距离。D1 A1 B1

C1

提示：利用 V D C B D =V B C D D 求解。1 1

1

1

DA B

C

KEY: 3 a3

注意：等体积法求点面距离。

例3、在各棱长均为1的

立体几何专题学科网 【例题解析】学科网 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算学科网 例1 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为学科网 A． 22

B． 23

C． 4

D． 25学科网 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为m,n,k，由题意得

m2?n2?k2?7，

m2?k2?6?n?1，学1?k2?a，1?m2?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6?a2?b2?8，

学科网 ∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号．例2下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是学科网 A．9π

B．10π

C．11π

D．12π学科网 解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1，母线长是3，球的半径是1，故其表面积是2??1?3?2???1?4??1?12?，答案D．学科网 例3 已知一个正三棱锥P?ABC的主视图如图所示，若AC?BC?223， 学科网 2PC?6，则此正三

河北师范大学2012级数学专业14-15-2学期

中学学科教材分析与课堂教学实践

年 级：_ __ 2012级 学 号：___2012012823____ 姓 名：_ ___ 王宇 日 期： 2015年10月23日

高中立体几何部分的教材分析

一.教材分析的理论

1.教材分析的内容

立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间。所以，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义。《立体几何初步》这部分内容，是在义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显《普通高中数学课程标准》对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想像能力这一教学目的。

本文研究的是普通高中课程标准实验教科书《数学2》的立体几何部分。 2.教材分析的方法

教材分析的方法，经常沿用的有知识分析法，心理分析法和方法论分析法。 （1）知识分析法。知识分析首先要确定教材中的一般知识、重要知识、重点知识和扩展、应用性知识等，进而根据这些知识的内在联系，形成知识网络，必要时整理成知识

2 0 1 3年

第2 1期

S C I E N C E&T E C HN O L OG Y I N F O R MA T I O N

o教学研究0

科技信息

如何学好立体几何邓贵元 (上杭县才溪中学，福建上杭 3 6 2 3 0 0 )立体几何研究的对象是空间图形 .学习立体几何是把空间图形画最后以符号语言严谨，规范简洁地进行表达。 在平面上进行研究 .这给立体几何的学习增加了难度 .如何突破平面三种数学语言 .尤其重要的是符号语言的运用 .在几何计算和推思维限制，再现空间的想象思维，是学生学习时的最大难点。要学好立理论证中要求学生要养成运用符号语言的习惯 .这样可使解题过程简体几何关键应注意以几点。 洁清晰、严谨规范。掌握好这三种数学语言，能形成正确运用数学语言进行数学交流表达的能力。

1明确学习目标

立体几何的初步学习，将从对空间几何体的整体观察人手，认识空间几何图形的结构特征，需要学生采用直观感知、操作确认、思维辩在学习立体几何过程中，学生可以利用笔、直尺、书之类的东西 . 证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质，注重培养和发展甚至用手掌、手指、教室中的桌椅、黑板等构建出一个空间图形的框空间想象能力推理论证能力运用图形语言进行交流的

立体几何（向量法）—找点难（定比分点公式）

例1（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱

ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2,

E为棱AA1的中点. (Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;

(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.

(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为的长.

2, 求线段AM6

【答案】解：方法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)．

→→→→

(1)证明：易得B1C1＝(1，0，－1)，CE＝(－1，1，－1)，于是B1C1·CE＝0，所以B1C1⊥CE. →

(2)B1C＝(1，－2，－1)，

设平面B1CE的法向量＝(x，y，z)，

→?B1C＝0，??·?x－2y－z＝0，则?即?消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量

?→－x＋y－z＝0，??CE＝0，?m·

为＝(－3，－2，1)．

→

由(1)，B1C1⊥

立体几何（几何法）—线面角

例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，PA?底面

PABCD，AC?22，PA?2，E是PC上的一点，PE?2EC。

（Ⅰ）证明：PC?平面BED；

（Ⅱ）设二面角A?PB?C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。

【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所

C?EBAD以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22， PA＝2，PE＝2EC，故

23

PC＝23，EC＝3，FC＝2， PCAC

从而FC＝6，EC＝6.

PCAC

因为FC＝EC，∠FCE＝∠PCA，所以 △FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°， 由此知PC⊥EF.

PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED. (2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足． 因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC＝PB， 故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所

高考数学重点专题

2008届高三文科数学第二轮复习资料

——《立体几何》专题

一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：

二、练习题：

1． 1∥ 2，a，b与 1， 2都垂直，则a，b的关系是

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交、异面都有可能

2．三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是 A．

1112

V B．V C．V D．V 2343

B1

1 3．设 、 、 为平面， m、n、l为直线，则m 的一个充分条件是

A． , l,m l B． m, , C． , ,m D．n ,n ,m 4．如图1，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中， P、Q是对角

D

高考数学重点专题

a

，则三棱锥P BDQ的体积为 2

333 B

C

D．不确定 A

线A1C上的点，若PQ

5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是 A 1Q B

立体几何（几何法）—线面角

例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，PA?底面

PABCD，AC?22，PA?2，E是PC上的一点，PE?2EC。

（Ⅰ）证明：PC?平面BED；

（Ⅱ）设二面角A?PB?C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。

【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所

C?EBAD以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22， PA＝2，PE＝2EC，故

23

PC＝23，EC＝3，FC＝2， PCAC

从而FC＝6，EC＝6.

PCAC

因为FC＝EC，∠FCE＝∠PCA，所以 △FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°， 由此知PC⊥EF.

PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED. (2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足． 因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC＝PB， 故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所